Döngüsel süreç - Cyclostationary process

Bir siklostasyoner süreç , zamanla döngüsel olarak değişen istatistiksel özelliklere sahip bir sinyaldir . Bir durağan yöntem çoklu boş olarak araya olarak görülebilir sabit işlemler . Örneğin, New York City'deki maksimum günlük sıcaklık, döngüsel bir süreç olarak modellenebilir: 21 Temmuz'daki maksimum sıcaklık, 20 Aralık'taki sıcaklıktan istatistiksel olarak farklıdır; bununla birlikte, farklı yılların 20 Aralık'ındaki sıcaklığın aynı istatistiklere sahip olduğu makul bir tahmindir. Böylece günlük maksimum sıcaklıklardan oluşan rastgele süreci, her biri yılda bir kez yeni bir değer alan 365 serpiştirilmiş durağan süreç olarak görebiliriz.

Tanım

Siklostatik süreçlerin tedavisine yönelik iki farklı yaklaşım vardır. Olasılık yaklaşımı, ölçümleri stokastik bir sürecin bir örneği olarak görmektir . Alternatif olarak, deterministik yaklaşım, ölçümleri, zaman serisiyle ilişkili bazı olaylar için bir olasılık dağılımının, olayın zaman serisinin ömrü boyunca meydana geldiği zamanın kesri olarak tanımlanabileceği tek bir zaman serisi olarak görmektir. Her iki yaklaşımda da, süreç veya zaman serisinin, ancak ve ancak ilişkili olasılık dağılımları zamanla periyodik olarak değişiyorsa, döngüsel durağan olduğu söylenir. Bununla birlikte, deterministik zaman serisi yaklaşımında, alternatif ancak eşdeğer bir tanım vardır: Sonlu kuvvette toplam sinüs dalgası bileşenleri içermeyen bir zaman serisinin, eğer ve ancak ve ancak doğrusal olmayan zamanla değişmeyen bir dönüşümü varsa, döngüsel durağanlık sergilediği söylenir. pozitif-kuvvetli toplam sinüs dalgası bileşenleri üreten zaman serisi.

Geniş anlamda döngüsellik

Döngüsel-durağan sinyallerin önemli bir özel durumu, ikinci derece istatistiklerde (örneğin, otokorelasyon fonksiyonu) döngüsel-durağanlık sergileyen bir durumdur . Bunlara geniş anlamda döngüsel durağan sinyaller denir ve geniş anlamda durağan süreçlere benzerler. Kesin tanım, sinyalin stokastik bir süreç olarak mı yoksa deterministik bir zaman serisi olarak mı ele alındığına bağlı olarak farklılık gösterir.

Döngüsel stokastik süreç

Ortalama ve otokorelasyon fonksiyonunun stokastik bir süreci : ${\görüntüleme stili x(t)}$${\displaystyle \operatöradı {E} [x(t)]}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=\operatöradı {E} \{x(t+\tau )x^{*}(t)\},\,}$

yıldızın karmaşık konjugasyonu gösterdiği yerde, her ikisi de ve periyot ile döngüsel ise , periyot ile geniş anlamda siklodurağan olduğu söylenir, yani: ${\görüntüleme stili T_{0}}$${\displaystyle \operatöradı {E} [x(t)]}$${\displaystyle R_{x}(t,\tau )}$${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili T_{0},}$

${\displaystyle \operatöradı {E} [x(t)]=\operatöradı {E} [x(t+T_{0})]{\text{ tümü için }}t}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=R_{x}(t+T_{0};\tau ){\text{ tümü için }}t,\tau.}$

Otokorelasyon fonksiyonu bu nedenle t cinsinden periyodiktir ve Fourier serisinde genişletilebilir :

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )e^{j2 \pi {\frac {n}{T_{0}}}t}}$

burada döngüsel otokorelasyon işlevi denir ve şuna eşittir: ${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )}$

${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{ 0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.}$

Frekanslara döngüsel frekanslar denir . ${\displaystyle n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,}$

Geniş anlamda durağan süreçler, yalnızca siklodurağan süreçlerin özel bir durumudur . ${\displaystyle R_{x}^{0}(\tau )\neq 0}$

Döngüsel zaman serisi

Stokastik bir sürecin örnek yolu olmayan ve yalnızca zamanın bir fonksiyonu olan bir sinyal, zaman kesri bakış açısı çerçevesinde döngüsel durağan özellikler sergileyebilir . Bu şekilde, döngüsel otokorelasyon fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir:

