Bhaskara I'in sinüs yaklaşımı formülü - Bhaskara I's sine approximation formula

Gelen matematik , Bhaskara I'in sinüs yaklaşım, formül a, rasyonel ifadesi , bir de değişken için hesaplama ve yaklaşık değerler arasında trigonometrik sinüs tarafından keşfedilen Bhaskara I (.. - c 680 C, 600), bir yedinci yüzyıl Hint matematikçi . Bu formül onun Mahabhaskariya başlıklı risalesinde verilmiştir . Bhaskara'nın yaklaşık formülüne nasıl ulaştığı bilinmiyor. Ancak, çeşitli tarihçiler arasında matematikBhaskara'nın formülüne ulaşmak için kullanmış olabileceği yöntemle ilgili farklı hipotezler öne sürdüler. Formül zarif, basittir ve herhangi bir geometri kullanmadan trigonometrik sinüslerin makul derecede doğru değerlerinin hesaplanmasını sağlar.

yaklaşıklık formülü

Formül, 17-19. ayetler, Bölüm VII, Bhaskara I Mahabhaskariya'da verilmiştir. Ayetlerin bir çevirisi aşağıda verilmiştir:

• (Şimdi) kısaca devlet (bulmak için kural bhujaphala ve kotiphala bir derecelerde çıkart vb Rsine-farkların 225, yararlanarak olmadan, vs.) bhuja (veya koti yarım dairenin derece) ( yani 180 derece). Sonra kalanı bhuja veya kotinin dereceleriyle çarpın ve sonucu iki yere yazın. Bir yerde sonucu 40500'den çıkarın. Kalanın dörtte biri ile (böylece elde edilir), sonucu diğer yerde ' anthyaphala (yani episiklik yarıçap) ile çarparak bölün . Böylece güneş, ay veya yıldız-gezegenler için tüm bahuphala (veya kotiphala ) elde edilir . Böylece doğrudan ve ters Rsinler de elde edilir.

("Rsine-differences 225" referansı, Aryabhata'nın sinüs tablosuna bir göndermedir .)

Modern matematiksel gösterimlerde, derece cinsinden bir x açısı için bu formül şunları verir:

${\displaystyle \sin x^{\circ }\yaklaşık {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}}$

Formülün eşdeğer formları

Bhaskara I'in sinüs yaklaşımı formülü , açıların radyan ölçüsü kullanılarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir .

${\displaystyle \sin x\yaklaşık {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}}.}$

n pozitif bir tamsayı için bu aşağıdaki formu alır:

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{n}}\yaklaşık {\frac {16(n-1)}{5n^{2}-4n+4}}.}$

Formül, sinüs yerine kosinüs cinsinden ifade edildiğinde daha da basit bir biçim alır. Dan açılar için radyan ölçüsü kullanarak etmek ve koyarak , tek alır ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}\pi +y}$

${\displaystyle \cos y\yaklaşık {\frac {\pi ^{2}-4y^{2}}{\pi ^{2}+y^{2}}}.}$

" " ve " " seslerinin asonansı, bu ifadeyi anımsatıcı olarak özellikle hoş kılıyor. ${\görüntüleme stili\pi }$${\görüntüleme stili y}$

Önceki formülü sabitle ifade etmek için kullanabilirsiniz${\görüntüleme stili \tau =2\pi }$

$${\displaystyle \cos y\yaklaşık 1-{\frac {20y^{2}}{4y^{2}+\tau ^{2}}}}$$

Bhaskara I formülünün eşdeğer formları, Hindistan'ın hemen hemen tüm sonraki astronomları ve matematikçileri tarafından verilmiştir. Örneğin, Brahmagupta'nın (598 – 668 CE ) Brhma-Sphuta-Siddhanta (23 – 24. ayetler, Bölüm XIV) aşağıdaki biçimde formülü verir:

${\displaystyle R\sin x^{\circ }\yaklaşık {\frac {Rx(180-x)}{10125-{\frac {1}{4}}x(180-x)}}}$

Ayrıca, Bhaskara II (1114 – 1185 CE ) bu formülü Lilavati'sinde (Kshetra-vyavahara, Soka No.48) aşağıdaki biçimde vermiştir:

${\displaystyle 2R\sin x^{\circ }\yaklaşık {\frac {4\times 2R\times 2Rx\times (360R-2Rx)}{{\frac {1}{4}}\times 5\times ( 360R)^{2}-2Rx\times (360R-2Rx)}}}$

formülün doğruluğu

Şekil, Bhaskara I'in sinüs yaklaşımı formülünün doğruluk seviyesini göstermektedir. Kaydırılan 4 x ( 180 - x ) / ( 40500 - x ( 180 - x ) ) - 0.2 ve sin ( x ) + 0.2 eğrileri, sin ( x ) eğrisinin tam kopyalarına benziyor .

Formül, 0 ila 180 aralığındaki x ° değerleri için geçerlidir . Formül, bu aralıkta oldukça doğrudur. Günahın grafikleri ( x ) ve yaklaşıklık formülü ayırt edilemez ve hemen hemen aynıdır. Ekteki şekillerden biri hata fonksiyonunun, yani fonksiyonun grafiğini verir,

${\displaystyle \sin x^{\circ }\yaklaşık {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}}$

formülü kullanırken. Formül kullanımındaki maksimum mutlak hatanın 0,0016 civarında olduğunu gösterir. Mutlak hatanın yüzde değerinin grafiğinden, maksimum yüzde hatasının 1.8'den az olduğu açıktır. Yaklaşım formülü böylece en pratik amaçlar için sinüslerin yeterince doğru değerlerini verir. Ancak astronominin daha doğru hesaplama gereksinimleri için yeterli değildi. Hintli gökbilimciler tarafından daha doğru formüller arayışı, sonunda Kerala astronomi ve matematik okulunun kurucusu Sangamagrama'lı Madhava (c. 1350 - c. 1425) tarafından sin x ve cos x'in kuvvet serisi açılımlarının keşfedilmesine yol açtı .

