integral - Integral

Belirli integral örneği
Bir fonksiyonun belirli bir integrali, grafiğiyle sınırlanan bölgenin işaretli alanı olarak temsil edilebilir.

In matematik , bir tamamlayıcı yer değiştirme, açıklayacak şekilde işlevlerine atar sayılar alanı , hacim ve birleştirerek ortaya diğer kavramlar sonsuzküçük verilerini. İntegral bulma işlemine entegrasyon denir . Farklılaşma ile birlikte , entegrasyon kalkülüsün temel, temel bir işlemidir ve diğerlerinin yanı sıra rastgele bir şeklin alanını, bir eğrinin uzunluğunu ve bir katının hacmini içeren matematik ve fizikteki problemleri çözmek için bir araç olarak hizmet eder .

Burada sayılan integraller , belirli bir fonksiyonun gerçek doğrudaki iki nokta arasındaki grafiğiyle sınırlanan düzlemdeki bölgenin işaretli alanı olarak biçimsel olarak yorumlanabilen belirli integraller olarak adlandırılanlardır . Geleneksel olarak, düzlemin yatay ekseninin üzerindeki alanlar pozitif, alttaki alanlar ise negatiftir. İntegraller ayrıca türevi verilen fonksiyon olan bir fonksiyon olan ters türev kavramına da atıfta bulunur . Bu durumda bunlara belirsiz integraller denir . Hesabın esaslı teoremi farklılaşma ile belirli integraller ile ilgilidir ve İlkel biliniyorsa, bir fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için bir yöntem sağlar.

Alanları ve tarihli hacimleri hesaplama yöntemlerine karşın eski Yunan matematik , entegrasyon prensipleri ile, bağımsız bir şekilde formüle edildi Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz'i dikdörtgenler sonsuz toplamı olarak eğrisi altındaki alan düşüncelerini 17. yüzyılda, sonsuz genişliği . Bernhard Riemann daha sonra , bölgeyi ince dikey levhalara bölerek eğrisel bir bölgenin alanına yaklaşan bir sınırlayıcı prosedüre dayanan integrallerin kesin bir tanımını verdi .

İntegraller, fonksiyonun türüne ve entegrasyonun gerçekleştirildiği alana bağlı olarak genelleştirilebilir . Örneğin, iki veya daha fazla değişkenli fonksiyonlar için bir çizgi integrali tanımlanır ve integrasyon aralığı, aralığın iki uç noktasını birleştiren bir eğri ile değiştirilir. Bir de yüzey integrali , eğri bir parça ile değiştirilmiştir yüzey olarak üç boyutlu uzayda .

Tarih

Ön hesap entegrasyonu

Belirleyen integral yeteneğine ilk belgelenmiş sistematik bir tekniktir tükenme yöntemi ait antik Yunan astronomu Eudoxus ( yaklaşık bölünmeler sonsuz sayıda içine onları kırarak alan ve hacim bulmak için aranan 370 BC), hangi alan ya da hacim için biliniyordu. Bu yöntem daha da geliştirilmiştir tarafından kullanılmıştır Arşimed 3 yüzyılda ve hesaplamak için kullanılan bir daire alanı , yüzey alanı ve hacmi , bir bir küre , bir alanı elips , bir altındaki alan parabol , bir bölümünün hacmi bir devrim paraboloidi , bir devrim hiperboloidinin bir parçasının hacmi ve bir spiralin alanı .

Benzer bir yöntem, çemberin alanını bulmak için kullanan Liu Hui tarafından MS 3. yüzyılda Çin'de bağımsız olarak geliştirildi . Bu yöntem daha sonra 5. yüzyılda Çinli baba-oğul matematikçiler Zu Chongzhi ve Zu Geng tarafından bir kürenin hacmini bulmak için kullanıldı.

Orta Doğu'da, Alhazen ( c.  965  - c.  1040  MS) olarak Latinize edilen Hasan İbn el-Haytham, dördüncü kuvvetlerin toplamı için bir formül türetmiştir . Sonuçları, integral karelerin ve dördüncü kuvvetlerin toplamlarının formüllerinin bir paraboloidin hacmini hesaplamasına izin verdiği bu fonksiyonun entegrasyonu olarak adlandırılacak olanı gerçekleştirmek için kullandı .

İntegral hesabındaki sonraki önemli gelişmeler 17. yüzyıla kadar ortaya çıkmaya başlamadı. Bu zamanda, çalışma Cavalieri onun ile bölünmezler yöntemi ile ve iş Fermat ait integralleri işlem Cavalieri, modern matematik temellerini başladı x , n kadar bir dereceye kadar , n = 9 içinde Cavalieri kareleme formül . 17. yüzyılın başlarında , entegrasyon ve farklılaşma arasındaki bağlantının ilk ipuçlarını sağlayan Barrow ve Torricelli tarafından daha ileri adımlar atıldı . Barrow , kalkülüsün temel teoreminin ilk kanıtını sağladı . Wallis , Cavalieri'nin yöntemini genelleştirdi, x'in integrallerini negatif güçler ve kesirli güçler de dahil olmak üzere genel bir güce hesapladı.

Leibniz ve Newton

Entegrasyondaki en büyük ilerleme, Leibniz ve Newton tarafından kalkülüsün temel teoreminin bağımsız keşfiyle 17. yüzyılda geldi . Teorem, entegrasyon ve farklılaşma arasındaki bağlantıyı gösterir. Bu bağlantı, karşılaştırmalı türev alma kolaylığı ile birleştiğinde, integralleri hesaplamak için kullanılabilir. Özellikle, hesabın temel teoremi, kişinin çok daha geniş bir problem sınıfını çözmesine izin verir. Hem Leibniz hem de Newton'un geliştirdiği kapsamlı matematiksel çerçeve eşit derecede önemlidir. Sonsuz küçük hesap adı verildiğinde, sürekli etki alanları içindeki fonksiyonların kesin analizine izin verdi. Bu çerçeve sonunda , integrallerin gösterimi doğrudan Leibniz'in çalışmasından alınan modern hesap haline geldi .

