Süreksiz Galerkin yöntemi - Discontinuous Galerkin method

Uygulamalı matematikte, süreksiz Galerkin yöntemleri (DG yöntemleri) , diferansiyel denklemleri çözmek için bir sayısal yöntemler sınıfını oluşturur . Sonlu eleman ve sonlu hacim çerçevesinin özelliklerini birleştirirler ve çok çeşitli uygulamalardan kaynaklanan hiperbolik , eliptik , parabolik ve karışık form problemlerine başarıyla uygulanmıştır . DG yöntemleri, özellikle, örneğin elektrodinamik , akışkanlar mekaniği ve plazma fiziği gibi , baskın bir birinci dereceden parça ile ilgili problemler için büyük ilgi görmüştür .

Süreksiz Galerkin yöntemleri ilk olarak 1970'lerin başında kısmi diferansiyel denklemleri sayısal olarak çözmek için bir teknik olarak önerilmiş ve analiz edilmiştir. 1973'te Reed ve Hill, hiperbolik nötron taşıma denklemini çözmek için bir DG yöntemini tanıttı.

Eliptik problemler için DG yönteminin kökeni, modern anlamda atlama cezası gibi özellikler kademeli olarak geliştirildiğinden tek bir yayına kadar izlenemez. Bununla birlikte, erken etkili katkıda bulunanlar arasında Babuška , J.-L. Lions , Joachim Nitsche ve Miloš Zlámal. Eliptik problemler için DG yöntemleri, Garth Baker tarafından 1977'de 4. mertebeden denklemlerin ayarında bir makalede geliştirilmiştir. Tarihsel gelişimin daha eksiksiz bir açıklaması ve eliptik problemler için DG yöntemlerine giriş, Arnold, Brezzi tarafından bir yayında verilmiştir. , Cockburn ve Marini. DG yöntemlerine ilişkin bir dizi araştırma yönergesi ve zorluk, Cockburn, Karniadakis ve Shu tarafından düzenlenen bildiri kitabında toplanmıştır.

genel bakış

Sürekli Galerkin (CG) yöntemine çok benzer şekilde , süreksiz Galerkin (DG) yöntemi, belirli bir model sisteminin zayıf bir formülasyonuna göre formüle edilmiş bir sonlu elemanlar yöntemidir . Geleneksel CG yöntemlerden farklı olarak uygun DG yöntemi sadece bir fonksiyon test alanı üzerinde çalışan parçalı sürekli ve böylece, çoğu zaman daha kapsamlı ihtiva işlev boşluk yöntemler uygun olarak kullanılan sonlu boyutlu iç çarpım bölme odasının daha.

Örnek olarak, "kaynaklar" veya "yuvalar" olmayan bir uzaysal alanda bilinmeyen bir skaler için süreklilik denklemini düşünün : ${\görüntüleme stili \rho }$${\görüntüleme stili\Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0,}$

akımı nerede . ${\displaystyle \mathbf {J} }$${\görüntüleme stili \rho }$

Şimdi , ayrı bir üçgenleme ile sınırlandırılmış uzaysal alan üzerindeki süreksiz parçalı polinom fonksiyonlarının sonlu boyutlu uzayını düşünün.${\görüntüleme stili\Omega }$ ${\görüntüleme stili \Omega _{h}}$

${\displaystyle S_{h}^{p}(\Omega _{h})=\{v_{|\Omega _{e_{i}}}\in P^{p}(\Omega _{e_{i }}),\ \ \forall \Omega _{e_{i}}\in \Omega _{h}\}}$

tarafından indekslenen aşırı elemana eşit veya daha küçük derecelere sahip polinomların uzayı için . Daha sonra sonlu eleman şekli fonksiyonları için çözüm şu şekilde temsil edilir: ${\ Displaystyle P^{p}(\Omega _{e_{i}})}$${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle \Omega _{e_{i}}}$${\görüntüleme stili ben}$${\displaystyle N_{j}\in P^{p}}$

${\displaystyle \rho _{h}^{i}=\sum _{j=1}^{\text{dofs}}\rho _{j}^{i}(t)N_{j}^{i }({\boldsymbol {x}}),\quad \forall {\boldsymbol {x}}\in \Omega _{e_{i}}.}$

