Eliptik sınır değer problemi - Elliptic boundary value problem

In matematik , bir eliptik sınır değer problemi özel bir türüdür sınır değer problemi bir istikrarlı bir devlet olarak düşünülebilir evrim problemi . Örneğin, Dirichlet problemi için Laplace ısıtma açıldıktan birkaç saat sonra oda ısı nihai dağılımını vermektedir.

Diferansiyel denklemler ile ilgili, doğal olayların büyük bir sınıfını açıklar ısı denklemi için, metal bir levha (örneğin) ısı değişimini tanımlayan Navier Stokes denklemi içeren sıvıların hareketini açıklayan Einstein denklemlerinin bir göreceli fiziksel evreni tarif yol. Tüm bu denklemler sınır değer problemleri olmalarına rağmen başka alt kategorilere ayrılmıştır. Her kategori farklı teknikler kullanılarak analiz edilmelidir, çünkü bu gereklidir. Mevcut makale doğrusal eliptik problemler olarak bilinen sınır değer problemlerinin kategorisinde ilgilenir.

Sınır değer problemleri ve kısmi diferansiyel denklemler, iki ya da daha fazla miktarlarda arasındaki ilişkileri belirler. Zamanla, ısı soğuk noktasına daha sıcak noktalardan akar, böylece, örneğin, ısı denklemde, bir noktada sıcaklık değişme oranı bu noktada ve yakın nokta arasındaki sıcaklık farkı ile ilişkilidir. Sınır değer problemleri alan, zaman ve vb sıcaklığı, hız, basınç, manyetik alan, diğer miktarlar söz konusu olabilir ...

Bazı sorunlar zaman içermez. Bir ev ve bir ağaç arasında bir clothesline asılı Örneğin, eğer, o zaman rüzgarın yokluğunda, kurutmak hareket etmeyecektir olarak bilinen yumuşak asılı kavisli şekli kabul edecek katener . Bu kavisli şekli konumu, gerginlik, açı ve yer çekimi ile ilgili bir diferansiyel denklem çözeltisi aşağıdaki gibi hesaplanır, ancak şekil zamanla değişmediği için, hiçbir zaman değişken vardır edilebilir.

Eliptik sınır değer problemleri zaman değişkeni dahil ve bunun yerine sadece uzay değişkenlere bağlı olmayan sorunların bir sınıfıdır.

Atıfta olmadan daha detaylı olarak eliptik sınır değer problemleri tartışmak mümkün değildir matematik birden değişkenlerde.

Aksi belirtilmedikçe, bu makalede sunulan tüm gerçekler bulunabilir.

ana örnek

İki boyutta, izin koordinatları olabilir. Bu gösterimde kullanır , birinci ve ikinci için kısmi türev arasında göre ve için de benzer bir gösterimde . Biz sembolleri kullanır ve kısmi diferansiyel operatörler için de ve . İkinci kısmi türev ifade edilecektir ve . Ayrıca gradyanı tanımlar , Laplace operatörü ve sapma . Tanımları bundan Not . ${\ Displaystyle x, y} '$${\ Displaystyle u_ {x} u_ {xx}}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle D_ {x}}$${\ Displaystyle D_ {y}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle D_ {x} ^ {2}}$${\ Displaystyle D_ {y} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ nabla U = (u_ {x} u_ {y})}$ ${\ Delta \ displaystyle u = u_ {xx} + u_ {yy}}$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot (u, v) = u_ {x} + V_ {y}}$${\ \ Displaystyle Delta u = \ nabla \ cdot (\ nabla u)}$

sınır değer problemleri için ana örneği, Laplace operatörüdür

${\ Displaystyle Delta \ u = f {\ {\ Omega,}} metin}$

${\ Displaystyle u = 0 için {\ {}} metin \ kısmi \ Omega;}$

nerede bir bölge düzleminde ve o bölgenin sınırıdır. Fonksiyon verileri bilinir ve çözüm hesaplanmalıdır budur. Bu örnek, diğer tüm eliptik sınır değer problemlerinin aynı temel özelliklere sahiptir. ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ kısmi \ Omega}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle u}$