Resmileştirme

Newton ve Leibniz entegrasyona sistematik bir yaklaşım sağlarken, çalışmaları bir dereceye kadar titizlikten yoksundu . Piskopos Berkeley , Newton tarafından kullanılan kaybolan artımlara unutulmaz bir şekilde saldırdı ve onları " ayrılan miktarların hayaletleri " olarak nitelendirdi. Hesap, limitlerin gelişmesiyle daha sağlam bir temele kavuştu . Entegrasyon, ilk olarak Riemann tarafından sınırlar kullanılarak titizlikle resmileştirildi . Tüm sınırlı parçalı sürekli fonksiyonlar, sınırlı bir aralıkta Riemann-integrallenebilir olmasına rağmen, daha sonra, Riemann'ın tanımının uygulanmadığı daha genel fonksiyonlar - özellikle Fourier analizi bağlamında - düşünüldü ve Lebesgue , ölçüye dayalı farklı bir integral tanımı formüle etti . teori ( gerçek analizin bir alt alanı ). Riemann ve Lebesgue'nin yaklaşımlarını genişleten diğer integral tanımları önerildi. Gerçek sayı sistemine dayalı bu yaklaşımlar günümüzde en yaygın olanlardır, ancak hipergerçek sayı sistemine dayalı sonsuz bir Riemann toplamının standart parçası olarak integral tanımı gibi alternatif yaklaşımlar mevcuttur .

Tarihsel gösterim

Belirsiz integrali için gösterim tarafından tanıtılan Gottfried Wilhelm Leibniz'i 1675. O uyarlanmış olarak entegre sembolü , , mektup s ( uzun s ), ayakta summa (yazılır summa ; "toplamı" için Latince ya da "toplam") . Yukarıda ve integral işareti altında limitlerine kesin integrali modern notasyonu, ilk tarafından kullanılmıştır Joseph Fourier içinde Hatıratlardaki Fransız Akademisi etrafında 1819-1820 arasında, 1822 kitabında yeniden basıldı.

Isaac Newton , entegrasyonu belirtmek için bir değişkenin üzerinde küçük bir dikey çubuk kullandı veya değişkeni bir kutunun içine yerleştirdi. Dikey çubuk ile kolayca karıştırıldı.xveya x , farklılaşmayı belirtmek için kullanılır ve kutu gösteriminin yazıcılar için yeniden üretilmesi zordu, bu nedenle bu gösterimler yaygın olarak benimsenmedi.

Terimin ilk kullanımı

Terim ilk olarak 1690'da Jacob Bernoulli tarafından Latince olarak basılmıştır : "Ergo et horum Integralia aequantur".

Terminoloji ve gösterim

Genel olarak, bir reel değerli f ( x ) fonksiyonunun bir x reel değişkenine göre [ a , b ] aralığında integrali şu şekilde yazılır:

İntegral işareti , entegrasyonu temsil eder. Sembol dx denilen, diferansiyel değişkenin x , entegrasyon değişken olduğunu gösterir x . f ( x ) fonksiyonuna integrand, a ve b noktalarına integralin limitleri (veya sınırları) denir ve integralin [ a , b ] aralığının üzerinde olduğu söylenir ve buna integrasyon aralığı denir. Bir fonksiyonun integrallenebilir olduğu söylenir. etki alanı üzerindeki integrali sonluysa ve sınırlar belirtildiğinde, bu integral belirli bir integral olarak adlandırılır.

Aşağıdaki gibi limitler atlandığında

integrale, türevi integral olan bir fonksiyon sınıfını ( ters türev) temsil eden belirsiz integral denir . Hesabın esaslı teoremi belirsiz integraller belirli integrallerin değerlendirilmesini de ilgilidir. Sınırsız alanlarda ve/veya birden çok boyutta entegrasyonu kapsayacak integraller için gösterimin çeşitli uzantıları vardır (bu makalenin sonraki bölümlerine bakın).

Gelişmiş ayarlarda, yalnızca basit Riemann integrali kullanıldığında veya tam integral türü önemsiz olduğunda dx'i dışarıda bırakmak nadir değildir . Örneğin , Riemann integrali ve bunun tüm genellemeleri tarafından paylaşılan bir özellik olan integralin doğrusallığını ifade etmek için yazılabilir .

yorumlar

5 sarı sağ uç nokta bölümü ve 12 yeşil sol uç nokta bölümü ile 0'dan 1'e x integraline yaklaşımlar

İntegraller birçok pratik durumda ortaya çıkar. Örneğin, tabanı düz bir dikdörtgen olan bir yüzme havuzunun uzunluğu, genişliği ve derinliğinden, içerebileceği suyun hacmi, yüzeyinin alanı ve kenarının uzunluğu belirlenebilir. Ancak tabanı yuvarlatılmış oval ise, bu nicelikler için kesin ve kesin değerler bulmak için integraller gerekir. Her durumda, aranan miktar sonsuz sayıda sonsuz küçük parçaya bölünebilir , ardından doğru bir yaklaşım elde etmek için parçaları toplayabilir.

Örneğin, f ( x ) = x fonksiyonunun x = 0 ile x = 1 arasındaki grafiğiyle sınırlanan bölgenin alanını bulmak için , aralık beş adımda ( 0, 1/5, 2/) geçilebilir. 5, ..., 1 ), ardından her parçanın sağ uç yüksekliğini kullanarak bir dikdörtgeni doldurun (böylece 0 , 1/5 , 2/5 , ..., 1 ) ve alanlarını toplayarak bir yaklaşıklığı

hangi kesin değerden daha büyüktür. Alternatif olarak, bu alt aralıkları her parçanın sol uç yüksekliğine sahip olanlarla değiştirirken, elde edilen yaklaşıklık çok düşüktür: bu tür on iki alt aralık ile yaklaşık alan sadece 0,6203'tür. Ancak parça sayısı sonsuza kadar arttığında aranan alanın tam değeri olan bir sınıra ulaşacaktır (bu durumda 2/3 ). biri yazıyor

yani 2/3 , [0, 1] aralığında dx ile gösterilen sonsuz küçük adım genişlikleri ile çarpılan x fonksiyon değerlerinin ağırlıklı toplamının sonucudur .

