Entropik belirsizlik - Entropic uncertainty

Olarak kuantum mekaniği , bilgi teorisi ve Fourier analizi , entropik belirsizlik ya da Hirschman belirsizlik zamansal ve spektral toplamı olarak tanımlanır Shannon entropi . Heisenberg'in belirsizlik ilkesinin bu entropilerin toplamı üzerinde bir alt sınır olarak ifade edilebileceği ortaya çıktı . Bu, standart sapmaların ürünü açısından belirsizlik ilkesinin olağan ifadesinden daha güçlüdür .

1957'de Hirschman bir f fonksiyonunu ve onun Fourier dönüşümünü g olarak değerlendirdi .

${\displaystyle g(y)\yaklaşık \int _{-\infty }^{\infty }\exp(-2\pi ixy)f(x)\,dx,\qquad f(x)\yaklaşık \int _ {-\infty }^{\infty }\exp(2\pi ixy)g(y)\,dy~,}$

burada "≈" L ^2'deki yakınsamayı gösterir ve normalize edilir ( Plancherel teoremi ile ),

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|g(y)|^ {2}\,dy=1~.}$

Bu tür fonksiyonlar için Shannon entropilerinin toplamının negatif olmadığını gösterdi.

${\displaystyle H(|f|^{2})+H(|g|^{2})\equiv -\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2} \log |f(x)|^{2}\,dx-\int _{-\infty }^{\infty }|g(y)|^{2}\log |g(y)|^{2 }\,dy\geq 0.}$

Daha sıkı bir bağ,

Hirschman ve Everett tarafından tahmin edildi , 1975'te W. Beckner tarafından kanıtlandı ve aynı yıl Białynicki-Birula ve Mycielski tarafından genelleştirilmiş bir kuantum mekanik belirsizlik ilkesi olarak yorumlandı . Eşitlik Gauss dağılımları durumunda geçerlidir . Hirschman-Everett entropisi, logaritmik Schrödinger denklemine enjekte edilir . Bununla birlikte, yukarıdaki entropik belirsizlik fonksiyonunun, faz uzayında temsil edilen kuantum Von Neumann entropisinden belirgin şekilde farklı olduğuna dikkat edin .

Kanıt taslağı

Bu sıkı eşitsizliğin kanıtı , Fourier dönüşümünün sözde ( q ,  p )-normuna bağlıdır. (Bu normu oluşturmak ispatın en zor kısmıdır.)

Bu normdan, (diferansiyel) Rényi entropilerinin toplamı üzerinde bir alt sınır oluşturulabilir , H _α (|f|²)+H _β (|g|²) , burada 1/α + 1/β = Shannon entropilerini genelleştiren 2 . Basit olması için bu eşitsizliği yalnızca bir boyutta ele alıyoruz; çoklu boyutlara genişletme basittir ve belirtilen literatürde bulunabilir.

Babenko-Beckner eşitsizliği

( Q ,  s ) -norm Fourier olarak tanımlanır dönüşümü

${\displaystyle \|{\mathcal {F}}\|_{q,p}=\sup _{f\in L^{p}(\mathbb {R} )}{\frac {\|{\mathcal {F}}f\|_{q}}{\|f\|_{p}}},}$ nerede   ve${\displaystyle 1<p\leq 2~,}$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

1961'de Babenko , q'nun tamsayı değerleri için bile bu normu buldu . Son olarak, 1975'te, Fourier dönüşümünün özfonksiyonları olarak Hermite fonksiyonlarını kullanan Beckner, bu normun (tek boyutta) değerinin tüm q ≥ 2 için olduğunu kanıtladı.

${\displaystyle \|{\mathcal {F}}\|_{q,p}={\sqrt {p^{1/p}/q^{1/q}}}.}$

Böylece Babenko-Beckner eşitsizliği elde edilir.

${\displaystyle \|{\mathcal {F}}f\|_{q}\leq \left(p^{1/p}/q^{1/q}\sağ)^{1/2}\| f\|_{p}.}$

Rényi entropi sınırı

Bu eşitsizlikten, Rényi entropisi cinsinden belirsizlik ilkesinin bir ifadesi türetilebilir.

