Tam Boole cebiri - Complete Boolean algebra

Bu makale, bir tür matematiksel yapı hakkındadır. Boole işleçlerinin eksiksiz kümeleri için, bkz. İşlevsel eksiksizlik .

Gelen matematik bir tam Boole cebri a, Boole cebri her hangi bir alt kümesi , bir sahiptir sup (en üst sınırı ). Komple Boole cebirleri, zorlama teorisinde Boolean değerli küme teorisi modellerini oluşturmak için kullanılır . Her Boole cebri A'nın özünde benzersiz bir tamamlaması vardır; bu, A'yı içeren eksiksiz bir Boole cebridir, öyle ki her öğe A'nın bir alt kümesinin üstünlüğüdür . Bir şekilde , kısmen sıralı bir setin , bu tamamlama A olan Dedekind'in-MacNeille tamamlama .

Daha genel olarak, κ bir kardinal ise, κ'den küçük her kardinalite alt kümesinin bir üstünlüğü varsa , Boole cebri κ-tam olarak adlandırılır .

Örnekler

  • Her sonlu Boole cebri tamamlanmıştır.
  • Alt kümelerinin cebir , belirli bir dizi tam bir Boole cebri olduğunu.
  • Düzenli açık kümeler herhangi topolojik uzay tam bir Boole cebir oluştururlar. Bu örnek özellikle önemlidir, çünkü her zorlama pozu bir topolojik uzay ( belirli bir elemandan küçük veya ona eşit tüm elemanların kümesi olan kümelerden oluşan topoloji için bir taban) olarak kabul edilebilir . Karşılık gelen düzenli açık cebir, daha sonra verilen zorlama pozu tarafından genel uzantılara eşdeğer olan Boolean değerli modeller oluşturmak için kullanılabilir .
  • Bir σ-sonlu ölçüm uzayının tüm ölçülebilir alt kümelerinin cebiri, modulo boş kümeler, tam bir Boole cebridir. Ölçü uzayı, Lebesgue ölçülebilir kümelerinin σ-cebiriyle birim aralığı olduğunda, Boole cebiri rastgele cebir olarak adlandırılır .
  • Bir ölçü uzayının tüm ölçülebilir alt kümelerinin cebri ℵ 1 tam Boole cebridir , ancak genellikle tam değildir.
  • Sonlu veya sonlu tümleyeni olan bir sonsuz kümenin tüm alt kümelerinin cebiri bir Boole cebridir, ancak tam değildir.
  • Sayılabilir tabanlı bir topolojik uzayda tüm Baire kümeleri modulo yetersiz kümelerinin Boole cebri tamamlanmıştır; topolojik uzay gerçek sayılar olduğunda, cebire bazen Cantor cebiri denir .

  • Tam olmayan bir Boole cebrinin başka bir örneği, tüm doğal sayı kümelerinin Boole cebri P(ω)'dir ve sonlu alt kümelerin ideal Fin'i ile bölümlenir. P(ω)/Fin ile gösterilen sonuç nesnesi, doğal kümelerin tüm denklik sınıflarından oluşur , burada ilgili denklik ilişkisi , simetrik farkları sonluysa iki doğal kümenin eşdeğer olduğudur . Boolean işlemleri durumunda, örneğin, benzer şekilde tanımlanır A ve B iki denklik sınıfları P (ω) / Fin, biz tanımlamak eşdeğerlilik sınıf olmak üzere , bir ve B bazı (herhangi bir) elemanlarıdır A ve B , sırasıyla .

    Şimdi bir 0 , a 1 , … ikili olarak ayrık sonsuz doğal kümeler olsun ve A 0 ,  A 1 , … onların P(ω)/Fin'deki karşılık gelen denklik sınıfları olsun. Daha sonra herhangi bir üst sınır verilen X ve A 0 ,  A 1 , ... P (ω) 'de / Fin, sürekli olarak bir daha düşük üst sınırı, bir temsilcisinden kaldırarak X, her birinin bir elemanının bir n . Bu nedenle A n'nin üstünlüğü yoktur.

  • Bir Boole cebri, ancak ve ancak , asal ideallerin Stone uzayının aşırı derecede bağlantısız olması durumunda tamamlanır .

Tam Boole cebirlerinin özellikleri

  • Eğer Sikorski en uzatma teoremi devletler A Boole cebri bir alt cebiri olan B , daha sonra herhangi bir homomorfizma A tam bir Boole cebri için C Bir morfizma kadar uzatılabilir B için C .
  • Tam bir Boole cebrinin her alt kümesinin tanımı gereği bir üstünlüğü vardır; bundan her alt kümenin ayrıca bir infimum (en büyük alt sınır) olduğu sonucu çıkar.
  • Tam bir boole cebri için her iki sonsuz dağıtım yasası da geçerlidir.
  • Tam bir boole cebiri için sonsuz de-Morgan yasaları geçerlidir.

