Cavalieri ilkesi - Cavalieri's principle

Cavalieri'nin prensibini üç boyutlu olarak gösteren, aynı hacme sahip iki İngiliz madeni para yığını

In geometri , Cavalieri prensibi , modern bir uygulama indivisibles yöntemiyle adını, Bonaventura Cavalieri , aşağıdaki gibi olduğu:

• 2-boyutlu durum : Bir düzlemdeki iki bölgenin o düzlemdeki iki paralel çizgi arasında olduğunu varsayalım. Bu iki doğruya paralel olan her doğru, her iki bölgeyi de eşit uzunlukta doğru parçalarıyla kesiyorsa, iki bölgenin alanları eşittir.
• 3-boyutlu durum : İki paralel düzlem arasında üç uzayda (katılar) iki bölge olduğunu varsayalım. Bu iki düzleme paralel olan her düzlem, her iki bölgeyi de eşit alanlı kesitlerde kesiyorsa, o zaman iki bölge eşit hacimlere sahiptir.

Bugün Cavalieri ilkesi integral hesabı yolunda erken bir adım olarak görülüyor ve Fubini'nin teoremindeki genellemesi gibi bazı biçimlerde kullanılsa da , Cavalieri ilkesini kullanan sonuçlar genellikle entegrasyon yoluyla daha doğrudan gösterilebilir. Diğer yönde, Cavalieri'nin ilkesi , limitleri kullanan ancak sonsuz küçükleri kullanmayan eski Yunan tükenme yönteminden doğdu .

Tarih

Bonaventura Cavalieri , ilkenin adını alan matematikçi.

Cavalieri'nin ilkesi, başlangıçta, Rönesans Avrupa'sında bilinen adıyla bölünmezler yöntemi olarak adlandırıldı . Cavalieri, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota ( Geometri, continua'nın bölünmezleri tarafından yeni bir şekilde geliştirilmiş , 1635) ve Exercitationes geometrik seks ( Altı geometrik alıştırma , 1647) adlı eserinde detaylandırılan eksiksiz bir bölünmezler teorisi geliştirdi . Cavalieri'nin çalışması ilkeyi oluştururken, yayınlarında sürekliliğin bölünmezlerden oluştuğunu, ilişkili paradokslardan ve dini ihtilaflardan kaçınmak için reddetti ve daha önce bilinmeyen sonuçları bulmak için kullanmadı.

MÖ 3. yüzyılda Arşimet , Cavalieri ilkesine benzer bir yöntem kullanarak , Mekanik Teoremlerin Yöntemi adlı eserinde bir koni ve silindirin hacimleri verilen bir kürenin hacmini bulabilmiştir . MS 5. yüzyılda Zu Chongzhi ve oğlu Zu Gengzhi, bir kürenin hacmini bulmak için benzer bir yöntem geliştirdiler. İçin Cavalieri'nin indivisibles geçiş Evangelista Torricelli 'ler ve John Wallis ' ın sonsuz küçükler tarihinin büyük bir ilerleme oldu hesabının . Bölünemezler, eşboyut 1'in varlıklarıydı , böylece bir düzlem figürün sonsuz sayıda 1 boyutlu çizgilerden oluştuğu düşünülüyordu. Bu arada, sonsuz küçükler, oluşturdukları şekille aynı boyuttaki varlıklardı; bu nedenle, sonsuz küçük genişlikteki "paralelkenarlar"dan bir düzlem figür yapılacaktı. Bir aritmetik ilerlemenin toplamı formülünü uygulayan Wallis, bir üçgenin alanını 1/∞ genişliğinde sonsuz küçük paralelkenarlara bölerek hesapladı.

Örnekler

küreler

Kürenin disk şeklindeki kesiti, silindirin koninin dışında kalan kısmının halka şeklindeki kesitiyle aynı alana sahiptir .

Biri hacmi olduğunu bilirse koni olan , sonra bir bir hacim gerçeğini türetmek için Cavalieri prensibi kullanabilirsiniz küre olduğu yerde, yarıçapı. ${\textstyle {\frac {1}{3}}\left({\text{base}}\times {\text{yükseklik}}\sağ)}$${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$${\görüntüleme stili r}$

Bu şu şekilde yapılır: Bir yarıçap küresi ve yarıçapı ve yüksekliği olan bir silindir düşünün . Silindirin içinde, tepesi silindirin bir tabanının merkezinde ve tabanı silindirin diğer tabanı olan koni bulunur. Tarafından Pisagor teoreminin , uçak yer "ekvator" yukarıdaki birimler yarıçaplı bir daire içinde küre kesişen ve alan . Düzlemin koninin dışında kalan silindir kısmıyla kesiştiği alan da . Gördüğümüz gibi, herhangi bir yükseklikte bulunan yatay bir düzlemin küresiyle kesişimi tarafından tanımlanan dairenin alanı, bu düzlemin koninin "dışında" olan silindir kısmıyla kesişme alanına eşittir; bu nedenle, Cavalieri ilkesini uygulayarak, yarım kürenin hacminin, silindirin koninin "dışındaki" bölümünün hacmine eşit olduğunu söyleyebiliriz. Koninin yukarıda belirtilen hacmi silindirin hacmine eşittir , dolayısıyla koninin dışındaki hacim silindirin hacmidir. Bu nedenle kürenin üst yarısının hacmi silindirin hacmine eşittir . Silindirin hacmi ${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili y}$${\textstyle {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$${\displaystyle \pi \sol(r^{2}-y^{2}\sağ)}$${\displaystyle \pi \sol(r^{2}-y^{2}\sağ)}$${\görüntüleme stili y}$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$${\textstyle {\frac {2}{3}}}$${\textstyle {\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle {\text{taban}}\times {\text{yükseklik}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}}$

( "Temel" birimleri cinsinden bir alanı ; "yükseklik" birimleri cinsinden bir mesafe . Alan x mesafesi = hacim ).