İzin vermek , 2 α = p ve 2 β = q , böylece 1 / α + 1 / β = 2 ve 1/2 < α <1 < β , elimizdeki ${\displaystyle g={\matematiksel {F}}f}$

${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} }|g(y)|^{2\beta }\,dy\right)^{1/2\beta }\leq {\frac {(2) \alpha )^{1/4\alpha }}{(2\beta )^{1/4\beta }}}\left(\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{2 \alpha }\,dx\sağ)^{1/2\alpha }.}$

Her iki tarafın karesini alıp logaritmayı alarak,

${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}\log \left(\int _{\mathbb {R} }|g(y)|^{2\beta }\,dy\right)\leq { \frac {1}{2}}\log {\frac {(2\alpha )^{1/\alpha }}{(2\beta )^{1/\beta }}}+{\frac {1} {\alpha }}\log \left(\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{2\alpha }\,dx\sağ)}$

Her iki tarafı da çarparak

${\displaystyle {\frac {\beta }{1-\beta }}=-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$

eşitsizlik duygusunu tersine çevirir,

${\displaystyle {\frac {1}{1-\beta }}\log \left(\int _{\mathbb {R} }|g(y)|^{2\beta }\,dy\right)\ geq {\frac {\alpha }{2(\alpha -1)}}\log {\frac {(2\alpha )^{1/\alpha }}{(2\beta )^{1/\beta } }}-{\frac {1}{1-\alpha }}\log \left(\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{2\alpha }\,dx\right)~ .}$

Terimleri yeniden düzenlemek, sonunda Rényi entropilerinin toplamı cinsinden bir eşitsizlik verir,

${\displaystyle {\frac {1}{1-\alpha }}\log \left(\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{2\alpha }\,dx\sağ)+ {\frac {1}{1-\beta }}\log \left(\int _{\mathbb {R} }|g(y)|^{2\beta }\,dy\right)\geq {\ frac {\alpha }{2(\alpha -1)}}\log {\frac {(2\alpha )^{1/\alpha }}{(2\beta )^{1/\beta }}}; }$

${\displaystyle H_{\alpha }(|f|^{2})+H_{\beta }(|g|^{2})\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\log \alpha }{\alpha -1}}+{\frac {\log \beta }{\beta -1}}\sağ)-\log 2~.}$

Bu eşitsizliğin α ve β'ya göre simetrik olduğuna dikkat edin : Artık α<β olduğunu varsaymaya gerek yok ; sadece pozitif oldukları ve ikisi birden değil ve 1/α + 1/β = 2. Bu simetriyi görmek için Fourier dönüşümünde i ve − i'nin rollerini değiştirin.

Shannon entropi sınırı

Bu son eşitsizliğin limitini α, β → 1 olarak almak, daha az genel Shannon entropi eşitsizliğini verir,

${\displaystyle H(|f|^{2})+H(|g|^{2})\geq \log {\frac {e}{2}},\quad {\textrm {nerede}}\quad g(y)\yaklaşık \int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ixy}f(x)\,dx~,}$

uygun bir bilgi birimi, bit , nat vb. seçtiğimiz sürece herhangi bir logaritma tabanı için geçerlidir .

Yine de, Fourier dönüşümünün farklı bir normalizasyonu için sabit farklı olacaktır (örneğin, fizikte genellikle kullanıldığı gibi, normalizasyonlar ħ =1 olacak şekilde seçilir ), yani,

${\displaystyle H(|f|^{2})+H(|g|^{2})\geq \log(\pi e)\quad {\textrm {for}}\quad g(y)\yaklaşık {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-ixy}f(x)\,dx~.}$

Bu durumda, Fourier dönüşümünün mutlak karesinin 2 π faktörü ile genişlemesi , entropisine basitçe log(2 π ) ekler .

Entropiye karşı varyans sınırları

Gauss veya normal olasılık dağılımı , varyans ve entropi arasındaki ilişkide önemli bir rol oynar : bu dağılımın belirli bir varyans için entropiyi maksimize ettiğini ve aynı zamanda belirli bir varyansı en aza indirdiğini göstermek , bir varyasyon hesabı problemidir. entropi. Aslında, gerçek çizgi üzerindeki herhangi bir olasılık yoğunluk fonksiyonu için Shannon'ın entropi eşitsizliği şunları belirtir: ${\görüntüleme stili\phi }$

${\displaystyle H(\phi )\leq \log {\sqrt {2\pi eV(\phi )}},}$

burada H , Shannon entropisi ve V , varyans, yalnızca normal dağılım durumunda doymuş bir eşitsizlik .

Ayrıca, bir Gauss olasılık genlik fonksiyonunun Fourier dönüşümü de Gauss'tur ve bunların her ikisinin de mutlak kareleri Gauss'tur. Bu daha sonra, yukarıdaki entropik eşitsizlikten olağan Robertson varyans belirsizliği eşitsizliğini türetmek için kullanılabilir ve ikincisinin öncekinden daha sıkı olmasını sağlar . Yani ( ħ =1 için), Hirschman eşitsizliğinin üstelleştirilmesi ve yukarıdaki Shannon ifadesinin kullanılması,

${\displaystyle 1/2\leq \exp(H(|f|^{2})+H(|g|^{2}))/(2e\pi )\leq {\sqrt {V(|f| ^{2})V(|g|^{2})}}~.}$

Hirschman, entropinin -kendi entropi versiyonunun Shannon'ınkinin negatifi olduğunu- "bir dizi küçük ölçüdeki [olasılık dağılımının] konsantrasyonunun bir ölçüsü" olduğunu açıkladı. Bu nedenle , düşük veya büyük bir negatif Shannon entropisi, olasılık dağılımının önemli bir kütlesinin bir dizi küçük ölçü ile sınırlı olduğu anlamına gelir .