Darboux toplamları
Üst Darboux toplamı örneği
Darboux fonksiyonunun üst toplamları y = x 2
Alt Darboux toplamı örneği
Darboux fonksiyonunun alt toplamları y = x 2

Resmi tanımlar

Riemann toplamı yakınsaklığı
Riemann toplamları yakınsak

Bir integrali resmi olarak tanımlamanın birçok yolu vardır, bunların hepsi eşdeğer değildir. Farklılıklar, çoğunlukla, diğer tanımlar altında bütünleştirilemeyen farklı özel durumlarla başa çıkmak için vardır, ancak bazen pedagojik nedenlerle de vardır. En sık kullanılan tanımlar Riemann integralleri ve Lebesgue integralleridir.

Riemann integrali

Riemann integrali, bir aralığın etiketli bölümlerine göre Riemann fonksiyonların toplamı olarak tanımlanır . Gerçek doğru üzerinde kapalı bir aralığın [ a , b ] etiketli bir bölümü sonlu bir dizidir

Bu bölmeler aralığı [ a , b ] içine n alt aralıkları [ x i -1 , X i ] endeksli i her biri, seçkin bir nokta ile "etiketli" t i ∈ [ x i -1 , X i ] . Bir Riemann toplamı bir fonksiyonu f örneğin etiketlenmiş bir bölümü ile ilgili olarak olarak tanımlanmaktadır

böylece toplamın her bir terimi, verilen alt aralığın ayırt edici noktasındaki fonksiyon değerine eşit yüksekliği ve alt aralığın genişliği ile aynı genişliği olan bir dikdörtgenin alanıdır, Δ ben = x benx ben -1 . Örgü , örneğin a bölüm en büyük alt-aralık bölümü tarafından oluşturulan genişliği etiketli maksimum i = 1 ... n Ô i . Riemann yekpare bir fonksiyonu f aralığı boyunca [ a , b ] eşittir S edin:

Hepsi için vardır herhangi etiketli bir bölümü için, böyle az örgü ile ,

Seçilen etiketler her aralığın maksimum (sırasıyla, minimum) değerini verdiğinde, Riemann toplamı bir üst (sırasıyla, daha düşük) Darboux toplamı olur ve bu, Riemann integrali ile Darboux integrali arasındaki yakın bağlantıyı önerir .

Lebesgue integrali

Riemann ve Lebesgue integrallerinin karşılaştırılması
Riemann-Darboux entegrasyonu (üstte) ve Lebesgue entegrasyonu (altta)

İntegral altında limite geçebilmek hem teoride hem de uygulamada genellikle ilgi çekicidir. Örneğin, uygun bir anlamda bir problemin çözümüne yaklaşan bir işlevler dizisi sıklıkla oluşturulabilir. O halde çözüm fonksiyonunun integrali, yaklaşımların integrallerinin limiti olmalıdır. Ancak limit olarak elde edilebilen birçok fonksiyon Riemann ile integrallenemez ve bu nedenle bu tür limit teoremleri Riemann integrali ile uyuşmaz. Bu nedenle, daha geniş bir fonksiyon sınıfının entegre edilmesini sağlayan bir integral tanımına sahip olmak büyük önem taşımaktadır.

Böyle bir integral, integrallenebilir fonksiyonların sınıfını genişletmek için aşağıdaki gerçeği kullanan Lebesgue integralidir: Bir fonksiyonun değerleri alan üzerinde yeniden düzenlenirse, fonksiyonun integrali aynı kalmalıdır. Böylece Henri Lebesgue , kendi adını taşıyan integrali tanıttı ve bu integrali Paul Montel'e yazdığı bir mektupta şöyle açıkladı :

Cebimde biriktirdiğim belli bir meblağı ödemek zorundayım. Cebimdeki banknotları ve madeni paraları çıkarıyorum ve toplam tutara ulaşana kadar bulduğum sırayla alacaklıya veriyorum. Bu Riemann integralidir. Ama farklı şekilde devam edebilirim. Cebimdeki tüm parayı aldıktan sonra, aynı değerlere göre banknot ve madeni paraları sipariş ediyorum ve ardından birkaç yığını birbiri ardına alacaklıya ödüyorum. Bu benim integralim.

Folland'ın belirttiği gibi, " f'nin Riemann integralini hesaplamak için , [ a , b ] alanı alt aralıklara bölünür", Lebesgue integralinde ise " f'nin aralığı fiilen bölünür ". Lebesgue integralinin tanımı böylece bir ölçü ile başlar , μ. En basit durumda, A = [ a , b ] aralığının Lebesgue ölçüsü μ ( A ) genişliğidir, ba , böylece Lebesgue integrali her ikisi de mevcut olduğunda (uygun) Riemann integrali ile uyuşur. Daha karmaşık durumlarda, ölçülen kümeler, süreklilik ve aralıklara benzerlik olmaksızın oldukça parçalı olabilir.

" f aralığını bölme " felsefesini kullanarak, negatif olmayan bir f  : RR fonksiyonunun integrali, y = t ve y = t + dt arasındaki ince bir yatay şerit arasındaki alanların t üzerindeki toplamı olmalıdır . Bu alan sadece μ { x  : f ( x ) > t }  dt'dir . Let f * ( t ) = μ { x  : f ( x >) t } . f'nin Lebesgue integrali şu şekilde tanımlanır:

sağdaki integral sıradan bir uygunsuz Riemann integrali olduğunda ( f kesin olarak azalan pozitif bir fonksiyondur ve bu nedenle iyi tanımlanmış bir uygunsuz Riemann integraline sahiptir). Uygun bir fonksiyon sınıfı için ( ölçülebilir fonksiyonlar ) bu, Lebesgue integralini tanımlar.

