Black–Scholes denklemi - Black–Scholes equation

Gelen matematiksel finans , Black-Scholes denklemi bir olan kısmi diferansiyel denklem bir fiyat değişimlerini yöneten (PDE) Avrupa çağrısı veya Avrupa koymak altında Black-Scholes modeli . Genel olarak, terim, çeşitli seçenekler veya daha genel olarak türevler için türetilebilen benzer bir PDE'ye atıfta bulunabilir .

Piyasa verilerinden alınan parametrelerle simüle edilmiş geometrik Brownian hareketleri

Bir Avrupa çağrısı veya temettü ödemeyen bir temel hisse senedi için denklem şu şekildedir:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V }{\kısmi S^{2}}}+rS{\frac {\kısmi V}{\kısmi S}}-rV=0}$

burada V , hisse senedi fiyatının S ve t zamanının bir fonksiyonu olarak opsiyonun fiyatıdır , r risksiz faiz oranıdır ve hisse senedinin oynaklığıdır. ${\görüntüleme stili \sigma }$

Denklemin arkasındaki temel finansal anlayış, sürtünmesiz bir piyasa modeli varsayımı altında, kişinin dayanak varlığı doğru şekilde alıp satarak opsiyonu mükemmel bir şekilde koruma altına alabilmesi ve sonuç olarak “riskin ortadan kaldırılması” olmasıdır. Black-Scholes formülü tarafından döndürüldüğü gibi, seçenek için yalnızca bir doğru fiyat olduğunu ima eder .

Black-Scholes PDE'nin finansal yorumu

Denklemin, uygulayıcılar tarafından sıklıkla kullanılan ve bir sonraki alt bölümde verilen ortak türetmenin temeli olan somut bir yorumu vardır. Denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V }{\kısmi S^{2}}}=rV-rS{\frac {\kısmi V}{\kısmi S}}}$

Sol taraf, bir "zaman azalması" teriminden, teta adı verilen zamana göre türev değerindeki değişiklikten ve ikinci uzamsal türev gama'yı , temel değere göre türev değerinin dışbükeyliğini içeren bir terimden oluşur . Sağ taraf, türevde uzun bir pozisyondan risksiz getiri ve dayanak paylardan oluşan bir kısa pozisyondur . ${\textstyle {\kısmi V}/{\kısmi S}}$

Black ve Scholes'un kavrayışı, sağ taraf tarafından temsil edilen portföyün risksiz olduğuydu: bu nedenle denklem, herhangi bir sonsuz küçük zaman aralığındaki risksiz getirinin, teta toplamı ve gama içeren bir terim olarak ifade edilebileceğini söylüyor. Bir opsiyon için teta, opsiyonu kullanmak için daha az zamana sahip olma nedeniyle değer kaybını yansıtan tipik olarak negatiftir (temettü içermeyen bir dayanak üzerinde bir Avrupa çağrısı için, her zaman negatiftir). Gama tipik olarak pozitiftir ve bu nedenle gama terimi, opsiyonu elde tutmadaki kazanımları yansıtır. Denklem, herhangi bir sonsuz küçük zaman aralığında, teta'dan kaynaklanan kaybın ve gama teriminden elde edilen kazancın, sonucun risksiz oranda bir getiri olması için birbirini dengelemesi gerektiğini belirtir.

Opsiyon ihraç edenin, örneğin bir yatırım bankasının bakış açısından, gama terimi, opsiyonu riskten korumanın maliyetidir. (Gama dayanak varlığın spot fiyatı opsiyonun kullanım fiyatına yakın olduğunda en büyük olduğu için, bu durumda satıcının riskten korunma maliyetleri en yüksektir.)

Black-Scholes PDE'nin türetilmesi

Aşağıdaki türetme Hull'un Opsiyonlar, Vadeli İşlemler ve Diğer Türevler'de verilmektedir . Bu da, orijinal Black-Scholes makalesindeki klasik argümana dayanmaktadır.