${\displaystyle {\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\ int _{-T/2}^{T/2}x(t+\tau )x^{*}(t)e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t} \mathrm {d} t.}$

Zaman serisi, stokastik bir sürecin örnek yoluysa, . Sinyali ayrıca ise ergodik , tüm numune yolları aynı sergiler zaman-ortalama ve bu nedenle de ortalama kare hata anlamda. ${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\operatöradı {E} \left[{\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}( \tau )\sağ]}$${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )}$

Frekans alanı davranışı

Döngüsel frekans α'daki döngüsel otokorelasyon fonksiyonunun Fourier dönüşümü, döngüsel spektrum veya spektral korelasyon yoğunluk fonksiyonu olarak adlandırılır ve şuna eşittir:

${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}^{\alpha }(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\mathrm {d} \tau .}$

Sıfırıncı döngüsel frekanstaki döngüsel spektrum, aynı zamanda ortalama güç spektral yoğunluğu olarak da adlandırılır . Bir Gauss döngüsel durağan süreç için, hız bozulma fonksiyonu döngüsel spektrumu cinsinden ifade edilebilir.

Fourier dönüşümü ile bir siklodurağan stokastik sürecin , katları ile ayrılmış frekans bileşenlerini ilişkilendirebileceğini belirtmekte fayda var , çünkü: ${\görüntüleme stili x(t)}$${\görüntüleme stili X(f)}$${\displaystyle 1/T_{0}}$

${\displaystyle \operatöradı {E} \sol[X(f_{1})X^{*}(f_{2})\sağ]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S_{ x}^{n/T_{0}}(f_{1})\delta \left(f_{1}-f_{2}+{\frac {n}{T_{0}}}\sağ)}$

ile ifade eden Dirac delta fonksiyonu . Geniş anlamda durağan bir süreç için farklı frekanslar her zaman korelasyonsuzdur çünkü yalnızca için . ${\görüntüleme stili \delta (f)}$${\displaystyle f_{1,2}}$${\displaystyle S_{x}^{n/T_{0}}(f)\neq 0}$${\görüntüleme stili n=0}$

Örnek: lineer modülasyonlu dijital sinyal

Döngüsel-durağan sinyale bir örnek, doğrusal olarak modüle edilmiş dijital sinyaldir  :

${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}p(t-kT_{0})}$

burada edilir IID rastgele değişkenler. Fourier dönüşümü ile dalga formu , modülasyonun destekleyici darbesidir. ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {C} }$${\görüntüleme stili p(t)}$${\görüntüleme stili P(f)}$

ve varsayılarak , otomatik korelasyon işlevi şöyledir: ${\displaystyle \operatöradı {E} [a_{k}]=0}$${\displaystyle \operatöradı {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(t,\tau )&=\operatöradı {E} [x(t+\tau )x^{*}(t)]\\[6pt]&=\ toplam _{k,n}\operatöradı {E} [a_{k}a_{n}^{*}]p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-nT_{0}) \\[6pt]&=\sigma _{a}^{2}\sum _{k}p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0}).\end {hizalı}}}$

Son toplamı a, periyodik toplama , dolayısıyla bir sinyal periyodik t . Bu şekilde, periyot ve döngüsel otokorelasyon fonksiyonuna sahip bir döngüsel durağan sinyaldir : ${\görüntüleme stili x(t)}$${\görüntüleme stili T_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0} /2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\,\mathrm {d } t\\[6pt]&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}\sigma _{a}^ {2}\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0})e^{-j2\pi { \frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\ toplam _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-T_{0}/2-kT_{0}}^{T_{0}/2-kT_{0}}p(\lambda + \tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}(\lambda +kT_{0})}\mathrm {d} \lambda \ \[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }p(\lambda +\tau )p ^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\lambda }\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\ sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}p(\tau )*\left\{p^{*}(-\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{ T_{0}}}\tau }\sağ\}.\end{hizalı}}}$

ile işaret konvolüsyonu . Döngüsel spektrum: ${\görüntüleme stili *}$

${\displaystyle S_{x}^{n/T_{0}}(f)={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}P(f)P^{* }\sol(f-{\frac {n}{T_{0}}}\sağ).}$

Dijital iletişimde benimsenen tipik yükseltilmiş kosinüs darbeleri bu nedenle yalnızca sıfır olmayan döngüsel frekanslara sahiptir. ${\görüntüleme stili n=-1,0,1}$

Döngüsel modeller

Döngüsel durağan davranışı dahil etmek için otoregresif hareketli ortalama modelleri sınıfını genelleştirmek mümkündür . Örneğin, Troutman tedavi ardışık bağlanım otoregresyon katsayıları ve hata varyansı artık sabit olan fakat zamanla peryodik olarak değişen hangi. Çalışmaları, zaman serisi analizi alanındaki bir dizi başka döngüsel süreçler çalışmasını takip ediyor .