Ardından benzer şekilde bir test işlevi seçmek

${\displaystyle \varphi _{h}^{i}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{\text{dofs}}\varphi _{j}^{i}N_ {j}^{i}({\boldsymbol {x}}),\quad \forall {\boldsymbol {x}}\in \Omega _{e_{i}},}$

ile süreklilik denklemi çarpılması ve uzayda parça ile entegre , semidiscrete DG formülasyon haline gelir: ${\displaystyle \varphi _{h}^{i}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega _{e_{i}}}\rho _{h}^{i}\varphi _{h}^{i}\,d {\boldsymbol {x}}+\int _{\partial \Omega _{e_{i}}}\varphi _{h}^{i}\mathbf {J} _{h}\cdot {\boldsymbol {n }}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{\Omega _{e_{i}}}\mathbf {J} _{h}\cdot \nabla \varphi _{h}^{i} \,d{\boldsymbol {x}}.}$

Skaler hiperbolik korunum yasası

Bir skaler hiperbolik korunum yasası şu şekildedir:

${\displaystyle {\begin{hizalı}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&=0\quad {\text{for}}\quad t>0,\,x\in \ mathbb {R} \\u(0,x)&=u_{0}(x)\,,\end{hizalı}}}$

burada bilinmeyen skaler fonksiyon çözülmeye çalışılır ve fonksiyonlar tipik olarak verilir. ${\görüntüleme stili u\eşdeğer u(t,x)}$${\ Displaystyle f,u_{0}}$

Uzay ayrıklaştırma

-Space olarak ayrıklaştırılmış edilecektir ${\görüntüleme stili x}$

${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{k}I_{k}\,\dörtlü I_{k}:=\sol(x_{k},x_{k+1}\sağ)\dörtlü { \text{for}}\quad x_{k}<x_{k+1}\,.}$

Ayrıca, aşağıdaki tanımlara ihtiyacımız var

${\displaystyle h_{k}:=|I_{k}|\,,\dörtlü h:=\sup _{k}h_{k}\,,\dörtlü {\hat {x}}_{k}: =x_{k}+{\frac {h_{k}}{2}}\,.}$

Fonksiyon uzayı için temel

Çözümümüzün fonksiyon uzayı için temel temsili türetiyoruz . Fonksiyon uzayı şu şekilde tanımlanır: ${\görüntüleme stili u}$

${\displaystyle S_{h}^{p}:=\left\lbrace v\in L^{2}(\mathbb {R} ):v{\Big |}_{I_{k}}\in \Pi _{p}\right\rbrace \quad {\text{for}}\quad p\in \mathbb {N} _{0}\,}$

burada belirtmektedir kısıtlama bir aralık üzerine ve maksimum polinomlar alanı gösterir derece . Endeks , tarafından verilen temel bir ayrıklaştırmayla olan ilişkiyi göstermelidir . Burada , kesişme noktalarında benzersiz olarak tanımlanmadığına dikkat edin . ${\displaystyle {v|}_{I_{k}}}$${\görüntüleme stili v}$${\ Displaystyle I_{k}}$${\görüntüleme stili\Pi _{p}}$ ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili h}$${\displaystyle \sol(x_{k}\sağ)_{k}}$${\görüntüleme stili v}$${\ Displaystyle (x_{k})_{k}}$

İlk başta , Legendre polinomları , yani aralıkta belirli bir polinom temelinden yararlanıyoruz.${\görüntüleme stili [-1,1]}$ ${\displaystyle (P_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$

${\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x\,,\quad P_{2}(x)={\frac {1}{2}}( 3x^{2}-1)\,,\dörtlü \dots }$

Özellikle ortogonallik ilişkilerine dikkat edin

${\displaystyle \left\langle P_{i},P_{j}\right\rangle _{L^{2}([-1,1])}={\frac {2}{2i+1}}\ delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\,.}$

Aralığa dönüşüm ve normalizasyon fonksiyonlarla sağlanır${\görüntüleme stili [0,1]}$${\görüntüleme stili (\varphi _{i})_{i}}$