Boole cebrinin tamamlanması

Boole cebrinin tamamlanması birkaç eşdeğer yolla tanımlanabilir:

  • Tamamlanması A eşsiz tam Boole cebri (kadar isomorphism kadar) B içeren bir şekilde bir yoğun olduğu B ; bu, B'nin sıfır olmayan her elemanı için A'nın sıfır olmayan daha küçük bir elemanı olduğu anlamına gelir .
  • A'nın tamamlanması (izomorfizme kadar), A'yı içeren benzersiz tam Boole cebri B'dir , öyle ki B'nin her elemanı A'nın bir alt kümesinin üstünlüğüdür .

Bir Boole cebri A'nın tamamlanması birkaç yolla oluşturulabilir:

  • Tamamlama, A'nın asal ideallerinin Stone uzayındaki düzenli açık kümelerin Boole cebridir . Her bir eleman x arasında bir içermeyen asal idealin açık kümesine tekabül x (açık ve kapalı ve bu nedenle düzenli).
  • Tamamlama, A'nın düzenli kesimlerinin Boole cebridir . Burada kesik bir alt kümesidir u arasında bir + (sıfır olmayan elemanları, A ), örneğin, eğer q, içinde U ve p  ≤  q sonra s olan U ve adı düzenli zaman eğer p değil U bazı vardır r  ≤  p öyle ki U hiçbir elemanı ≤ r içermez  . Her eleman s arasında bir elemanların ≤ kesisine tekabül  p .

Eğer bir Metrik alan ve bir B daha sonra herhangi bir izometri olarak tamamlanması A tam bir metrik alanı için C benzersiz bir izometrinin uzatılabilir B için C . Tam Boole cebirlerin için analog bilgilerin doğru değildir: bir Boole cebri bir homomorfizması A tam bir Boole cebri için C zorunlu tamamlanması komple Boole cebirlerin bir (sup koruyarak) homomorfizmasının için uzatılamaz B arasında A için C . (Sikorski uzantısı olarak teoremi ondan Boole cebirlerinin bir homomorfizmasının kadar uzatılabilir B için C , ancak bu genel olarak tam Boole cebirlerinin bir homomorfizması olmayacak; diğer bir deyişle, bu SUPREMA korumak zorunda değildir.)

Ücretsiz κ-tam Boole cebirleri

Sürece Seçme aksiyomu gevşetilir, ücretsiz (set sonlu olmadığı sürece) kümesi tarafından üretilen komple boole cebiri yoktur. Daha kesin olarak, herhangi bir kardinal κ için, sayılabilir bir alt küme tarafından tam bir Boole cebri olarak üretilen , κ'den 2 κ büyük olan tam bir Boole cebri vardır; Örneğin ürün uzay düzenli açık kümelerin Boole cebri κ w , κ ayrık topoloji vardır. Bir sayılabilir jeneratör tüm kümeler oluşmaktadır bir m , n için m , n, elemanlardan oluşan tamsayılar, x  s  globülini k co öyle ki x ( m ) <  x ( n ). (Bu boole cebri, çöken cebir olarak adlandırılır , çünkü onunla zorlamak, kardinal κ'yi ω üzerine daraltır.)

Özellikle, tam Boole cebirlerinden kümelere unutkan functor, sürekli olmasına ve Boole cebirlerinin kategorisi küçük tam olmasına rağmen, sol eki yoktur. Bu, Freyd'in birleşik functor teoremindeki "çözüm kümesi koşulunun" gerekli olduğunu gösterir.

Bir X kümesi verildiğinde , bu küme tarafından üretilen serbest Boole cebri A oluşturulabilir ve ardından B tamamlayıcısı alınabilir . Bununla birlikte, B , X tarafından üretilen bir "serbest" tam Boole cebri değildir ( X sonlu olmadıkça veya AC atlanmadıkça), çünkü X'ten bir serbest Boole cebri C'ye bir fonksiyon genel olarak bir (üstün-koruyan) morfizmine genişletilemez. Boolean cebir B için C .

Öte yandan, herhangi bir sabit kardinal κ için, verilen herhangi bir küme tarafından üretilen serbest (veya evrensel) κ-tam bir Boole cebiri vardır.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Stavi, Jonathan (1974), "Sonsuz serbest tam Boole cebirli bir ZF modeli", Israel Journal of Mathematics , 20 (2): 149-163, doi : 10.1007/BF02757883 , S2CID  119543439 .