Yukarıdaki model varsayımlarına göre, dayanak varlığın (tipik olarak bir hisse senedi) fiyatı geometrik bir Brownian hareketini takip eder . Yani

${\displaystyle {\frac {dS}{S}}=\mu \,dt+\sigma \,dW\,}$

burada W stokastik bir değişkendir ( Brown hareketi ). W'nin ve dolayısıyla onun sonsuz küçük artışının dW'nin hisse senedinin fiyat geçmişindeki tek belirsizlik kaynağını temsil ettiğine dikkat edin. Sezgisel olarak, W ( t ) a, işlem herhangi bir zaman aralığı boyunca, beklenen değişiklik ek olarak (0 olacak şekilde rasgele bir biçimde "yukarı-aşağı titremeye ve" Bu, kendi varyans süresi boyunca , T eşittir T ; bakınız Wiener işlemi § Temel özellikler ); için iyi bir ayrık analog W bir olan basit rastgele yürüyüş . Bu nedenle, yukarıdaki denklem, hisse senedi üzerindeki sonsuz küçük getiri oranının beklenen bir μ  dt değerine ve bir varyansa sahip olduğunu belirtir . ${\displaystyle \sigma ^{2}dt}$

Vadede bir opsiyonun getirisi bilinmektedir. Nasıl bilmek gerekir önceki bir zamanda değerini bulmak için bir fonksiyonu olarak geliştikçe ve . By Ito'nun lemmasının iki değişken için elimizdeki ${\görüntüleme stili V(S,T)}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili t}$

${\displaystyle dV=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2} }\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\sağ)dt+\sigma S{\frac {\partial V}{ \kısmi S}}\,dW}$

Şimdi , kısa bir opsiyon ve zaman zaman uzun hisselerden oluşan , delta-hedge portföyü olarak adlandırılan belirli bir portföy düşünün . Bu holdinglerin değeri ${\textstyle {\kısmi V}/{\kısmi S}}$${\görüntüleme stili t}$

${\displaystyle \Pi =-V+{\frac {\kısmi V}{\kısmi S}}S}$

Dönem boyunca, varlıkların değerlerindeki değişikliklerden kaynaklanan toplam kâr veya zarar (ancak aşağıdaki nota bakınız): ${\displaystyle [t,t+\Delta t]}$

${\displaystyle \Delta \Pi =-\Delta V+{\frac {\kısmi V}{\kısmi S}}\,\Delta S}$

Şimdi, diferansiyelleri deltalarla değiştirerek dS / S ve dV denklemlerini ayrıklaştırın :

${\displaystyle \Delta S=\mu S\,\Delta t+\sigma S\,\Delta W\,}$

${\displaystyle \Delta V=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{ 2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\sağ)\Delta t+\sigma S{\frac {\ kısmi V}{\kısmi S}}\,\Delta W}$

ve bunları aşağıdaki ifadenin içinde uygun şekilde değiştirin : ${\ Displaystyle \ Delta \ Pi }$

${\displaystyle \Delta \Pi =\left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\ frac {\kısmi ^{2}V}{\kısmi S^{2}}}\sağ)\Delta t}$

Terimin kaybolduğuna dikkat edin . Böylece belirsizlik ortadan kaldırılmış ve portföy etkin bir şekilde risksizdir. Bu portföyün getiri oranı, diğer herhangi bir risksiz enstrümanın getiri oranına eşit olmalıdır; aksi takdirde arbitraj fırsatları doğacaktır. Şimdi, risksiz getiri oranının , zaman periyodu boyunca sahip olmamız gerektiğini varsayarsak${\görüntüleme stili\Delta W}$${\görüntüleme stili r}$${\displaystyle [t,t+\Delta t]}$

${\displaystyle r\Pi \,\Delta t=\Delta \Pi }$

Şimdi iki formülümüzü eşitlersek, şunu elde ederiz: ${\ Displaystyle \ Delta \ Pi }$