Genel bir ölçülebilir fonksiyon f grafiğinin arasındaki bölgelerin alanlarının mutlak değerlerinin toplamı ise Lebesgue integrallenebilirdir f ve x -Axis sonlu:

Yukarıda alanı arasındaki fark, Riemannsal durumunda olduğu gibi bu durumda, yekpare olduğu , x -Axis ve altındaki alan x -Axis:

nerede

Diğer integraller

Riemann ve Lebesgue integralleri, integralin en yaygın kullanılan tanımları olmasına rağmen, aşağıdakiler de dahil olmak üzere bir dizi başka tanım mevcuttur:

Özellikler

doğrusallık

Kapalı bir aralıkta [ a , b ] Riemann ile integrallenebilir fonksiyonların toplanması, noktasal toplama ve bir skaler ile çarpma işlemleri ve integral alma işlemi altında bir vektör uzayı oluşturur .

a, işlevsel doğrusal bu vektör alan. Böylece, integrallenebilir fonksiyonların toplanması, lineer kombinasyonlar altında kapalıdır ve lineer bir kombinasyonun integrali, integrallerin lineer kombinasyonudur:

Benzer bir şekilde, grubu gerçek belirli bir ilgili Lebesgue entegre edilebilir fonksiyonlar -valued ölçüm aralığı E ölçüsüyle μ doğrusal kombinasyonlarını alan ve dolayısıyla bir vektör boşluk oluşturmak altında kapatılır ve Lebesgue

bu vektör uzayında lineer bir fonksiyoneldir, yani:

Daha genel olarak, yerel olarak kompakt bir topolojik alan K , f  : EV üzerinde yerel olarak kompakt tam bir topolojik vektör uzayında V değerler alarak bir ölçüm uzayı ( E , μ ) üzerindeki tüm ölçülebilir fonksiyonların vektör uzayını düşünün . Daha sonra, her f fonksiyonuna V'nin bir elemanı veya sembolü atanan soyut bir integrasyon haritası tanımlanabilir ,

lineer kombinasyonlarla uyumludur. Bu durumda, doğrusallık, integrali V'nin bir elemanı olan (yani "sonlu") fonksiyonların alt uzayı için geçerlidir . En önemli özel durumlar ortaya çıkan K olan R ' , Cı- veya alan, sınırlı bir uzantısı S p ve p-adik sayı ve V üzerinde sonlu boyutlu vektör alanıdır K ne zaman ve K = C ve V bir komplekstir Hilbert uzayı .

Doğrusallık, bazı doğal süreklilik özellikleri ve belirli bir "basit" fonksiyon sınıfı için normalizasyon ile birlikte, integralin alternatif bir tanımını vermek için kullanılabilir. Bu, Nicolas Bourbaki tarafından yerel olarak kompakt bir topolojik vektör uzayındaki değerlere sahip fonksiyonlara genelleştirilmiş bir X kümesindeki gerçek değerli fonksiyonlar durumu için Daniell'in yaklaşımıdır . İntegralin aksiyomatik karakterizasyonu için Hildebrandt 1953'e bakınız .

eşitsizlikler

Kapalı ve sınırlı bir aralık [ a , b ] üzerinde tanımlanan Riemann ile integrallenebilir fonksiyonlar için bir dizi genel eşitsizlik vardır ve diğer integral kavramlarına genelleştirilebilir (Lebesgue ve Daniell).

  • Üst ve alt sınırlar. [ a , b ] üzerinde integrallenebilir bir f fonksiyonu zorunlu olarak bu aralıkta sınırlandırılır . Böylece m ve M reel sayıları vardır, böylece [ a , b ] içindeki tüm x için mf  ( x ) ≤ M olur . f bölü [ a , b ] ' nin alt ve üst toplamları sırasıyla m ( b - a ) ve M ( b - a ) ile sınırlandırıldığından, bundan şu sonuç çıkar:
  • Fonksiyonlar arası eşitsizlikler. Eğer f ( x ) ≤ g ( x ) her biri için , x in [ a , b ] daha sonra her bir üst ve alt toplamların f sırasıyla üst ve alt toplamları, yukarıda sınırlanmış g . Böylece
    M ( b - a ) M bölü [ a , b ] değerine sahip sabit fonksiyonun integrali olduğundan, bu yukarıdaki eşitsizliklerin bir genellemesidir . Ayrıca, fonksiyonlar arasındaki eşitsizlik katı ise, integraller arasındaki eşitsizlik de katıdır. Yani, [ a , b ] içindeki her x için f ( x ) < g ( x ) ise , o zaman
  • Alt aralıklar. Eğer [ c , d ] bir alt aralığın olan [ a , b ] ve f  ( x ) için tüm negatif olmayan bir x , daha sonra
  • Çarpımlar ve fonksiyonların mutlak değerleri. Eğer f ve g iki fonksiyon ise, o zaman onların noktasal çarpımlarını ve güçlerini ve mutlak değerlerini dikkate alabiliriz :
    Eğer f üzerinde Riemann-integrallenebilirdir [ a , b ] daha sonra aynı için de geçerlidir | f | , ve
    Ayrıca, eğer f ve g her ikisi de Riemann ile integrallenebilir ise, o zaman fg de Riemann ile integrallenebilirdir ve
    Cauchy-Schwarz eşitsizliği olarak bilinen bu eşitsizlik, Hilbert uzay teorisinde önemli bir rol oynar ; burada sol taraf, [ a , b ] aralığında iki kare integrallenebilir f ve g fonksiyonunun iç çarpımı olarak yorumlanır .
  • Hölder eşitsizliği . Varsayalım ki p ve q, iki gerçek sayılar olan 1 ≤ s , q ≤ ∞ ile 1/P + 1/Q= 1 ve f ve g iki Riemann-integrallenebilir fonksiyonudur. Ardından işlevler | f | p ve | g | q da integrallenebilirdir ve aşağıdaki Hölder eşitsizliği geçerlidir:
    İçin p = q = 2 , tutamak eşitsizliği Cauchy-Schwartz eşitsizliği olur.
  • Minkowski eşitsizliği . p ≥ 1'in bir reel sayı olduğunu ve f ve g'nin Riemann ile integrallenebilir fonksiyonlar olduğunu varsayalım . Sonra | f | p , | g | p ve | f + g | p ayrıca Riemann ile integrallenebilirdir ve aşağıdaki Minkowski eşitsizliği geçerlidir:
    Lebesgue integrali bu eşitsizlik bir analogu yapımında kullanılan L s boşluklar .