Çözelti şeklinde bir metal plaka ısı sabit ya da sınır dağılımı olarak yorumlanabilir , bu metal plaka buza sınırı komşu varsa, (böylece, sıfır derecede tutulduğu Dirichlet sınır koşulu .) İşlevi yoğunluğunu temsil etmektedir plakadaki her noktasında ısı oluşumunun (belki oranında plakaya ısı pompalama, metal levha üzerine oturan bir elektrikli ısıtıcı orada zamanla değişmez, ancak metal plaka üzerinde boşlukta muntazam olmayan olabilir.) sonra uzun bir süre bekleyerek metal plaka sıcaklık dağılımı yaklaşacaktır . ${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f (x)},$${\ Displaystyle u}$

terminoloji

Let nerede ve sabitlerdir. Bir ikinci sıra adlandırılır diferansiyel operatör . Biz resmen türevleri değiştirin tarafından ve tarafından , biz ifadesini elde ${\ Displaystyle Lu au_ {xx} + bu_ = {yy}}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle L = aD_ {x} ^ {2} + bD_ {y} ^ {2}}$${\ Displaystyle D_ {x}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle D_ {y}}$${\ Displaystyle y}$

${Tarafından \ displaystyle ax ^ {2} + ^ {2}}$.

Bazı sabit eşittir bu ifadeyi ayarlamak ise , o zaman bir ya da elde elips (eğer veya aynı işareti olan) bir hiperbolü (eğer ve bu nedenle karşıt belirti vardır.), Eliptik zaman olduğu söylenir ve eğer hiperbolik . Benzer şekilde, operatör bir yol parabol ve bu nedenle bu parabolik olduğu söylenir. ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle a, b, k}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle ab> 0}$${\ Displaystyle ab <0}$${\ Displaystyle L = D_ {x} + D_ {y} ^ {2}}$${\ Displaystyle L}$

Şimdi ellipticity kavramını genelleme. Bizim genelleme doğru biri olduğunu çok açık olmasa da, bu analizin amacı için gerekli özelliklerin çoğunu korumak olmadığını çıkıyor.

İkinci derece Genel doğrusal eliptik sınır değer problemleri

Let uzay değişkenler. Let gerçek değerli fonksiyonlar olmak . Let ikinci derece doğrusal operatör. Yani, ${\ Displaystyle x_ {1}, ..., x_ {n}}$${\ Displaystyle a_ {ij} (x) b_ {i} (x), c (x)},$${\ Displaystyle X = (x_ {1}, ..., x_ {n})}$${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle Lu (x) = \ toplamı _ {i, j = 1} ^ {n} (a_ {ij} (x) u_ {x_ {i}}) = {x_ {j}} + \ toplamı _ { i = 1} ^ {n} b_ {ı} (x) u_ {x_ {i}} (x) + c (x) u (x)},$ (Diverjans formu) geçirilir.

${\ Displaystyle Lu (x) = \ toplamı _ {i, j = 1} ^ {n} a_ {ij} (x) u_ {x_ {I} x_ {j}} + \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} {\ yaklaşık işareti {b}} _ {ı} u_ {x_ {i}} (x) + c (x) u (x)},$ (Nondivergence formu)

Bu simge kullandık göstermek için kısmi türevi alanı değişkenine göre . İki formül koşuluyla, eşdeğerdir ${\ Displaystyle \ cdot _ {x_ {i}}}$${\ Displaystyle x_ {i}}$

${\ Displaystyle {\ yaklaşık işareti {b}} _ {ı} (x) = b_ {I} (x) + \ toplamı _ {j} a_ {ij x_ {j}} (x)},$.

Matris notasyonunda olarak, izin verebilir bir olmak matris değerli bir fonksiyondur ve bir olmak arasında boyutlu sütun vektördür değerli işlev , ve sonra mal olabilir ${\ Displaystyle bir (x)},$${N \ displaystyle n \ kez}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle b (x)},$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle Lu = \ nabla \ cdot (a \ nabla u) + b ^ {T} \ nabla, u + Cu}$ (Diverjans formu) geçirilir.