${\displaystyle \left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^ {2}V}{\partial S^{2}}}\sağ)\Delta t=r\sol(-V+S{\frac {\partial V}{\partial S}}\sağ)\Delta t }$

Basitleştirerek, ünlü Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemine ulaşırız:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V }{\kısmi S^{2}}}+rS{\frac {\kısmi V}{\kısmi S}}-rV=0}$

Black-Scholes modelinin varsayımları ile bu ikinci mertebeden kısmi diferansiyel denklem uzun fiyatı fonksiyonu olarak seçeneğin her tür için de geçerlidir göre iki defa diferensiyellenebilirdir ve bir kez saygı ile . Çeşitli seçenekler için farklı fiyatlandırma formülleri, vade sonunda ve uygun sınır koşullarındaki ödeme fonksiyonunun seçiminden ortaya çıkacaktır. ${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili t}$

Teknik not: Yukarıdaki ayrıklaştırma yaklaşımının gizlediği bir incelik, portföy değerindeki sonsuz küçük değişikliğin, varlıklardaki pozisyonlardaki değişikliklerden değil, yalnızca tutulan varlıkların değerlerindeki sonsuz küçük değişikliklerden kaynaklandığıdır. Diğer bir deyişle, portföyün kendi kendini finanse ettiği varsayılmıştır .

alternatif türetme

Riskten korunma portföyünün ne olması gerektiğinin başlangıçta belirsiz olduğu durumlarda kullanılabilecek alternatif bir türev aşağıda verilmiştir. (Bir referans için, Shreve cilt II, 6.4'e bakın).

Black–Scholes modelinde, riskten bağımsız olasılık ölçüsünü seçtiğimizi varsayarsak, temel hisse senedi fiyatının S ( t ) geometrik bir Brown hareketi olarak geliştiği varsayılır:

${\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}=r\ dt+\sigma dW(t)}$

Bu stokastik diferansiyel denklem (SDE) hisse senedi fiyat evriminin Markovyen olduğunu gösterdiğinden , bu dayanak üzerindeki herhangi bir türev, t zamanının ve o andaki hisse senedi fiyatının, S ( t ) bir fonksiyonudur. Daha sonra, Ito'nun lemmasının bir uygulaması, bir martingale olması gereken iskontolu türev süreci için bir SDE verir . Bunun geçerli olabilmesi için, sürüklenme teriminin sıfır olması gerekir, bu da Black—Scholes PDE'yi ima eder. ${\görüntüleme stili e^{-rt}V(t,S(t))}$

Bu türetme temel olarak Feynman-Kac formülünün bir uygulamasıdır ve dayanak varlık(lar) belirli SDE(ler)e göre geliştiğinde denenebilir.

Black–Scholes PDE'sini Çözme

Black-Scholes PDE, bir türev için sınır ve uç koşullarla türetildiğinde, PDE, bir tür sonlu farklar yöntemi gibi standart sayısal analiz yöntemleri kullanılarak sayısal olarak çözülebilir . Black ve Scholes tarafından yapılan bir Avrupa aramasında olduğu gibi belirli durumlarda kesin bir formül bulmak mümkündür.

Bir çağrı seçeneği için bunu yapmak için, yukarıdaki PDE'nin sınır koşulları olduğunu hatırlayın

${\displaystyle {\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ tümü için }}t\\C(S,t)&\rightarrow S{\text{ }}S\rightarrow \ olarak infty \\C(S,T)&=\max\{SK,0\}\end{hizalı}}}$

Son koşul, opsiyonun vadesinin geldiği andaki opsiyonun değerini verir. S 0'a veya sonsuza giderken başka koşullar da mümkündür . Örneğin, diğer durumlarda kullanılan yaygın koşullar, S 0'a giderken delta'nın kaybolması ve S sonsuza giderken gama'nın kaybolması ; bunlar, yukarıdaki koşullarla aynı formülü verecektir (genel olarak, farklı sınır koşulları farklı çözümler verecektir, bu nedenle eldeki duruma uygun koşulları seçmek için bazı finansal bilgiler kullanılmalıdır).