Sözleşmeler

Bu bölümde, f bir olan reel değerli Riemann-integrallenebilen işlevi . integral

bir aralık üzerinden [ a , b ] , a < b ise tanımlanır . Bu, f fonksiyonunun üst ve alt toplamlarının a = x 0x 1 bölümünde değerlendirildiği anlamına gelir . . . x n = b , değerleri x i artan. Geometrik olarak bu, integrasyonun "soldan sağa" gerçekleştiğini, f'yi [ x i  , x ben  +1 ] aralıklarında değerlendirerek , burada daha yüksek indeksli bir aralığın daha düşük indeksli bir aralığın sağında yer aldığı anlamına gelir . Değerleri , bir ve b , uç-noktası aralığı olarak adlandırılır entegrasyon sınırları arasında f . İntegraller ayrıca a > b ise tanımlanabilir :

İle bir = b , bu ima:

Birinci kural, [ a , b ] alt aralıkları üzerinden integral almak için gereklidir ; ikincisi, dejenere bir aralık veya bir nokta üzerinden alınan bir integralin sıfır olması gerektiğini söyler . İlk Kongre için bir nedeni, bir sistem bütünlüğü olmasıdır f bir aralık üzerinde [ a , b ] anlamına gelir f herhangi bir alt-aralığın üzerinde integrallenebilirdir [ c , d ] , fakat özellikle integralleri özelliğine sahip olduğu takdirde C herhangi biridir elemanı arasında [ a , b ] , sonra:

İlk konvansiyonla, ortaya çıkan ilişki

daha sonra a , b ve c'nin herhangi bir döngüsel permütasyonu için iyi tanımlanmıştır .

Kalkülüsün temel teoremi

Hesabın esaslı teoremi ifadesi olan farklılaşma ve entegrasyon ters işlemler şunlardır: a ise sürekli fonksiyon ilk farklılaşmış sonra entegre edilir ve orijinal fonksiyonu alınır. Bazen hesabın ikinci temel teoremi olarak adlandırılan önemli bir sonuç, entegre edilecek fonksiyonun bir ters türevi kullanılarak integrallerin hesaplanmasına izin verir.

İlk teorem

Let f bir tanımlı sürekli gerçek değerli fonksiyonu belli bir aralıkta [ a , b ] . F , [ a , b ] içindeki tüm x için tanımlanan fonksiyon olsun .

O halde F , [ a , b ] üzerinde süreklidir, ( a , b ) açık aralığında türevlenebilir ve

( a , b ) içindeki tüm x için .

ikinci teorem

Let f bir tanımlı gerçek değerli bir fonksiyondur olarak kapalı aralık [ a , b , bir kabul] İlkel F ile [ a , b ] . Yani, f ve F öyle fonksiyonlardır ki , [ a , b ] içindeki tüm x için ,

Eğer f integre verildi [ a , b ] o

Uzantılar

uygun olmayan integraller

Uygunsuz ayrılmaz etki ve aralık ikisi için sınırsız aralıkları vardır.

"Uygun" bir Riemann integrali, integralin tanımlı ve sonlu olduğunu, integralin sınırlarıyla parantez içine alınmış kapalı ve sınırlı bir aralıkta olduğunu varsayar. Bu koşullardan biri veya daha fazlası sağlanmadığında uygun olmayan bir integral oluşur. Bazı durumlarda, bu tür integraller , giderek daha büyük aralıklarda uygun Riemann integrallerinin bir dizisinin limiti dikkate alınarak tanımlanabilir .

Aralık sınırsızsa, örneğin üst ucunda, bu uç nokta sonsuza giderken uygun olmayan integral sınırdır:

İntegrant yalnızca yarı açık bir aralıkta tanımlıysa veya sonluysa, örneğin ( a , b ] , o zaman yine bir sınır sonlu bir sonuç sağlayabilir:

Yani, integral aralığının bir uç noktası belirli bir gerçek sayıya veya veya −∞'ye yaklaşırken, uygun olmayan integral uygun integrallerin sınırıdır . Daha karmaşık durumlarda, her iki uç noktada veya iç noktalarda limitler gereklidir.

Çoklu entegrasyon

Çift katlı integral bir yüzeyin altındaki hacmi hesaplar

Bir değişkenli pozitif fonksiyonun belirli integrali, fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasındaki bölgenin alanını temsil ettiği gibi , iki değişkenli pozitif bir fonksiyonun çift ​​katlı integrali de tanımlanan yüzey arasındaki bölgenin hacmini temsil eder. fonksiyon ve alanını içeren düzlem tarafından. Örneğin, iki boyutlu bir fonksiyonu iki gerçek değişkene bağlıdır x ve y , ve bir işlev entegralinin f dikdörtgen fazla R verilen Kartezyen ürün iki aralıkların yazılabilir

burada diferansiyel dA , entegrasyonun alana göre alındığını gösterir. Bu çift ​​katlı integral Riemann toplamları kullanılarak tanımlanabilir ve R alanı üzerinde z = f ( x , y ) grafiğinin altındaki (işaretli) hacmi temsil eder . Uygun koşullar altında (örneğin, f sürekli ise), Fubini'nin teoremi , bu integralin eşdeğer yinelenen bir integral olarak ifade edilebileceğini belirtir.