Bir matris yani genelliği kaybetmeden varsayabiliriz herkes için (yani, simetriktir , . Biz bu makalenin geri kalanında olduğu varsayımını. ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle i, j, x}$${\ Displaystyle a_ {ij} (x) = a_ {ji} (x)},$

Biz operatörü demek olduğunu eliptik bazı sabit için, eğer aşağıdaki eşdeğer durumlardan herhangi tutun: ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle \ a> 0}$

1. ${\ Displaystyle \ lambda _ {\ dak}, (a (x))> \ a \; \; \; \ x forall'dır}$(bakınız özdeğer ).
2. ${\ Displaystyle u ^ {T} a (x) u> \ a u ^ {T} u \; \; \; \ forall'dır U \ \ mathbb {R} ^ {n}}$.
3. ${\ Displaystyle \ toplamı _ {i, j = 1} ^ {n} a_ {ij} u_ {ı} u_ {j}> \ a \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} u_ {ı} ^ { 2} \; \; \; \ forall'dır u \ \ mathbb {R} ^ {n}}$.

Bir eliptik sınır değer problemi daha sonra benzeri denklemlerin bir sistemdir

${\ Displaystyle Lu = f {\ {Omega}} içinde \ Metin}$ (PDE) ve

${\ Displaystyle u = 0 için {\ {}} metin \ kısmi \ Omega}$ (Sınır değeri).

Bu özel örnek Dirichlet problemi . Neumann problemi olan

${\ Displaystyle Lu = f {\ {Omega}} içinde \ Metin}$ ve

${\ Displaystyle u _ {\ v} = gr {\ {}} metin \ kısmi \ Omega}$

burada türevi normal işaret dışa doğru yönünde . Genel olarak, herhangi biri iz operatör , bir sınır değer sorun gerçekleştirebilmesi ${\ Displaystyle u _ {\ v}}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle \ kısmi \ Omega}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle Lu = f {\ {Omega}} içinde \ Metin}$ ve

${\ Displaystyle Bu = gr {\ {}} metin \ kısmi \ Omega}$.

Bu makalenin geri kalanında, biz varsayalım eliptik ve sınır koşulu Dirichlet koşulu olduğunu . ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle u = 0 için {\ {}} metin \ kısmi \ Omega}$

Sobolev uzayları

Eliptik sınır değer problemlerinin analizi bazı oldukça sofistike araçlar gerektirir fonksiyonel analiz . Biz alan gerektiren , Sobolev alanı üzerinde "bir kez türevlenebilir" fonksiyonları , öyle ki fonksiyonu hem ve bunun kısmi türev , hepsi kare integrallenebilen . Bir incelik kısmi türev (detaylar için Sobolev uzayı üzerinde makalesine bakın.) Uzay "zayıf anlamda" tanımlanmalıdır Bu buraya yoktur bir olan Hilbert uzayı bu sorunların analiz edilir kolaylığı nedeniyle çok hesapları, . ${\ Displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle u_ {x_ {i}}}$${\ Displaystyle i = 1, \ noktalar, n}$${\ Displaystyle H ^ {1}}$

Sobolev uzayı ayrıntıları tartışma bu makalenin kapsamı dışındadır, ancak ortaya çıktıkları biz gerekli sonuçları teklif edecek.

Aksi belirtilmedikçe, bu makaledeki tüm türevleri zayıf, Sobolev anlamında yorumlanmalıdır. Biz terimi "güçlü türev" hesap klasik türevi başvurmak için kullanın. Ayrıca boşluk belirtmek , olan fonksiyonlar oluşmaktadır kuvvetle türevlenebilir kez ve o inci türevi süreklidir. ${\ Displaystyle Cı ^ {k}}$${\ Displaystyle k = 0,1, \ nokta}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k}$

Zayıf veya varyasyon formülasyon

Sobolev boşlukların dil olarak sınır değer problem döküm ilk adım, zayıf biçimde bu ifadeleri etmektir. Laplace sorunu ele alalım . Bir "test" fonksiyonu denklem her bir tarafını çarpın ve parçalar tarafından entegre kullanılarak Green teoremini elde etmek üzere ${\ Displaystyle Delta u \ = f}$${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle - \ int _ {\ omega} \ nabla u \ cdot \ nabla \ varphi + \ int _ {\ kısmi \ omega} u _ {\ v} \ varphi = \ int _ {\ omega} f \ varphi}$.

Biz böylece Dirichlet sorunun çözümü olacaktır . Teknik nedenlerden dolayı, varsaymak yararlıdır gibi işlevlerden aynı alanda alınır böylece biz de farz olduğunu . Bu kurtulur veren, terim ${\ Displaystyle u = 0 için {\ {}} metin \ kısmi \ Omega}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle \ varphi = 0 {\ {}} metin \ kısmi \ Omega}$${\ Displaystyle \ int _ {\ kısmi \ Omega}}$

${\ Displaystyle A (u \ varphi) = F (\ varphi)}$ (*)

nerede

${\ Displaystyle A (u \ varphi) = \ int _ {\ omega} \ nabla u \ cdot \ nabla \ varphi}$ ve

${\ Displaystyle F (\ varphi) = - \ int _ {\ Omega} f \ varphi}$.

