Neumann sınır koşulu - Neumann boundary condition

In matematik , Neumann (veya ikinci tip ) sınır koşulu türüdür sınır koşulu adını, Carl Neumann . Bir empoze zaman , sıradan ya da kısmi diferansiyel denklem , bu durum belirtir değerleri türevi uygulanan sınır bölgesinin alanı .

Problemi diğer sınır koşullarını kullanarak tanımlamak mümkündür: Dirichlet sınır koşulu , çözümün kendisinin (türevinin aksine) sınırdaki değerlerini belirtirken, Cauchy sınır koşulu , karışık sınır koşulu ve Robin sınır koşulunun tümü farklıdır. Neumann ve Dirichlet sınır koşullarının kombinasyon türleri.

Örnekler

ODE

Örneğin bir adi diferansiyel denklem için,

${\displaystyle y''+y=0,}$

[ a , b ] aralığındaki Neumann sınır koşulları şu şekli alır

${\displaystyle y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta,}$

burada α ve β sayıları verilmiştir.

PDE

Kısmi bir diferansiyel denklem için, örneğin,

${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}$

burada ∇ ² Laplace operatörünü gösterir, bir Ω ⊂ R ⁿ alanındaki Neumann sınır koşulları şu şekli alır

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,}$

burada n, (tipik olarak dış) temsil eder , normal için sınır ∂Ω ve f bir verilen sayısal fonksiyonu .

Normal türevi sol tarafta görünür, olarak tanımlanır

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}$

burada ∇ y ( x ) temsil gradyan vektörünü Y ( x ) , N birim normaldir ve ⋅ temsil iç çarpım operatör.

Örneğin sınırın köşe noktalarında normal vektör iyi tanımlanmadığından, sınırın normal türevin var olabilmesi için yeterince düzgün olması gerektiği açıktır.

Uygulamalar

Aşağıdaki uygulamalar Neumann sınır koşullarının kullanımını içerir:

• Olarak termodinamik bir yüzeyden önceden belirlenmiş bir ısı akısı sınır koşulu olarak hizmet edecektir. Örneğin, bir elektrik bileşeni bilinen bir güçte dağılıyor olabilirken, mükemmel bir yalıtkan akıya sahip olmaz.
• Gelen magnetostatik , manyetik alan şiddeti bulmak için bir sınır koşulu olarak reçete edilebilir manyetik akı yoğunluğu , sürekli bir mıknatıs motor, örneğin bir alanda bir mıknatıs dizisi dağılım. Manyetostatikteki problemler , manyetik skaler potansiyel için Laplace denklemini veya Poisson denklemini çözmeyi içerdiğinden , sınır koşulu bir Neumann koşuludur.

Ayrıca bakınız

• Akışkanlar dinamiğinde sınır koşulları

Referanslar