Uygulamalar

• Cyclostationarity, Telekomünikasyonda sinyal senkronizasyonundan yararlanmak için kullanılır ;
• In Ekonometri , cyclostationarity finansal marketler periyodik davranışını analiz etmek için kullanılır;
• Kuyruk teorisi, bilgisayar ağlarını ve araç trafiğini analiz etmek için döngüsel durağan teoriyi kullanır;
• Döngüsel durağanlık, dönen ve ileri geri hareket eden makineler tarafından üretilen mekanik sinyalleri analiz etmek için kullanılır.

Mekanik sinyallerin açı-zaman siklodurağanlığı

Dönen veya ileri geri hareket eden makineler tarafından üretilen mekanik sinyaller, döngüsel süreçler olarak oldukça iyi modellenmiştir. Siklodurağan aile, toplama türünden (tonal bileşenlerin varlığı) veya çarpımsal türden (periyodik modülasyonların varlığı) gizli periyodikliklere sahip tüm sinyalleri kabul eder. Bu dişli mekanizma, yataklar, içten yanmalı motorlar, türbofanlar pompalar, pervaneler vb durağan işlemleri gibi mekanik sinyalleri açık modellemesi olarak çeşitli uygulamalarda yararlı olduğu bulunmuştur tarafından üretilen gürültü ve titreşim için geçerli olması umulur gürültü , titreşim ve sertlik (NVH) ve durum izleme . İkinci alanda, döngüsel durağanlığın, rulman arızalarının teşhisinde kullanılan popüler bir analiz tekniği olan zarf spektrumunu genelleştirdiği bulunmuştur .

Dönen makine sinyallerinin bir özelliği, işlemin periyodunun, belirli bir bileşenin dönüş açısıyla - makinenin "döngüsü" ile sıkı bir şekilde bağlantılı olmasıdır . Aynı zamanda, diferansiyel zaman denklemleri tarafından yönetilen dinamik fenomenlerin doğasını yansıtmak için zamansal bir tanım korunmalıdır. Bu nedenle, açı-zaman otokorelasyon fonksiyonu kullanılır,

${\displaystyle R_{x}(\theta ,\tau )=\operatör adı {E} \{x(t(\theta )+\tau )x^{*}(t(\theta ))\},\, }$

burada açı, açıya karşılık gelen zaman anı ve zaman gecikmesi anlamına gelir. Açı-zaman otokorelasyon fonksiyonu, açıda periyodik bir bileşen sergileyen, yani bazı açısal periyot için sıfır olmayan bir Fourier-Bohr katsayısına sahip olan işlemlere (geniş anlamda) açı-zaman siklodurağan denir. Açı-zaman otokorelasyon fonksiyonunun çift Fourier dönüşümü, sıra-frekans spektral korelasyonunu tanımlar , ${\görüntüleme stili \teta}$${\görüntüleme stili t(\teta )}$${\görüntüleme stili \teta}$${\görüntüleme stili\tau }$${\displaystyle R_{x}(\theta ;\tau )}$${\görüntüleme stili\Teta }$

${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\lim _{S\rightarrow +\infty }{\frac {1}{S}}\int _{-S/2}^{S/ 2}\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}(\theta ,\tau )e^{-j2\pi f\tau }e^{-j2\pi \alpha {\frac {\theta }{\Theta }}}\,\mathrm {d} \tau \,\mathrm {d} \theta }$

burada bir sıra ( devir başına olay birimi ) ve frekans (Hz cinsinden birim). ${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili f}$

Referanslar

Dış bağlantılar

• Karıştırıcılarda, osilatörlerde, örnekleyicilerde ve mantıkta gürültü: döngüsel gürültüye giriş el yazması açıklamalı sunum sunumu