Eğer genel bir eliptik operatörüdür, aynı mantık çift doğrusal forma yol açar ${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle A (u \ varphi) = \ int _ {\ omega} \ nabla u ^ {T} a \ nabla \ varphi - \ int _ {\ omega} b ^ {T} \ nabla u \ varphi - \ int _ {\ Omega} cu \ varphi}$.

Biz Neumann sorunu görüşmek ama benzer şekilde analiz edilir olduğuna dikkat yoktur.

Sürekli ve zorlayıcı bilineer formlar

Haritada Sobolev uzayda tanımlanır kez türevlenebilir ve sınırda sıfır fonksiyonlarının , biz bazı koşullar empoze sağlanan ve . Orada birçok olası seçenek vardır, ama bu yazının amacı için, bunu üstlenecek ${\ Displaystyle A (u \ varphi)}$${\ Displaystyle H_ {0} ^ {1} \ alt-kümesi, H ^ {1}}$${\ Displaystyle \ kısmi \ Omega}$${\ Displaystyle a, b, c}$${\ Displaystyle \ Omega}$

1. ${\ Displaystyle a_ {ij} (x)},$bir sürekli türevlenebilir üzerinde için${\ Displaystyle {\ çubuğu {\ Omega}}}$${\ Displaystyle ij = 1, \ noktalar, n}$
2. ${\ Displaystyle b_ {I} (x)},$ile süreklidir için${\ Displaystyle {\ çubuğu {\ Omega}}}$${\ Displaystyle i = 1, \ noktalar, n}$
3. ${\ Displaystyle C (x)},$ile süreklidir ve${\ Displaystyle {\ çubuğu {\ Omega}}}$
4. ${\ Displaystyle \ Omega}$ Sınırlı.

Okuyucu harita doğrulayabilir Bunun ötesinde iki-doğrusal ve sürekli ve harita bu bir doğrusal olarak ve sürekli (örneğin) halinde entegre edilebilir karedir. ${\ Displaystyle A (u \ varphi)}$${\ Displaystyle F (\ varphi)}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle f}$

Biz haritası demek olan zorlayıcı bir varsa hepsi için , ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ a> 0}$${\ Displaystyle u \ varphi \ H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle A (u \ varphi) \ geq \ a \ int _ {\ omega} \ nabla u \ cdot \ nabla \ varphi.}$

Bu (ile Laplace için trivially doğrudur ) ve biz varsayarsak de eliptik bir operatör için geçerlidir ve . (Hatırlayın zaman eliptiktir.) ${\ Displaystyle \ a = 1}$${\ Displaystyle b = 0}$${\ Displaystyle C \ leq 0}$${\ Displaystyle u ^ {T} au> \ a u ^ {T} u}$${\ Displaystyle L}$

Varlığı ve zayıf çözümün tekliği

Bir yoluyla gösterebilir Lax- Milgram lemma her ne zaman, zorlayıcı ve sürekli, daha sonra tek bir çözümü vardır zayıf bir sorun (*) için. ${\ Displaystyle A (u \ varphi)}$${\ Displaystyle F (\ varphi)}$${\ Displaystyle u \ H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$

Daha fazla ise , simetrik (yani, ), on aynı sonuç gösterebilir Riesz teoremi yerine. ${\ Displaystyle A (u \ varphi)}$${\ Displaystyle b = 0}$

Bu gerçeği dayanır üzerinde bir iç ürünü oluşturan kendisine bağlıdır, Poincaré'in eşitsizliği . ${\ Displaystyle A (u \ varphi)}$${\ Displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$

güçlü çözümler

Biz orada olduğunu göstermiştir zayıf sistemini çözen hangi ama bu eğer biz bilmiyoruz güçlü sistem çözer ${\ Displaystyle u \ H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$${\ Displaystyle u}$