PDE'nin çözümü, herhangi bir erken zamanda seçeneğin değerini verir, . PDE'yi çözmek için, değişken değişimi dönüşümünü tanıtarak bir difüzyon denklemine dönüştürülebilen bir Cauchy-Euler denklemi olduğunu kabul ediyoruz.${\displaystyle \mathbb {E} \sol[\max\{SK,0\}\sağ]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &=Tt\\u&=Ce^{r\tau }\\x&=\ln \left({\frac {S}{K}}\sağ)+\left (r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\sağ)\tau \end{hizalı}}}$

Sonra Black-Scholes PDE bir difüzyon denklemi olur

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

Terminal koşulu şimdi bir başlangıç ​​koşulu olur ${\displaystyle C(S,T)=\max\{SK,0\}}$

${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x):=K(e^{\max\{x,0\}}-1)=K\sol(e^{x}-1\ sağ)H(x),}$

burada H ( x ) Heaviside adım fonksiyonudur . Heaviside işlevi , t = T olduğunda gereken S , t koordinat sistemindeki sınır verilerinin uygulanmasına karşılık gelir ,

${\displaystyle C(S,\,T)=0\quad \forall \;S<K,}$

Her iki varsayarak S , K > Bu varsayımdan 0. her şey sona maksimum işlevine eşdeğerdir x hariç, gerçek sayıları x arasına yukarıdaki eşitlik = 0. maksimum işlev ve Heaviside fonksiyonu anlamında olduğunu dağılımların sayısı, çünkü x = 0 için geçerli değildir. İnce olmasına rağmen, bu önemlidir, çünkü Heaviside fonksiyonunun x = 0'da sonlu olması veya hatta bu konuda tanımlanmış olması gerekmez . Heaviside fonksiyonunun x = 0'daki değeri hakkında daha fazla bilgi için Heaviside adım fonksiyonu makalesindeki "Sıfır Argümanı" bölümüne bakın .

Başlangıç ​​değer fonksiyonu, u ( x , 0) verilen bir difüzyon denklemini çözmek için standart evrişim yöntemini kullanarak,

${\displaystyle u(x,\tau )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \tau }}}}\int _{-\infty }^{\infty }{u_{0 }(y)\exp {\sol[-{\frac {(xy)^{2}}{2\sigma ^{2}\tau }}\sağ]}}\,dy,}$

hangi, bazı manipülasyonlardan sonra, verir

${\displaystyle u(x,\tau )=Ke^{x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }N(d_{1})-KN(d_{2}), }$

burada bir standart normal kümülatif dağılım fonksiyonu ve ${\ Displaystyle N(\cdot )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\left(x+{\frac {1}{2}) }\sigma ^{2}\tau \sağ)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \sağ]\\d_{2}&={\frac {1}{\ sigma {\sqrt {\tau }}}}\sol[\left(x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \sağ)-{\frac {1}{2}} \sigma ^{2}\tau \sağ].\end{hizalanmış}}}$

Bunlar, 1976'da Fischer Black tarafından elde edilen çözümlerle (zamana kadar çeviri) aynıdır.

Orijinal değişken grubuna geri dönmek, Black-Scholes denkleminin yukarıda belirtilen çözümünü verir. ${\görüntüleme stili u,x,\tau }$

Asimptotik koşul artık gerçekleştirilebilir.

${\displaystyle u(x,\,\tau ){\overset {x\rightsquigarrow \infty }{\asymp }}Ke^{x},}$

bu , orijinal koordinatlara geri dönerken basitçe S verir .

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }N(x)=1.}$

Referanslar