${\displaystyle \varphi _{i}(x):={\sqrt {2i+1}}P_{i}(2x-1)\quad {\text{for}}\quad x\in [0,1 ]\,,}$

ortonormallik bağıntısını sağlayan

${\displaystyle \left\langle \varphi _{i},\varphi _{j}\right\rangle _{L^{2}([0,1])}=\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\,.}$

Bir aralığa dönüşüm şu şekilde verilir:${\ Displaystyle I_{k}}$${\displaystyle \sol({\bar {\varphi }}_{ki}\sağ)_{i}}$

${\displaystyle {\bar {\varphi }}_{ki}:={\frac {1}{\sqrt {h_{k}}}}\varphi _{i}\left({\frac {x-x_ {k}}{h_{k}}}\sağ)\quad {\text{for}}\quad x\in I_{k}\,,}$

hangi yerine getirmek

${\displaystyle \left\langle {\bar {\varphi }}_{ki},{\bar {\varphi }}_{kj}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})} =\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\forall \,k\,.}$

İçin -normalization Biz define ve için -normalization tanımlarız , st ${\ Displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle \varphi _{ki}:={\sqrt {h_{k}}}{\bar {\varphi }}_{ki}}$${\görüntüleme stili L^{1}}$${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{ki}:={\frac {1}{\sqrt {h_{k}}}}{\bar {\varphi }}_{ki}}$

${\displaystyle \|\varphi _{ki}\|_{L^{\infty }(I_{k})}=\|\varphi _{i}\|_{L^{\infty }([0 ,1])}=:c_{i,\infty }\quad {\text{and}}\quad \|{\tilde {\varphi }}_{ki}\|_{L^{1}(I_ {k})}=\|\varphi _{i}\|_{L^{1}([0,1])}=:c_{i,1}\,.}$

Son olarak, çözümlerimizin temel temsilini tanımlayabiliriz. ${\displaystyle u_{h}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{h}(t,x):=&\sum _{i=0}^{p}u_{ki}(t)\varphi _{ki}(x)\ dörtlü {\text{for}}\quad x\in (x_{k},x_{k+1})\\u_{ki}(t)=&\left\langle u_{h}(t,\cdot ),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}\,.\end{hizalı}}}$

Burada, arayüz konumlarında tanımlı olmadığını unutmayın . ${\displaystyle u_{h}}$

Ayrıca, düzlemsel yapılar için kullanılan prizma tabanlar, 2-D/3-D hibridasyon yeteneğine sahiptir.

DG-şeması

Korunum yasası, test fonksiyonları ile çarpılarak ve test aralıkları üzerinden integrasyon yapılarak zayıf formuna dönüştürülür.

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&=0\\\Rightarrow \quad \left\langle \partial _{t}u,v\right \rangle _{L^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),v\right\rangle _{L^{2}(I_{k}) }&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,v\in S_{h}^{p}\\\Leftrightarrow \quad \left\langle \partial _{t}u,{\ tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i \leq p\,.\end{hizalı}}}$

Kısmi entegrasyon kullanılarak bir kişi bırakılır

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+f(u(t,x_{k+1})) {\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k+1})-f(u(t,x_{k})){\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k} )-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k} )}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{hizalı}}}$

Arayüzeylerdeki akıları sayısal Eritiş ile yaklaştırılır ile ${\görüntüleme stili g}$

${\displaystyle g_{k}:=g(u_{k}^{-},u_{k}^{+})\,,\quad u_{k}^{\pm }:=u(t,x_ {k}^{\pm })\,,}$

burada sol ve sağ taraftaki limitleri gösterir. Son olarak, DG-Şeması şu şekilde yazılabilir: ${\displaystyle u_{k}^{\pm }}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+g_{k+1}{\tilde {\varphi }} _{ki}(x_{k+1})-g_{k}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot) \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \ forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{hizalı}}}$

skaler eliptik denklem

Bir skaler eliptik denklem şu şekildedir:

${\displaystyle {\begin{hizalı}-\partial _{xx}u&=f(x)\quad {\text{for}}\quad x\in (a,b)\\u(x)&=g (x)\,\quad {\text{for}}\,\quad x=a,b\end{hizalı}}}$