${\ Displaystyle Lu = f {\ {\ Omega}} metin}$

${\ Displaystyle u = 0 için {\ {\ kısmi \ Omega}} metin}$

Daha da üzücü biz bile emin olmaması ifadeleri render iki defa diferensiyellenebilirdir içinde görünüşte anlamsız. Durum, ana biri olma giderilmesi için birçok yol vardır düzenlilik . ${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle u_ {x_ {I} x_ {j}}}$${\ Displaystyle Lu}$

düzenlilik

İkinci bir lineer eliptik sınır değer problemi için bir düzenlilik teoremi şeklini alır

Teorem (bazı koşul), o zaman çözüm olduğunu , ikinci türevleri integrali kare "iki kez türevlenebilir" fonksiyonların uzayı.${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle H ^ {2} (\ Omega)}$

Hiçbir tutmak için teoremi sonuçlandırılması için gerekli ve yeterli basit koşulu bilinir, ancak aşağıdaki koşullar yeterli olduğu bilinmektedir:

1. Sınırı olan veya${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle Cı ^ {2}}$
2. ${\ Displaystyle \ Omega}$ dışbükeydir.

O takdirde olduğunu kabul etmek için cazip olabilir parçalı olduğu daha sonra gerçekten de , ama bu maalesef yanlıştır. ${\ Displaystyle \ kısmi \ Omega}$${\ Displaystyle Cı ^ {2}}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle H ^ {2}}$

Hemen her yerde çözümler

Durumda daha sonra ikinci türevleri tanımlanır hemen hemen her yerde , ve bu durumda hemen hemen her yerde. ${\ Displaystyle u \ H ^ {2} (\ Omega)}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle Lu = f}$

güçlü çözümler

Bir başka sınırı ise ispat edebilir bir olduğunu pürüzsüz manifoldu ve sonsuz güçlü anlamda ayırt edilebilirdir, sonra da güçlü anlamda sonsuz ayırt edilebilirdir. Bu durumda, türev güçlü bir tanımlama. ${\ Displaystyle \ Omega \ alt kümesi \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle Lu = f}$

Bunun kanıtı ise diyor geliştirilmiş bir düzen teoremi dayanır olduğu ve , daha sonra , birlikte bir ile Sobolev Imbedding teoremi işlevler söyleyerek da vardır zaman . ${\ Displaystyle \ kısmi \ Omega}$${\ Displaystyle Cı ^ {k}}$${\ H displaystyle f \ ^ {k-2} (\ Omega)}$${\ Displaystyle k \ geq 2}$${\ Displaystyle u \ H ^ {k} içinde (\ Omega)}$${\ Displaystyle H ^ {k} (\ Omega)}$${\ Displaystyle Cı ^ {m} ({\ çubuğu {\ omega}})}$${\ Leq m \ displaystyle 0 <kN / 2}$

Sayısal çözümler

istisnai durumlarda, açıkça eliptik sorunları çözmek mümkün olsa da, genel olarak bu imkansız bir iştir. Doğal çözüm tek bir basit olan eliptik sorunu yaklaştığı ve bir bilgisayarda bu basit sorunu çözmektir.

Çünkü numaralandırılmış olan iyi özellikleri (aynı zamanda bir çok biz sahip), lineer eliptik sınır değer problemleri için son derece etkili bir sayısal çözücüler bulunmaktadır (bakınız , sonlu eleman yöntemi , bir sonlu fark yöntemi ve spektral yöntem örnekleri için).

Özdeğer ve eigensolutions

Başka Sobolev Imbedding teoremi dahil belirten kompakt lineer haritasıdır. İle donatılmış spektral teoremi kompakt lineer operatörler için, bir şu sonucu elde edilir. ${\ Displaystyle H ^ {1} \ alt kümesi, L ^ {2}}$

Teoremi varsayalım zorlayıcı, sürekli ve simetriktir. Harita gelen için kompakt bir doğrusal haritasıdır. Bir sahiptir temelini ait özvektörler ve eşleme özdeğerleri böyle${\ Displaystyle A (u \ varphi)}$${\ Displaystyle S: \ rightarrow u f}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}$ ${\ Displaystyle u_ {1}, u_ {2} \ noktalar \ H ^ {1} (\ Omega)}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} '\ noktalar \ in \ mathbb {R}}$