Bu, tek boyutlu integralleri hesaplamak için çift katlı bir integral hesaplama sorununu azaltır. Bu nedenle, R üzerindeki integral için başka bir gösterim çift ​​integral işareti kullanır:

Daha genel etki alanları üzerinden entegrasyon mümkündür. Bir fonksiyon ayrılmaz f aşırı hacmine göre, ile, n- boyutlu bir bölge D ait gibi sembolleri ile işaret edilmektedir:

Çizgi integralleri ve yüzey integralleri

Bir çizgi integrali, bir eğri boyunca öğeleri toplar.

İntegral kavramı, eğri çizgiler ve daha yüksek boyutlu uzayların içindeki yüzeyler gibi daha genel entegrasyon alanlarına genişletilebilir. Bu tür integraller sırasıyla çizgi integralleri ve yüzey integralleri olarak bilinir. Bunların, vektör alanlarıyla uğraşırken olduğu gibi fizikte önemli uygulamaları vardır .

Bir çizgi integrali (bazen yol integrali olarak adlandırılır ), entegre edilecek fonksiyonun bir eğri boyunca değerlendirildiği bir integraldir . Çeşitli farklı çizgi integralleri kullanılmaktadır. Kapalı bir eğri olması durumunda, aynı zamanda bir kontur integrali olarak da adlandırılır .

Entegre edilecek fonksiyon bir skaler alan veya bir vektör alanı olabilir . Çizgi integralinin değeri, eğri üzerindeki bazı skaler fonksiyonlarla (genel olarak yay uzunluğu veya bir vektör alanı için, vektör alanının diferansiyel ile skaler ürünü) ağırlıklandırılan, eğri üzerindeki tüm noktalarda alanın değerlerinin toplamıdır. eğrideki vektör). Bu ağırlıklandırma, çizgi integralini, aralıklarla tanımlanan daha basit integrallerden ayırır . Fizikteki birçok basit formülün çizgi integralleri açısından doğal sürekli analogları vardır; örneğin, işin kuvvet , F , yer değiştirme ile çarpımı s ' ye eşit olduğu gerçeği (vektör miktarları cinsinden) şu şekilde ifade edilebilir:

Bir yol boyunca hareket eden bir nesne için C a vektör alanı F gibi en elektrik alanı ya da çekim alanı , bir nesne üzerinde alan tarafından yapılan toplam çalışma hareket yapılan diferansiyel çalışma toplanması ile elde edilir s için s + d ler . Bu çizgi integralini verir

Yüzey integralinin tanımı, yüzeyin küçük yüzey elemanlarına bölünmesine dayanır.

Bir yüzey integrali, çift ​​katlı integralleri bir yüzey ( uzayda eğri bir küme olabilir) üzerinden entegrasyon için genelleştirir ; çizgi integralinin çift ​​katlı analogu olarak düşünülebilir . Entegre edilecek fonksiyon bir skaler alan veya bir vektör alanı olabilir . Yüzey integralinin değeri, yüzeydeki tüm noktalardaki alanların toplamıdır. Bu, yüzeyi Riemann toplamları için bölümleme sağlayan yüzey elemanlarına bölerek elde edilebilir.

Yüzey integrallerinin uygulamalarına bir örnek için , bir S yüzeyi üzerinde bir vektör alanı v düşünün ; olduğu, her bir nokta için , x in S , V ( X ) bir vektördür. İle akışkan akışları düşünün S , öyle ki v ( x ) bir akışkan hızını belirler x . Akı içinden akan akışkan miktarı olarak tanımlanır S zaman birimi miktarda kullanılır. Akı bulmak için, bir ihtiyaç almaya nokta ürünü bir v birimi ile yüzey normaline göre S yüzeyi üzerinde entegre bir skaler alan, verecek her noktada,:

Bu örnekteki akışkan akışı, su veya hava gibi fiziksel bir akışkandan veya elektrik veya manyetik akıştan olabilir. Bu nedenle yüzey integralleri özellikle ile fizik uygulamalar klasik teori arasında elektromanyetizma .

kontur integralleri

Olarak karmaşık analiz , integrandın olan karmaşık-değerli fonksiyonu kompleks değerli bir z yerine gerçek bir değişken, gerçek bir fonksiyonu x . Karmaşık düzlemde bir eğri boyunca karmaşık bir fonksiyon entegre edildiğinde, integral aşağıdaki gibi gösterilir.

Bu, kontur integrali olarak bilinir .

Diferansiyel formların integralleri

Bir farklı form alanlarında bir matematiksel bir kavramdır değişkenli hesaplamalarda , diferansiyel topoloji ve tensörlerle . Diferansiyel formlar dereceye göre düzenlenir. Örneğin, tek biçim, koordinatların diferansiyellerinin ağırlıklı toplamıdır, örneğin:

burada E , F , G üç boyutlu fonksiyonlardır. Bir diferansiyel tek-form, yönlendirilmiş bir yol üzerinden entegre edilebilir ve sonuçta ortaya çıkan integral, bir çizgi integrali yazmanın başka bir yoludur. Burada temel diferansiyeller dx , dy , dz üç koordinat eksenine paralel sonsuz küçük yönlendirilmiş uzunlukları ölçer.

Diferansiyel iki form, formun toplamıdır.

Burada temel iki form , koordinat iki düzlemine paralel yönlendirilmiş alanları ölçer. Sembol , yönlendirilmiş uzunlukları temsil eden iki formun kama ürününün yönlendirilmiş bir alanı temsil etmesi anlamında çapraz ürüne benzeyen kama ürününü belirtir . Yönlendirilmiş bir yüzey üzerine iki form entegre edilebilir ve elde edilen integral, akısını veren yüzey integraline eşdeğerdir .