Bu denklem, sıcaklığın nerede olduğu, kararlı hal ısı denklemidir . Uzay ayrıklaştırması yukarıdakiyle aynıdır. Aralığın uzunluk aralıklarına bölündüğünü hatırlıyoruz . ${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili (a,b)}$${\ Displaystyle N+1}$${\görüntüleme stili h}$

Düğümde atlama ve ortalama işlevleri tanıtıyoruz : ${\displaystyle [{}\cdot {}]}$${\displaystyle \{{}\cdot {}\}}$${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle [v]{\Big |}_{x_{k}}=v(x_{k}^{+})-v(x_{k}^{-}),\quad \{v\} {\Büyük |}_{x_{k}}=0.5(v(x_{k}^{+})+v(x_{k}^{-}))}$

İç ceza süreksiz Galerkin (IPDG) yöntemi şudur: tatmin edici bul${\displaystyle u_{h}}$

${\displaystyle A(u_{h},v_{h})+A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\ell (v_{h})+\ell _{\partial }( v_{h})}$

burada iki-doğrusal formları ve vardır ${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle A_{\kısmi }}$

${\displaystyle A(u_{h},v_{h})=\sum _{k=1}^{N+1}\int _{x_{k-1}}^{x_{k}}\partial _{x}u_{h}\partial _{x}v_{h}-\sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}u_{h}\}_{x_{k }}[v_{h}]_{x_{k}}+\varepsilon \sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}v_{h}\}_{x_{k} }[u_{h}]_{x_{k}}+{\frac {\sigma }{h}}\sum _{k=1}^{N}[u_{h}]_{x_{k} }[v_{h}]_{x_{k}}}$

ve

${\displaystyle A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\partial _{x}u_{h}(a)v_{h}(a)-\partial _{x}u_{h }(b)v_{h}(b)-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)u_{h}(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b) u_{h}(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}u_{h}(a)v_{h}(a)+u_{h}(b)v_{h} (b){\büyük )}}$

Lineer formlar ve vardır ${\görüntüleme stili\el }$${\displaystyle \el _{\kısmi }}$

${\displaystyle \ell (v_{h})=\int _{a}^{b}fv_{h}}$

ve

${\displaystyle \ell _{\partial}(v_{h})=-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)g(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h} (b)g(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}g(a)v_{h}(a)+g(b)v_{h}(b){\big )}}$

Ceza parametresi pozitif bir sabittir. Değerinin arttırılması süreksiz çözümdeki sıçramaları azaltacaktır. Terim simetrik iç ceza Galerkin yöntemine eşit olacak şekilde seçilmiştir ; simetrik olmayan iç ceza Galerkin yöntemine eşittir . ${\görüntüleme stili \sigma }$${\görüntüleme stili\varepsilon }$${\görüntüleme stili -1}$${\görüntüleme stili +1}$

Doğrudan süreksiz Galerkin yöntemi

Direkt süreksiz Galerkin (DDG) yöntemi difüzyon problemleri çözmek için yeni bir süreksiz Galerkin yöntemidir. 2009 yılında, Liu ve Yan ilk olarak difüzyon denklemlerini çözmek için DDG yöntemini önerdiler. Bu yöntemin Süreksiz Galerkin yöntemiyle karşılaştırıldığında avantajları, doğrudan süreksiz Galerkin yönteminin, ara değişkenler eklemeden doğrudan fonksiyonun sayısal akısını ve birinci türev terimini alarak sayısal formatı türetmesidir. Bu yöntemi kullanarak hala makul sayısal sonuçlar elde edebiliyoruz ve türetme işlemi daha basit, hesaplama miktarı büyük ölçüde azaltılıyor.

Doğrudan süreksiz sonlu elemanlar yöntemi, Süreksiz Galerkin yöntemlerinin bir dalıdır. Temel olarak problemin varyasyonel forma dönüştürülmesi, bölgesel birim bölme, temel fonksiyonların oluşturulması, süreksiz sonlu eleman denklemlerinin oluşturulması ve çözülmesi, yakınsama ve hata analizini içerir.