1. ${\ Displaystyle Su_ {k} = \ lambda _ {k} u_ {k} k = 1,2, \ noktalar,}$
2. ${\ Displaystyle \ lambda _ {k} \ rightarrow 0}$ olarak ,${\ Displaystyle k \ rightarrow \ infty}$
3. ${\ Displaystyle \ lambda _ {k} \ gneqq 0 \; \; \ k forall'dır}$,
4. ${\ Displaystyle \ int _ {\ omega} u_ {j} u_ {k} = 0}$ ne zaman ve${\ Displaystyle j \ neq k}$
5. ${\ Displaystyle \ int _ {\ omega} u_ {j} u_ {j} = 1}$ hepsi için ${\ Displaystyle J = 1,2, \ nokta \ ,.}$

Seri çözümleri ve eigensolutions önemi

Bir özdeğer, özvektör bilgisayarlı ise, o zaman biri "açık" bir çözüm bulabilir , ${\ Displaystyle Lu = f}$

${\ Displaystyle u = \ toplamı _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ şapka {u}} (k) u_ {k}}$

formül ile

${\ Displaystyle {\ şapka {u}} (k) = \ lambda _ {k} {\ şapka {f}} (k), \; \, k = 1,2, \ nokta}$

nerede

${\ Displaystyle {\ şapka {f}} (k) = \ int _ {\ omega} f (x) u_ {k} (x) \, dx.}$

(Bkz Fourier serisi .)

Dizi yakınsar . Sayısal yaklaşımlar kullanılarak bir bilgisayar üzerinde uygulanan bu olarak bilinen spektral yöntem . ${\ Displaystyle L ^ {2}}$

Bir örnek

sorunu ele alalım

${\ Displaystyle U-u_ {xx} -u_ {yy} = f (x, y) = xy}$ üzerinde ${\ Displaystyle (0,1) \ kez (0,1),}$

${\ Displaystyle u (x, 0) = u (x, 1) = u (0, y) = u (1, y) = 0 \; \; \ forall'dır (x, y) \ olarak (0,1) \ kez (0,1)}$ (Dirichlet koşulları).

Okuyucu özvektörler tam olduğunu doğrulayabilir

${\ Displaystyle u_ {jk} (x, y) = \ sin (\ pi JX) \ sin (\ pi ky)}$, ${\ Displaystyle j, k \ in \ mathbb {N-}}$

özdeğerler ile

${\ Displaystyle \ lambda _ 1+ \ pi üzerinde {jk} = {1 \ ^ {2} j ^ {2} + \ pi ^ {2} k ^ {2}}}.$

Fourier katsayıları almak, bir tablodaki bakılabilir . Bu nedenle, ${\ Displaystyle g (x) =}$${\ Displaystyle {\ şapka {g}}, (n) = {(- 1) ^ {n + 1} \ \ pi n üzerinden}}$

${\ Displaystyle {\ şapka {f}} (j, k) = {(- 1) ^ {j + k + 1} \ \ pi fazla ^ {2} jk}}$

bir çözelti elde edildi

${\ Displaystyle u (x, y) = \ toplamı _ {j, k = 1} ^ {\ infty} - {(1) ^ {j + k + 1} \ \ pi fazla ^ {2} jk (1+ \ pi ^ {2} j ^ {2} + \ pi ^ {2} k ^ {2})} \ sin (\ pi JX) \ sin (\ pi ky)}.$

Maksimum prensibi

Maksimum ilkesinin birçok varyasyonu vardır. Biz basit bir tane ver.

Teorem. (Zayıf maksimum prensibi.) Let ve farz . Söyle de . Sonra . Başka bir deyişle, maksimum sınırda elde edilir.${\ Displaystyle u \ C ^ {2} (\ Omega) \ kapağı Cı ^ {1} ({\ çubuğu {\ omega}})}$${\ Displaystyle C (X) = 0 \; \ forall'dır x \ \ Omega}$${\ Displaystyle Lu \ leq 0}$${\ Displaystyle \ Omega}$${İçinde \ displaystyle \ maks _ {x \ {\ çubuğu {\ omega}}} u (x) = \ maks _ {x \ in \ kısmi \ Omega} u (x)}$

Güçlü bir maksimum prensibi şu sonuca varmıştı herkes için sürece sabittir. ${\ Kısmi \ Omega \ displaystyle u (x) \ lneqq \ maks _ {y \} U (y)}$${\ Displaystyle x \ in \ Omega}$${\ Displaystyle u}$

Referanslar