Bu nedenle üst yarım kürenin hacmi ve tüm kürenin hacmi . ${\textstyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

Koniler ve piramitler

Herhangi bir piramidin hacmi , ister koni durumunda olduğu gibi dairesel olsun, ister Mısır piramitleri durumunda olduğu gibi kare olsun, ya da başka herhangi bir şekilde olsun, tabanın şeklinden bağımsız olarak (1/3) × taban × yükseklik, Cavalieri ilkesiyle, yalnızca bir durumda doğru olduğu biliniyorsa kurulabilir. Bir üçgen prizmanın içini eşit hacimli üç piramidal bileşene bölerek başlangıçta tek bir durumda kurabilir. Bu üç cildin eşitliği Cavalieri ilkesiyle gösterilebilir.

Aslında, Cavalieri prensibi veya benzer sonsuz argümandır gerekli esas içeriği koni ve hatta piramitlerin hacmi hesaplamak için Hilbert'in üçüncü sorun çok yüzlü piramitler ve koniler, standart bir şekle kesilmiş ve yeniden düzenlenmiş olmayabilir ve bunun yerine karşılaştırılmalıdır - sonsuz (sonsuz küçük) yollarla. Eski Yunanlılar , bu hacimleri hesaplamak için Arşimet'in mekanik argümanları veya tükenme yöntemi gibi çeşitli öncül teknikleri kullandılar .

peçete halkası sorunu

Bir kürenin merkezinden doğrudan h yüksekliğinde bir delik delinirse, kalan bandın hacmi kürenin boyutuna bağlı değildir. Daha büyük bir küre için bant daha ince ancak daha uzun olacaktır.

Adlandırılan içinde peçete halkası sorun bir delik kalan bant yüksekliği olan bir küre merkezinden geçen düz delinerek zaman, Cavalieri prensibi ile bir gösterir h , kalan malzemenin hacmi şaşırtıcı büyüklüğüne bağlı değildir küre. Kalan halkanın kesiti, alanı iki dairenin alanları arasındaki fark olan bir düzlem halkadır. Pisagor teoremine göre, iki çemberden birinin alanı π çarpı r  ²  −  y  ^2'dir , burada r kürenin yarıçapıdır ve y ekvator düzleminden kesme düzlemine olan mesafedir ve diğerininki π çarpı r  ²  − ( h /2) ² . Bunlar çıkarıldığında, r  ² iptal olur; dolayısıyla alt satırdaki cevabın r'ye bağımlılığının olmaması  .

sikloidler

Aynı daire üzerinde, bir durumda altındaki çizgide saat yönünde, diğerinde üstündeki çizgide saat yönünün tersine yuvarlanan bir nokta tarafından izlenen iki sikloidal yay ile sınırlanan bölgenin yatay kesiti, karşılık gelen çizgiyle aynı uzunluğa sahiptir. dairenin yatay kesiti.

N. Reed, Cavalieri ilkesini kullanarak bir sikloidin sınırladığı alanın nasıl bulunacağını göstermiştir . Yarıçapı r olan bir daire, altındaki bir çizgi üzerinde saat yönünde veya üstündeki bir çizgi üzerinde saat yönünün tersine dönebilir. Çember üzerindeki bir nokta böylece iki sikloidin izini sürer. Daire belirli bir mesafeyi kat ettiğinde, saat yönünde döneceği açı ile saat yönünün tersine döneceği açı aynıdır. Sikloidleri izleyen iki nokta bu nedenle eşit yüksekliktedir. Bu nedenle içlerinden geçen çizgi yataydır (yani, dairenin üzerinde yuvarlandığı iki çizgiye paralel). Sonuç olarak, dairenin her yatay kesiti, iki siloid yayı tarafından sınırlanan bölgenin karşılık gelen yatay kesiti ile aynı uzunluğa sahiptir. Cavalieri ilkesine göre, daire bu nedenle o bölgeyle aynı alana sahiptir.

Tek bir sikloid kemeri çevreleyen dikdörtgeni düşünün. Bir sikloid tanımından, genişliği 2π r ve yüksekliği 2 r'dir , yani alanı dairenin alanının dört katıdır. Dikdörtgeni, kemerin dikdörtgenle birleştiği orta noktada ikiye bölerek sikloid kemerin üzerinde kalan bu dikdörtgenin içindeki alanı hesaplayın, bir parçayı 180° döndürün ve dikdörtgenin diğer yarısını onunla kaplayın. Dairenin iki katı alana sahip yeni dikdörtgen, alanı yukarıda daireninkiyle aynı olacak şekilde hesaplanan iki sikloid arasındaki "mercek" bölgesinden ve sikloid kemerinin üzerindeki bölgeyi oluşturan iki bölgeden oluşur. orijinal dikdörtgende. Böylece, sikloidin tek bir tam kemerinin üzerinde bir dikdörtgenle sınırlanan alan, dairenin alanına eşittir ve bu nedenle, kemer tarafından sınırlanan alan, dairenin alanının üç katıdır.

Ayrıca bakınız

• Fubini teoremi (Cavalieri ilkesi, Fubini teoreminin özel bir durumudur)

Referanslar

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Cavalieri'nin İlkesi" . Matematik Dünyası .
• (Almanca) Prinzip von Cavalieri
• Cavalieri Entegrasyonu