Çapraz çarpım ve üç boyutlu vektör hesabından farklı olarak, kama çarpımı ve diferansiyel formların hesabı, keyfi boyutta ve daha genel manifoldlarda (eğriler, yüzeyler ve bunların yüksek boyutlu analogları) anlamlıdır. Dış türev rol oynar gradyanı ve kıvrılma vektör hesaplama ve Stokes teoremi eş zamanlı vektör hesaplama üç teoremi genelleştirilmiş: diverjans teoremi , Green teoremi ve Kelvin-Stokes teoremi .

Özetler

İntegrasyonun ayrık eşdeğeri toplamadır . Toplamlar ve integraller, Lebesgue integralleri teorisi veya zaman ölçeği hesabı kullanılarak aynı temellere yerleştirilebilir .

Uygulamalar

İntegraller birçok alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, olasılık teorisinde , bazı rasgele değişkenlerin belirli bir aralığa düşme olasılığını belirlemek için integraller kullanılır . Ayrıca, tüm olasılık yoğunluk fonksiyonunun altındaki integral 1'e eşit olmalıdır, bu da negatif değeri olmayan bir fonksiyonun yoğunluk fonksiyonu olup olamayacağının test edilmesini sağlar .

İntegraller, eğri bir sınırı olan iki boyutlu bir bölgenin alanını hesaplamak ve ayrıca eğri bir sınırı olan üç boyutlu bir nesnenin hacmini hesaplamak için kullanılabilir . İki boyutlu bir bölgenin alanı, yukarıda belirtilen belirli integral kullanılarak hesaplanabilir. Bu tür bir disk ya da çamaşır makinesi gibi bir üç boyutlu cismin hacmi ile hesaplanabilmektedir disk entegrasyon bir silindir hacmi için denklem kullanılarak , burada yarıçapıdır. Bir eğrinin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşturulan basit bir disk durumunda , yarıçap f ( x ) ile verilir ve yüksekliği diferansiyel dx'dir . a ve b sınırlarına sahip bir integral kullanarak , diskin hacmi şuna eşittir:

İntegraller ayrıca fizikte, kinematik gibi alanlarda yer değiştirme , zaman ve hız gibi nicelikleri bulmak için kullanılır . Örneğin, doğrusal harekette, bir nesnenin zaman aralığı boyunca yer değiştirmesi şu şekilde verilir:

zamanın bir fonksiyonu olarak ifade edilen hız nerede . Bir kuvvetin (pozisyonun bir fonksiyonu olarak verilen) bir başlangıç ​​konumundan son konumuna kadar yaptığı iş:

İntegral de kullanılan termodinamik , termodinamik entegrasyon verilen iki durumları arasında serbest enerji farkını hesaplamak için kullanılır.

Hesaplama

Analitik

Bir gerçek değişkenin belirli integrallerini hesaplamak için en temel teknik , hesabın temel teoremine dayanır . Let f ( x ) fonksiyonu olarak , x , belirli bir aralık üzerinden entegre edilecek [ a , b ] . Ardından, f'nin bir ters türevini bulun ; olduğu, bir işlev F şekilde F '= f aralığına. Kalkülüsün temel teoremine göre , integral ve integralin integrasyon yolunda tekillikleri olmaması koşuluyla ,

Bazen integralleri değerlendirmek için geliştirilmiş birçok teknikten birini kullanmak gerekir. Bu tekniklerin çoğu, umarız daha izlenebilir olan bir integrali farklı bir integral olarak yeniden yazar. Teknikler dahil ikamesi ile entegrasyonu , parça ile entegrasyon , trigonometrik ikame ile entegrasyonu ve kısmi fraksiyonları tarafından entegrasyonu .

Daha karmaşık integralleri hesaplamak için alternatif yöntemler mevcuttur. Birçok elementer olmayan integral , bir Taylor serisinde ve terim terim entegre olarak genişletilebilir . Bazen elde edilen sonsuz seriler analitik olarak toplanabilir. İntegrandın Meijer G-fonksiyonlarının bir ürünü olarak yazılabileceğini varsayarak, Meijer G-fonksiyonlarını kullanan evrişim yöntemi de kullanılabilir. Belirli integralleri hesaplamanın daha az yaygın birçok yolu da vardır; örneğin, Parseval'in kimliği , dikdörtgen bir bölge üzerindeki bir integrali sonsuz bir toplama dönüştürmek için kullanılabilir. Bazen bir integral bir numara ile değerlendirilebilir; bunun bir örneği için, bkz. Gauss integrali .

Devir katılarının hacimlerinin hesaplanması genellikle disk entegrasyonu veya kabuk entegrasyonu ile yapılabilir .

Çeşitli tekniklerle üzerinde çalışılan belirli sonuçlar , integraller listesinde toplanır .

Simgesel

Matematik, fizik ve mühendislikteki birçok problem, integral için açık bir formülün istendiği durumlarda entegrasyonu içerir. Bu amaçla yıllar boyunca kapsamlı integral tabloları derlenmiş ve yayınlanmıştır. Bilgisayarların yaygınlaşmasıyla birlikte birçok profesyonel, eğitimci ve öğrenci , entegrasyon da dahil olmak üzere zor veya sıkıcı görevleri gerçekleştirmek için özel olarak tasarlanmış bilgisayar cebir sistemlerine yöneldi . Sembolik entegrasyon, Macsyma ve Maple gibi bu tür ilk sistemlerin geliştirilmesi için motivasyonlardan biri olmuştur .

