Bhabha saçılması - Bhabha scattering

Feynman diyagramları
Yok etme
Saçılma

Olarak kuantum elektrodinamik , Bhabha saçılması olan elektron - pozitron saçılması : süreç

e^{+}e^{-}\rightarrow e^{+}e^{-}

Bu etkileşime katkıda bulunan iki öncü dereceden Feynman diyagramı vardır : bir yok etme süreci ve bir saçılma süreci. Bhabha saçılması, adını Hintli fizikçi Homi J. Bhabha'dan almıştır .

Bhabha saçılma hızı, elektron-pozitron çarpıştırıcılarında bir parlaklık monitörü olarak kullanılır.

diferansiyel kesit

To lider sırayla , spin-ortalamalı diferansiyel kesit bu işlem için ise

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )}}={\frac {\pi \alpha ^{2}}{s}}\left( u^{2}\left({\frac {1}{s}}+{\frac {1}{t}}\sağ)^{2}+\left({\frac {t}{s}} \sağ)^{2}+\sol({\frac {s}{t}}\sağ)^{2}\sağ)\,

burada s , t ve u olan Mandelstam'ın değişkenleri , bir ince yapı sabiti ve saçılma açısıdır. ${\görüntüleme stili \alfa }$ ${\görüntüleme stili \teta}$

Bu kesit, çarpışma enerjisine göre elektron kütlesi ihmal edilerek ve sadece foton değişiminden gelen katkı dahil edilerek hesaplanır. Bu , yaklaşık 91 GeV olan Z bozonunun kütle ölçeğine kıyasla küçük çarpışma enerjilerinde geçerli bir yaklaşımdır ; daha yüksek enerjilerde Z bozon değişiminin katkısı da önemli hale gelir.

Mandelstam değişkenleri

Bu makalede, Mandelstam değişkenleri şu şekilde tanımlanır:

${\görüntüleme stili s=\,}$	${\görüntüleme stili (k+p)^{2}=\,}$	$(k'+p')^{2}\yaklaşık \,$	$2k\cdot p\yaklaşık \,$	${\ Displaystyle 2k'\cdot p'\,}$
${\görüntüleme stili t=\,}$	${\görüntüleme stili (k-k')^{2}=\,}$	$(p-p')^{2}\yaklaşık \,$	$-2k\cdot k'\yaklaşık \,$	${\ Displaystyle -2p\cdot p'\,}$
${\görüntüleme stili u=\,}$	$(k-p')^{2}=\,$	$(p-k')^{2}\yaklaşık \,$	${\ Displaystyle -2k\cdot p'\yaklaşık \,}$	${\ Displaystyle -2k'\cdot p\,}$

burada yaklaşımlar yüksek enerji (göreceli) limit içindir.

Polarize olmayan kesit elde etme

matris öğeleri

Hem saçılma hem de yok olma diyagramları geçiş matrisi elemanına katkıda bulunur. İzin vererek k ve k ' izin verirken, pozitronun dört ivme temsil p ve p' ve kullanarak elektronun dört ivme temsil Feynman kuralları biri aşağıdaki diyagramlar bu matris elemanlarını vermek gösterebilir:

			Kullandığımız Nerede: Hangi Gama matrisler , süre, fermiyonlar için dört bileşenli spinörleri olan anti-fermiyonlar için dört bileşenli spinörleri (bkz Dört spinörleri ). ${\görüntüleme stili \gama ^{\mu }\,}$ $u,\ \mathrm {ve} \ {\bar {u}}\,$ $v,\ \mathrm {ve} \ {\bar {v}}\,$
	(saçılma)	(yok etme)
${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}=\,}$	$-e^{2}\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'}\sağ){\frac {1}{(k-k' )^{2}}}\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p}\sağ)$	$+e^{2}\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p}\sağ){\frac {1}{(k+p)^ {2}}}\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'}\sağ)$

İki diyagram arasında göreceli bir işaret farkı olduğuna dikkat edin.

matris elemanının karesi

Polarize olmayan kesiti hesaplamak için , gelen parçacıkların dönüşlerinin ( s _e- ve s _e+ olası değerleri) ortalaması alınmalı ve giden parçacıkların dönüşlerinin toplamı alınmalıdır . Yani,

${\overline {\|{\mathcal {M}}\|^{2}}}\,$	$={\frac {1}{(2s_{e-}+1)(2s_{e+}+1)}}\sum _{\mathrm {spins} }\|{\mathcal {M}}\|^ {2}\,$
	$={\frac {1}{4}}\sum _{s=1}^{2}\sum _{s'=1}^{2}\sum _{r=1}^{2 }\sum _{r'=1}^{2}\|{\matematiksel {M}}\|^{2}\,$

İlk önce hesaplayın : $|{\mathcal {M}}|^{2}\,$

$\|{\mathcal {M}}\|^{2}\,$ =	$e^{4}\sol\|{\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{ p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\sağ\|^{2}\,$	(saçılma)
	${}-e^{4}\sol({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'}))({\bar {u} }_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\sağ)^{*}\sol({\frac {({\bar) {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k +p)^{2}}}\sağ)\,$	(girişim)
	${}-e^{4}\sol({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'}))({\bar {u} }_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\sağ)\sol({\frac {({\bar {v}}) _{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k+p)^ {2}}}\sağ)^{*}\,$	(girişim)
	${}+e^{4}\left\|{\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}} _{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k+p)^{2}}}\sağ\|^{2}\,$	(yok etme)

Saçılma terimi (t-kanalı)

