Contraharmonic ortalama - Contraharmonic mean

Matematik olarak, bir contraharmonic ortalama tamamlayıcı bir fonksiyonu olan harmonik ortalama . Contraharmonic ortalama a, özel bir durum arasında Lehmer ortalama , , burada p = 2. ${\ Displaystyle L_ {s}}$

Tanım

Pozitif sayılar kümesinin contraharmonic ortalama olarak tanımlanır aritmetik ortalama sayılar aritmetik ortalamasına bölünmesiyle sayıların kareleri:

${\ Displaystyle {\ başlar {hizalanmış} \ operatorname {C} \ sol (n x_ {1}, x_ {2} \ noktalar, x_ {} \ doğru) = {{1 sol n üzerinden \} \ (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ sağ) \ üzerinde {1 n üzerinden \} \ sol (x_ {1} + x_ {2 } + \ cdots + x_ {n} \ sağ)}, \\ [3 Pt] = {{x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ { 2}} fazla \ {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}}}. \ ucu {hizalanmış}}}$

Özellikleri

Bunun bir karakteristik özellikleri taşıyorsa olduğunu göstermek kolaydır ortalama :

• ${\ Displaystyle \ operatorname {C} \ sol (x_ {1}, x_ {2} \, \ noktalar, \, x_ {n} \ sağ) \ in \ sol [\ dak \ sol (x_ {1}, x_ {2} \, \, \, x_ {n} \ sağ), \, \ maks \ sol noktalar (x_ {1}, x_ {2} \, \ noktalar, \, x_ {n} \ sağ )\sağ]}$
• ${\ Displaystyle \ operatorname {C} \ sol (t \ cdot x_ {1}, t \ cdot x_ {2} \, \ noktalar, \, t \ cdot x_ {n} \ doğru) = t \ cdot Cı \ sol (x_ {1}, x_ {2} \, \ noktalar, \, x_ {n} \ sağ) {\ {} metin} t> 0}$

İlk özellik ima sabit nokta özelliğini , hepsi için k > 0,

C ( k , k , ..., k ) = k

Contraharmonic ortalama daha değerinden yüksektir aritmetik ortalama ve daha da yüksek ortalama karekök :

${\ Displaystyle \ dak (\ mathbf {x}) \ leq \ operatorname {lH} (\ mathbf {x}) \ leq \ operatorname {G} (\ mathbf {x}) \ leq \ operatorname {L} (\ mathbf {x}) \ leq \ operatorname {A} (\ mathbf {x}) \ leq \ operatorname {R} (\ mathbf {x}) \ leq \ operatorname {C} (\ mathbf {x}) \ leq \ maks (\ mathbf {x})}$

burada X değerlerinin bir listesi, H harmonik ortalama olan, G, bir geometrik ortalama , L olan ortalama logaritmik , bir olan aritmetik ortalama , R, bir ortalama karekök ve Cı contraharmonic ortalamasıdır. Tüm değerler sürece x aynıdır, yukarıda ≤ işaretler <tarafından değiştirilebilir.

Adı contraharmonic dolayı sadece iki değişken ortalaması alınarak zaman, contraharmonic ortalama yukarıdaki gibi yüksek olduğu gerçeğine bağlı olabilir aritmetik ortalama aritmetik harmonik ortalamanın üzerinde olduğu anlamına olarak (diğer bir deyişle, iki değişken aritmetik ortalama eşittir onların armonik ve contraharmonic araçlarla aritmetik ortalamasına).

İki değişken formüller

Aritmetik ortalama ve iki değişkenin harmonik ortalaması için formüller itibaren biz var:

${\ Displaystyle {\ başlar {hizalanmış} \ operatorname {A}, (a, b) = {{a + b} \ 2 üzerinde} \\\ operatorname {lH} (a, b) üzerinden = {1 \ { {2 üzerinden 1 \} \ cdot {\ sol (fazla {1 \ a} + b üzerinden {1 \} \ sağ)}}} = {{2ab} \ {a + b}} \\\ operatorname üzerinde {Cı } (a, b) = 2 \ cdot bir (a, b) -H, (a, b) '\\ & = a + b - {{2ab} \ üzerinde {a + b}} = {{(a + b) ^ {2} -2ab} fazla \ {a + b}} \\ & = {{a ^ {2} + B ^ {2}} \ üzerinde {a + b}} \ ucu {hizalanmış}}}$

armonik ve contraharmonic araçlarının ortalama aritmetik ortalamasına tam eşittir iki değişken için dikkat edin:

Bir ( H ( a ,  b ), Cı- ( a ,  b )) = A ( a ,  b )

De bir 0 sonra yaklaştıkça , H ( a ,  b ), aynı zamanda harmonik ortalama düşük değerlere çok hassastır 0 daha yakın olur. Şekilde Öte yandan, contraharmonic ortalama, daha büyük değerlere duyarlı bir 0 sonra yaklaşımlar C ( a ,  b ) yaklaşımları b (böylece ortalama kalır  bir ( a ,  b )).