Örneğin, tek boyutlu doğrusal olmayan bir difüzyon denklemini düşünün:

${\displaystyle U_{t}-{(a(U)\cdot U_{x})}_{x}=0\ \ in\ (0,1)\times (0,T)}$, hangi ${\displaystyle U(x,0)=U_{0}(x)\ \ üzerinde\ (0,1)}$

Uzay ayrıklaştırma

İlk olarak, tanımlayın ve . Bu nedenle uzayın ayrıklaştırılmasını yaptık . Ayrıca tanımlayın . ${\displaystyle \left\{I_{j}=\left(x_{j-{\frac {1}{2}}},\ x_{j+{\frac {1}{2}}}\sağ), j=1...N\sağ\}}$${\displaystyle \Delta x_{j}=x_{j+{\frac {1}{2}}}-x_{j-{\frac {1}{2}}}}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle \Delta x=max_{1\leq j<N}\ \Delta x_{j}}$

Biz bir yaklaşım bulmak istediğiniz için böyle , , ${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle \forall t\in \sol[0,T\sağ]}$${\displaystyle u\in \mathbb {V} _{\Delta x}}$

${\displaystyle \mathbb {V} _{\Delta x}:=\left\{v\in L^{2}\left(0,1\sağ):{v|}_{I_{j}}\ P^{k}\sol(I_{j}\sağ),\ j=1,...,N\sağ\}} içinde$, derecesi at ve daha düşük olan polinomlar uzayıdır . ${\displaystyle P^{k}\sol(I_{j}\sağ)}$${\görüntüleme stili I_{j}}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili k}$

Şemanın formülasyonu

Akı: . ${\displaystyle h:=h\sol(U,U_{x}\sağ)=a\sol(U\sağ)U_{x}}$

${\görüntüleme stili U}$: denklemin tam çözümü.

Aşağıdaki denklemleri elde etmek için denklemi düzgün bir fonksiyonla çarpın : ${\displaystyle v\in H^{1}\sol(0,1\sağ)}$

${\displaystyle \int _{I_{j}}U_{t}vdx-h_{j+{\frac {1}{2}}}v_{j+{\frac {1}{2}}}+h_{j -{\frac {1}{2}}}+\int a\left(U\right)U_{x}v_{x}dx=0}$,

${\displaystyle \int _{I_{j}}U\sol(x,0\sağ)v\sol(x\sağ)dx=\int _{I_{j}}U_{0}\sol(x\ sağ)v\sol(x\sağ)dx}$

Burada keyfi, denklemin kesin çözümü yaklaşık çözüm ile değiştirilir , yani ihtiyacımız olan sayısal çözüm diferansiyel denklemlerin çözülmesiyle elde edilir. ${\görüntüleme stili v}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili u}$

sayısal akı

DDG yönteminin doğruluğu için uygun bir sayısal akı seçmek çok önemlidir.

Sayısal akı aşağıdaki koşulları sağlamalıdır:

♦ ile uyumludur ${\displaystyle h={b\sol(u\sağ)}_{x}=a\sol(u\sağ)u_{x}}$

♦ Sayısal akı, üzerindeki tek değerde muhafazakardır . ${\displaystyle x_{j+{\frac {1}{2}}}}$

♦ -stabiliteye sahiptir; ${\ Displaystyle L^{2}}$

♦ Yöntemin doğruluğunu artırabilir.

Böylece, sayısal akı için genel bir şema verilmiştir:

${\displaystyle {\widehat {h}}=D_{x}b(u)=\beta _{0}{\frac {\sol[b\sol(u\sağ)\sağ]}{\Delta x} }+{\overline {{b\left(u\right)}_{x}}}+\sum _{m=1}^{\frac {k}{2}}\beta _{m}{\ sol(\Delta x\sağ)}^{2m-1}\sol[\partial _{x}^{2m}b\sol(u\sağ)\sağ]}$

Bu akıda, iki komşu bilgi işlem birimindeki maksimum polinom sırasıdır. integral fonksiyonudur. Tek tip olmayan ızgaralarda, olması ve tek tip ızgaralarda olması gerektiğini unutmayın . ${\görüntüleme stili k}$${\displaystyle \sol[\cdot\sağ]}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle \left({\frac {\Delta x_{j}+\Delta x_{j+1}}{2}}\sağ)}$${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$