Sembolik entegrasyondaki büyük bir matematiksel zorluk, birçok durumda, nispeten basit bir fonksiyonun, yalnızca temel fonksiyonları içeren kapalı formda ifade edilebilen , rasyonel ve üstel fonksiyonları, logaritma , trigonometrik fonksiyonları ve ters trigonometrik fonksiyonları içeren integrallere sahip olmamasıdır . çarpma ve kompozisyon işlemleri. Risch algoritması bir temel fonksiyon İlkel temel olup olmadığını belirlemek için, ve eğer o hesaplamak için genel bir kriter sunmaktadır. Bununla birlikte, kapalı türev ifadelerine sahip fonksiyonlar istisnadır ve sonuç olarak, bilgisayarlı cebir sistemlerinin rastgele oluşturulmuş bir temel fonksiyon için bir ters türev bulma umudu yoktur. Olumlu tarafı, eğer terstürevler için 'yapı taşları' önceden sabitlenmişse, belirli bir fonksiyonun terstürevinin bu bloklar ve çarpma ve kompozisyon işlemleri kullanılarak ifade edilip edilemeyeceğine karar vermek ve sembolik bulmak hala mümkün olabilir. ne zaman olursa olsun cevaplayın. Mathematica , Maple ve diğer bilgisayar cebir sistemlerinde uygulanan Risch algoritması, rasyonel fonksiyonlar, radikaller , logaritma ve üstel fonksiyonlardan oluşturulan fonksiyonlar ve ters türevler için tam da bunu yapar .

Bazı özel bütünleşmeler, özel çalışmayı gerektirecek kadar sık ​​meydana gelir. Özellikle, ters türevler kümesinde özel işlevlere sahip olmak yararlı olabilir ( Legendre işlevleri , hipergeometrik işlev , gama işlevi , eksik gama işlevi vb. gibi). Risch'in algoritmasını bu tür işlevleri içerecek şekilde genişletmek mümkündür ancak zorludur ve aktif bir araştırma konusu olmuştur.

Daha yakın zamanlarda , polinom katsayılı lineer diferansiyel denklemlerin çözümleri olan D- sonlu fonksiyonları kullanan yeni bir yaklaşım ortaya çıkmıştır . Temel ve özel fonksiyonların çoğu D -sonludur ve D -sonlu bir fonksiyonun integrali de D -sonlu bir fonksiyondur. Bu, bir D- sonlu fonksiyonun ters türevini bir diferansiyel denklemin çözümü olarak ifade etmek için bir algoritma sağlar . Bu teori aynı zamanda bir D fonksiyonunun belirli integralini birinci katsayılar tarafından verilen bir serinin toplamı olarak hesaplamaya izin verir ve herhangi bir katsayıyı hesaplamak için bir algoritma sağlar.

Sayısal

Sayısal kareleme yöntemleri: dikdörtgen yöntemi, yamuk kuralı, Romberg yöntemi, Gauss kareleme

Belirli integraller, çeşitli sayısal entegrasyon yöntemleri kullanılarak yaklaşıklanabilir . Dikdörtgen yöntem toplamı bulmak için adım genişliği ile fonksiyon değerleri ve çoğalır tekabül eden dikdörtgen bir dizi fonksiyonu altındaki bölgeye bölen dayanır. Daha iyi bir yaklaşım olan yamuk kuralı , bir Riemann toplamında kullanılan dikdörtgenleri yamuklarla değiştirir. Yamuk kuralı, ilk ve son değerleri yarıya kadar ağırlıklandırır, ardından daha iyi bir yaklaşım elde etmek için adım genişliğiyle çarpar. Yamuk kuralının arkasındaki fikir, yani fonksiyona daha doğru yaklaşımların integrale daha iyi yaklaşımlar sağladığı fikri daha da ileri götürülebilir : Simpson kuralı , integrali parçalı ikinci dereceden bir fonksiyonla yaklaşır.

Riemann toplamları, yamuk kuralı ve Simpson kuralı, Newton-Cotes formülleri adı verilen bir kareleme kuralları ailesinin örnekleridir . Derece n Newton-Cotes kareleme kuralı, her bir alt aralıktaki polinomu bir derece n polinomuyla tahmin eder . Bu polinom, aralıktaki fonksiyonun değerlerini enterpolasyon yapmak için seçilir. Daha yüksek dereceli Newton-Cotes yaklaşımları daha doğru olabilir, ancak daha fazla fonksiyon değerlendirmesi gerektirirler ve Runge fenomeni nedeniyle sayısal yanlışlıktan zarar görebilirler . Bu problemin bir çözümü , integralin Chebyshev polinomları cinsinden genişletilerek yaklaşık olduğu Clenshaw–Curtis dörtgenidir .

Romberg yöntemi yarım adım genişliği adım adım, ile gösterilen yamuk yaklaşımlar veren T ( h 0 ) , T ( h 1 ) burada, böylece, ve h k + 1 yarısıdır h k . Her yeni adım boyutu için, yeni fonksiyon değerlerinin yalnızca yarısının hesaplanması gerekir; diğerleri önceki boyuttan devam eder. Daha sonra yaklaşımlar aracılığıyla bir polinomu enterpolasyon yapar ve T (0)'a ekstrapolasyon yapar . Gauss kareleme , işlevi bir dizi ortogonal polinomun köklerinde değerlendirir . Bir n- noktası Gauss yöntemi, 2 n - 1'e kadar dereceli polinomlar için kesindir .

Daha yüksek boyutlu integrallerin hesaplanması (örneğin, hacim hesaplamaları), Monte Carlo entegrasyonu gibi alternatiflerin önemli kullanımını sağlar .

Mekanik

Rastgele iki boyutlu bir şeklin alanı, planimetre adı verilen bir ölçüm aleti kullanılarak belirlenebilir . Düzensiz nesnelerin hacmi , nesne suya battıkça yer değiştiren sıvı tarafından hassas bir şekilde ölçülebilir .

Geometrik

Alan bazen eşdeğer bir karenin geometrik pusula ve düz yapıları yoluyla bulunabilir .

Örnekler

Kalkülüsün Temel Teoremini Kullanma

Hesabın esaslı teoremi temel fonksiyonların yalındır hesaplamalar için izin verir.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

bibliyografya

Dış bağlantılar

Çevrimiçi kitaplar