Bhaskara I'in sinüs yaklaşımı formülündeki hatanın grafiği

Bhaskara I'in sinüs yaklaşımı formülündeki yüzde hatasının grafiği

formülün türetilmesi

Bhaskara formülüne ulaşmak için herhangi bir yöntem belirtmemişti. Tarihçiler çeşitli olasılıklar üzerinde spekülasyon yaptılar. Henüz kesin cevaplar alınmış değil. Eski Hintli astronomların matematiksel başarılarının başlıca örneği olmanın tarihsel öneminin ötesinde, formül modern bir perspektiften de önemlidir. Matematikçiler, modern kavram ve araçları kullanarak kuralı türetmeye çalışmışlardır. Her biri ayrı bir dizi öncüllere dayanan yaklaşık yarım düzine yöntem önerilmiştir. Bu türetmelerin çoğu sadece temel kavramları kullanır.

Temel geometriye dayalı türetme

Let çevresi a daire ölçülebilir derecede ve izin yarıçap R ' ve daire aynı zamanda ölçülebilir derecede . Sabit bir çapa seçimi AB ve keyfi bir nokta P daireyi ve dik bırakarak PM için AB , biz üçgen alanını hesaplayabilir APB iki şekilde. Aldığı alan için iki ifadeyi eşitlemek (1/2) AB × PM = (1/2) AP × BP . Bu verir

${\displaystyle {\frac {1}{PM}}={\frac {AB}{AP\times BP}}}$.

İzin vermek x yay uzunluğu olmak AP , yay uzunluğu BP - 180 x . Bu yaylar, ilgili akorlardan çok daha büyüktür. Bu yüzden biri alır

${\displaystyle {\frac {1}{PM}}>{\frac {2R}{x(180-x)}}}$.

Şimdi iki sabit α ve β aranıyor, öyle ki

${\displaystyle {\frac {1}{PM}}=\alpha {\frac {2R}{x(180-x)}}+\beta }$

Bu tür sabitleri elde etmek gerçekten mümkün değildir. Bununla birlikte, α ve β için değerler seçilebilir, böylece yukarıdaki ifade, yay uzunluğu x'in seçilen iki değeri için geçerlidir . Bu değerler olarak 30° ve 90° seçilerek ve elde edilen denklemler çözülerek hemen Bhaskara I'in sinüs yaklaşımı formülü elde edilir.

Genel bir rasyonel ifade ile başlayan türetme

x'in radyan cinsinden olduğunu varsayarsak, günah ( x )'e aşağıdaki biçimde bir yaklaşım aranabilir :

${\displaystyle \sin x\yaklaşık {\frac {a+bx+cx^{2}}{p+qx+rx^{2}}}}$

a , b , c , p , q ve r sabitleri (yalnızca beşi bağımsızdır), formülün x = 0, π/6, π/2, π ve daha fazlası olduğunda tam olarak geçerli olması gerektiği varsayılarak belirlenebilir. sin ( x ) = sin (π - x ) özelliğini sağlaması gerektiğini varsayarsak . Bu prosedür , açıların radyan ölçüsü kullanılarak ifade edilen formülü üretir .

Temel bir argüman

Parabolas grafik karşılaştırması
x (180 - x ) / 8100 ve X (180 - x ) / 9000
sin (grafikte ile x ) ( x derece cinsinden).

sin( x ) grafiğinin 0° ila 180° aralığındaki kısmı (0, 0) ve (180, 0) noktalarından geçen bir parabolün parçasına "benzer". Genel böyle bir parabol

${\görüntüleme stili kx(180-x).}$

(90, 1)'den de geçen parabol (ki bu, sin(90°) = 1 değerine tekabül eden noktadır)

${\displaystyle {\frac {x(180-x)}{90\times 90}}}={\frac {x(180-x)}{8100}}.}$

(30, 1/2)'den de geçen parabol (ki bu, sin(30°) = 1/2 değerine tekabül eden noktadır)

${\displaystyle {\frac {x(180-x)}{2\times 30\times 150}}={\frac {x(180-x)}{9000}}.}$

Bu ifadeler değeri 90 x 90 alan bir değişken payda göstermektedir x  = 90 ve değer 2 x 30 x 150 ne zaman x  = 30. Bu ifade aynı zamanda 'hattı etrafında simetrik olmalıdır O x  olasılığı üzerinden = 90' kuralları bir doğrusal ifadesini seçerek  x . x (180 −  x ) içeren hesaplamalar, hemen ifadenin şu şekilde olabileceğini önerebilir.

${\displaystyle 8100a+bx(180-x).}$

Küçük bir deney (veya a ve b'de iki doğrusal denklem kurup çözerek ) a  = 5/4, b  = -1/4 değerlerini verecektir. Bunlar Bhaskara I'in sinüs yaklaşımı formülünü verir.

Ayrıca bakınız

• Aryabhata'nın sinüs tablosu
• Madhava'nın sinüs tablosu

Referanslar

Diğer referanslar

1. RC.Gupta, Sinüs için Bhaskara I formülünün türetilmesi üzerine, Ganita Bharati 8 (1-4) (1986), 39-41.
2. T. Hayashi, Bhaskara I'in sinüse rasyonel yaklaşımı üzerine bir not, Historia Sci. 42 (1991), 45-48.
3. K. Stroethoff, Bhaskara'nın sinüs için yaklaşımı, The Mathematics Enthusiast, Vol. 11, No. 3 (2014), 485-492.