Hata tahminleri

Kesin çözüm arasındaki hata olduğunu göstermek ve sayısal çözelti olup . ${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili e=uU}$

Hatayı aşağıdaki normla ölçüyoruz:

${\displaystyle \left|\left|\left|v(\cdot ,t)\right|\right|\right|={\left(\int _{0}^{1}v^{2}dx+\ sol(1-\gamma \sağ)\int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}\int _{I_{j}}v_{x}^{2}dxd\ tau +\alpha \int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}{\left[v\sağ]}^{2}/\Delta x\cdot d\tau \sağ )}^{0.5}}$

ve bizde ,${\displaystyle \left|\left|\left|U(\cdot ,T)\right|\right|\right|\leq \left|\left|\left|U(\cdot ,0)\sağ|\ sağ|\sağ|}$${\displaystyle \left|\left|\left|u(\cdot ,T)\sağ|\sağ|\sağ|\leq \left|\left|\left|U(\cdot ,0)\sağ|\ sağ|\sağ|}$

Ayrıca bakınız

• Galerkin yöntemi

Referanslar

• DN Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn ve LD Marini, Eliptik problemler için süreksiz Galerkin yöntemlerinin birleşik analizi , SIAM J. Numer. Anal. 39(5):1749-1779, 2002.
• G. Baker, Uyumsuz elemanlar kullanan eliptik denklemler için sonlu eleman yöntemleri , Math. Komp. 31 (1977), hayır. 137, 45-59.
• A. Cangiani, Z. Dong, EH Georgoulis ve P. Houston, hp-Version Discontinuous Galerkin Methods on Polygonal and Polyhedral Meshes , SpringerBriefs in Mathematics, (Aralık 2017).
• W. Mai, J. Hu, P. Li ve H. Zhao, “ Dağınık paralel plaka çiftinde keyfi olarak şekillendirilmiş antipadler için uyarlamalı kriter ile verimli ve kararlı bir 2-D/3-D hibrit süreksiz Galerkin zaman alanı analizi , ” IEEE Trans. Mikrow. Teori Tekn. , cilt. 65, hayır. 10, s. 3671–3681, Ekim 2017.
• W.Mai et al. , “ Karşılaştırmalı hatayı kontrol eden 2-D/3-D hibrit süreksiz Galerkin zaman alanı yöntemi için basit bir güncelleme kriteri ” IEEE Trans. Mikrow. Teori Tekn. , cilt. 66, hayır. 4, s. 1713–1722, Nisan 2018.
• B. Cockburn, GE Karniadakis ve C.-W. Shu (ed.), Süreksiz Galerkin yöntemleri. Teori, hesaplama ve uygulamalar , Hesaplamalı Bilim ve Mühendislik Ders Notları, 11. Springer-Verlag, Berlin, 2000.
• P. Lesaint ve PA Raviart. "Nötron taşıma denklemini çözmek için bir sonlu eleman yöntemi üzerine." Kısmi diferansiyel denklemlerde sonlu elemanların matematiksel yönleri 33 (1974): 89-123.
• DA Di Pietro ve A. Ern, Süreksiz Galerkin Yöntemlerinin Matematiksel Yönleri . Matematik ve Uygulamalar, Cilt. 69, Springer-Verlag, Berlin, 2011.
• JS Hesthaven ve T. Warburton, Nodal Süreksiz Galerkin Yöntemleri: Algoritmalar, Analizler ve Uygulamalar . Uygulamalı Matematikte Springer Metinleri 54. Springer Verlag, New York, 2008.
• B. Rivière, Eliptik ve Parabolik Denklemleri Çözmek için Süreksiz Galerkin Yöntemleri: Teori ve Uygulama . Uygulamalı Matematikte SIAM Sınırları, 2008.
• CFD Wiki http://www.cfd-online.com/Wiki/Discontinuous_Galerkin
• WH Reed ve TR Hill, Nötron taşıma denklemi için üçgen ağ yöntemleri , Tech. Rapor LA-UR-73-479, Los Alamos Bilimsel Laboratuvarı, 1973.