Bu küçük ölçü setinin bitişik olması gerekmediğine dikkat edin; bir olasılık dağılımı, küçük ölçü aralıklarında birkaç kütle konsantrasyonuna sahip olabilir ve bu aralıklar ne kadar geniş bir alana dağılmış olursa olsun entropi hala düşük olabilir. Varyansta durum böyle değildir: varyans, dağılımın ortalaması etrafındaki kütle konsantrasyonunu ölçer ve düşük bir varyans, olasılık dağılımının önemli bir kütlesinin bitişik küçük bir ölçüm aralığında yoğunlaştığı anlamına gelir .

Bu ayrımı resmileştirmek için, iki olasılık yoğunluğunun işlev gördüğünü ve aşağıdaki durumlarda eşit ölçülebilir olduğunu söylüyoruz:${\görüntüleme stili\phi _{1}}$${\displaystyle \phi _{2}}$

${\displaystyle \forall \delta >0,\,\mu \{x\in \mathbb {R} |\phi _{1}(x)\geq \delta \}=\mu \{x\in \mathbb {R} |\phi _{2}(x)\geq \delta \},}$

burada μ olan Lebesgue ölçümü . Herhangi iki eşit ölçülebilir olasılık yoğunluk fonksiyonu, aynı Shannon entropisine ve aslında herhangi bir düzende aynı Rényi entropisine sahiptir. Ancak aynı şey varyans için geçerli değildir. Herhangi bir olasılık yoğunluk fonksiyonu, varyansı fonksiyonun diğer herhangi bir yeniden düzenlemesinden daha az (çeviriye kadar) olan, radyal olarak azalan, eşit ölçülebilir bir "yeniden düzenleme"ye sahiptir; ve keyfi olarak yüksek varyanslı yeniden düzenlemeler var (hepsi aynı entropiye sahip.)

Ayrıca bakınız

• Bilgi teorisindeki eşitsizlikler
• Logaritmik Schrödinger denklemi
• Belirsizlik ilkesi
• Riesz-Thorin teoremi
• Fourier dönüşümü

Referanslar

daha fazla okuma

• Jizba, P.; Mayıs.; Hayes, A.; Dunningham, JA (2016). "Entropi gücüne dayalı tek parametreli belirsizlik ilişkileri sınıfı". Fizik Rev. E 93 (6): 060104(R). doi:10.1103/PhysRevE.93.060104 .
• Zozor, S.; Vignat, C. (2007). "Entropik belirsizlik ilkelerinde Gauss olmayan asimptotik minimize edicilerin sınıfları üzerinde". Physica A: İstatistiksel Mekanik ve Uygulamaları . 375 (2): 499. arXiv : matematik/0605510 . Bibcode : 2007PhyA..375..499Z . doi : 10.1016/j.physa.2006.09.019 . S2CID  119718352 . arXiv:matematik/0605510v1
• Maassen, H.; Uffink, J. (1988). "Genelleştirilmiş entropik belirsizlik ilişkileri" (PDF) . Fiziksel İnceleme Mektupları . 60 (12): 1103–1106. Bibcode : 1988PhRvL..60.1103M . doi : 10.1103/PhysRevLett.60.1103 . PMID  10037942 .
• Ballester, M.; Wehner, S. (2007). "Entropik belirsizlik ilişkileri ve kilitleme: Karşılıklı tarafsız bazlar için sıkı sınırlar". Fiziksel İnceleme A . 75 (2): 022319. arXiv : quant-ph/0606244 . Bibcode : 2007PhRvA..75b2319B . doi : 10.1103/PhysRevA.75.022319 . S2CID  119470256 .
• Ghirardi, G.; Marinatto, L.; Romano, R. (2003). "İki boyutlu Hilbert uzayında optimal bir entropik belirsizlik ilişkisi". Fizik Harfleri A . 317 (1–2): 32–36. arXiv : quant-ph/0310120 . Bibcode : 2003PhLA..317...32G . doi : 10.1016/j.physleta.2003.08.029 . S2CID  9267554 .
• Salcedo, LL (1998). "Antisimetrik dalga fonksiyonları için minimum belirsizlik". Matematiksel Fizikte Harfler . 43 (3): 233–248. arXiv : quant-ph/9706015 . Bibcode : 1997quant.ph..6015S . doi : 10.1023/A:1007464229188 . S2CID  18118758 .