2-değişken yollarla arasında iki diğer önemli ilişkiler vardır. İlk olarak, aritmetik ve harmonik ortalama geometrik ortalama iki değerlerin geometrik ortalaması eşittir:

$Sol {\ displaystyle \ operatorname {G} (\ operatorname {A}, (a, b) '\ operatorname {lH} (a, b)) = \ operatorname {G} \ ({{a + b} \ 2 üzerinde} {{2ab} fazla \ {a + b}} \ sağ) = {\ sqrt {{{a + b} \ 2 üzerinde} \ cdot {{2ab} fazla \ {a + b}}}} = {\ sqrt {ab}} = \ operatorname {G} (a, b)}$

ıkıncı aritmetik ve contraharmonic aracının geometrik ortalama kök ortalama kare olmasıdır:

${\ Displaystyle {\ başlar {hizalanmış} \ operatorname {G} \ sol (\ operatorname {A}, (a, b) '\ operatorname {C}, (a, b)' \ sağ) = {} \ operatorname {G} \ sol {{\\ = {} ve {\ sqrt ({{a + b} \ 2 üzerinde} \ doğru {{a ^ {2} + B ^ {2}} {a + b} fazla \}) {a + b} \ 2 üzerinde} \ cdot {{a ^ {2} + B ^ {2}} fazla \ {a + b}}}} = {} {\ sqrt {{a ^ {2} + B ^ {2}} \ 2 üzerinde}} \\ [2 PT] = {} \ operatorname {R}, (a, b) '\ ucu {hizalanmış}}}$

İki değişkenin contraharmonic ortalama geometrik bir yamuk kullanılarak yapılabilir (bakınız [1] ).

Ek yapılar

Contraharmonic ortalama benzer şekilde bir daire üzerinde inşa edilebilir Pisagor aracı iki değişken ile inşa edilmiştir. Contraharmonic harmonik ortalama uzandığı çapının kalandır.

istatistikte kullanır

Rastgele değişkenin contraharmonic ortalama aritmetik ortalama toplamı eşittir ve varyans aritmetik ortalaması ile bölünmüş. Varyans yana her zaman ≥0 contraharmonic ortalama aritmetik ortalaması, her zaman daha yüksek veya buna eşittir.

Bir boyut eğimli numunenin sorun örnekleme liflerin bir problem 1969 Cox tartışılmıştır. Beklenti boyutu yanlı numunenin kendi contraharmonic ortalama eşittir.

örneklenen bir elyafın olasılığı uzunluğu ile orantılıdır. Bu nedenle her zamanki örnek ortalaması (aritmetik ortalama) gerçek ortalama bir yanlı kestiricisi olduğu. Bu dikkate görmek için

${\ Displaystyle g (x) = {\ frac {xf (x)}, {m}}}$

burada f ( x ) doğru nüfus dağılımı, g ( x ) uzunluğu ağırlıklı dağılım ve m, örnek ortalamasıdır. Ortalama olağan beklenti çıkarak burada oldukça numunenin olağan (aritmetik) ortalamasına göre contraharmonic ortalama verir. Bu sorun, yerine harmonik ortalama (1 / beklentisini alarak aşılabilir X ). 1 / 'beklentisi ve varyans x olan

${\ Displaystyle \ operatorname {E} \ sol [{\ frac {1} {x}} \ doğru] = {\ frac {1} {m}}}$

ve varyans vardır

${\ Displaystyle \ operatorname {Var} \ sol ({\ frac {1} {x}} \ sağ) = {\ frac {mE sol \ [{\ frac {1} {x}} - 1 \ doğru]} { nm ^ {2}}}}$

burada E: [] beklenti operatördür. Asymptotik e [1 / X ], normal olarak dağıtılır.

Uzunluğu yanlı örnekleme asimptotik verimliliği altında yatan dağılımına rastgele örneklemesi ile karşılaştırıldığında bağlıdır. Eğer f ( x ) ise , normal log popülasyon ise ise verimi 1 dağıtılmış gama göstergesi olan b , verimlilik b / ( B - 1) .

Bu dağıtım çeşitli alanlarda kullanılmaktadır.

Tarihçe

Contraharmonic ortalama Yunan matematikçi tarafından keşfedildi Eudoxos 4. yüzyılda M.Ö..

Ayrıca bakınız

• Harmonik ortalama
• Lehmer demek
• Pisagor araçlar

Referanslar

• Deneme # 3 - Bazı "demek" Trapezoids Shannon Umberger tarafından: [2]
• Yamuk içinde Contraharmonic Mean inşaatı: [3]
• Yamuk anlamına gelir: [4]
• Karmaşık sayıları: [5]
• Roger B. Nelsen, sayfa 56, Visual Düşüncede Kelimeler / Egzersizleri olmadan İspat ISBN  0-88385-700-6
• Pisagor maddeler: [6] (bir çapa oluşturma Harmonik diğer tarafına dairenin merkezi boyunca ortalama temsil segment uzatmak Contraharmonic ortalama bir harmonik parçası bırakıldıktan sonra çapı parçasının uzunluğu.).
• Pahikkala, Jussi (2010), contraharmonic ortalama Açma ve Pisagor üçlü , Elemente der Mathematik 65 (2): 62-67.

Dış bağlantılar

• Contraharmonic oranı en PlanetMath.org .