Büyüklüğün karesi M

$\|{\mathcal {M}}\|^{2}\,$	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu) }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p}){\Big )}^{*}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}){\Big ) }\,$	${\görüntüleme stili (1)\,}$
	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu) }v_{k'})^{}({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})^{}{\Big )}{\Big (} ({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}) {\Büyük )}\,$	${\görüntüleme stili (2)\,}$
	(karmaşık eşlenik sırayı çevirecektir)
	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}\left({\bar {v}}_{k'}\gamma ^ {\mu }v_{k}\sağ)\sol({\bar {u}}_{p}\gamma _{\mu }u_{p'}\sağ){\Big )}{\Big (} \left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'}\sağ)\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}\sağ){\Büyük )}\,$	${\görüntüleme stili (3)\,}$
	(aynı momentuma bağlı terimleri yan yana taşıyın)
	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left({\bar {v}}_{k'}\gamma ^{\mu }v_ {k}\sağ)\sol({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'}\sağ)\sol({\bar {u}}_{p}\ gamma _{\mu }u_{p'}\sağ)\sol({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}\sağ)\,$	${\görüntüleme stili (4)\,}$

spin üzerinden topla

Ardından, dört parçacığın hepsinin dönüşlerini toplamak istiyoruz. Let s ve s' elektron ve spin olarak r ve r' pozitron spin olabilir.

$\sum _{\mathrm {spins} }\|{\mathcal {M}}\|^{2}\,$	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left(\sum _{r'}{\bar {v}}_{k'}\ gamma ^{\mu }(\sum _{r}v_{k}{\bar {v}}_{k})\gamma ^{\nu }v_{k'}\sağ)\sol(\sum _ {s}{\bar {u}}_{p}\gamma _{\mu }(\sum _{s'}{u_{p'}{\bar {u}}_{p'}})\ gama _{\nu }u_{p}\sağ)\,$	${\görüntüleme stili (5)\,}$
	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\operatöradı {Tr} \left({\Big (}\sum _{r'}v_{k) '}{\bar {v}}_{k'}{\Big )}\gamma ^{\mu }{\Big (}\sum _{r}v_{k}{\bar {v}}_{ k}{\Big )}\gamma ^{\nu }\right)\operatöradı {Tr} \left({\Big (}\sum _{s}u_{p}{\bar {u}}}_{p) }{\Big )}\gamma _{\mu }{\Big (}\sum _{s'}{u_{p'}{\bar {u}}_{p'}}{\Big )}\ gama _{\nu }\sağ)\,$	${\görüntüleme stili (6)\,}$
	(şimdi Tamlık ilişkilerini kullanın )
	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\operatöradı {Tr} \left((k\!\!\!/'-m)\gamma ^{\mu }(k\!\!\!/-m)\gamma ^{\nu }\sağ)\cdot \operatöradı {Tr} \sol((p\!\!\!/'+m) \gamma _{\mu }(p\!\!\!/+m)\gamma _{\nu }\sağ)\,$	${\görüntüleme stili (7)\,}$
	(şimdi İz kimliklerini kullanın )
	$={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left(4\left({k'}^{\mu }k^{\nu }- (k'\cdot k)\eta ^{\mu \nu }+k'^{\nu }k^{\mu }\sağ)+4m^{2}\eta ^{\mu \nu }\sağ )\left(4\left({p'}_{\mu }p_{\nu }-(p'\cdot p)\eta _{\mu \nu }+p'_{\nu }p_{\ mu }\sağ)+4m^{2}\eta _{\mu \nu }\sağ)\,$	${\görüntüleme stili (8)\,}$
	$={\frac {32{e^{4}}}{(k-k')^{4}}}\left((k'\cdot p')(k\cdot p)+(k '\cdot p)(k\cdot p')-m^{2}p'\cdot pm^{2}k'\cdot k+2m^{4}\sağ)\,$	${\görüntüleme stili (9)\,}$

Elektronlar söz konusu olduğunda, kişi genellikle elektron kütlesini çok aşan enerji ölçekleriyle ilgilenir. Elektron kütlesinin ihmal edilmesi basitleştirilmiş formu verir:

${\frac {1}{4}}\sum _{\mathrm {spins} }\|{\mathcal {M}}\|^{2}\,$	$={\frac {32e^{4}}{4(k-k')^{4}}}\left((k'\cdot p')(k\cdot p)+(k'\ cdot p)(k\cdot p')\sağ)\,$
	( bu göreli limitte Mandelstam değişkenlerini kullanın )
	$={\frac {8e^{4}}{t^{2}}}\left({\tfrac {1}{2}}s{\tfrac {1}{2}}s+{\tfrac {1}{2}}u{\tfrac {1}{2}}u\sağ)\,$
	$=2e^{4}{\frac {s^{2}+u^{2}}{t^{2}}}\,$

Annihilation terimi (s-kanalı)

Yok olma terimini bulma süreci yukarıdakine benzer. İki diyagram geçiş simetrisi ile ilişkili olduğundan ve ilk ve son durum parçacıkları aynı olduğundan, momentumu değiştirmek yeterlidir,

${\frac {1}{4}}\sum _{\mathrm {spins} }\|{\mathcal {M}}\|^{2}\,$	$={\frac {32e^{4}}{4(k+p)^{4}}}\left((k\cdot k')(p\cdot p')+(k'\cdot p)(k\cdot p')\sağ)\,$
	$={\frac {8e^{4}}{s^{2}}}\left({\tfrac {1}{2}}t{\tfrac {1}{2}}t+{\tfrac {1}{2}}u{\tfrac {1}{2}}u\sağ)\,$
	$=2e^{4}{\frac {t^{2}+u^{2}}{s^{2}}}\,$

(Bu, kütle merkezi çerçevesindeki saçılma açısının nerede olduğu ile orantılıdır .) ${\ Displaystyle (1+\cos ^{2}\theta )}$ ${\görüntüleme stili \teta}$

Çözüm

Girişim terimini aynı satırlar boyunca değerlendirmek ve üç terimi eklemek, nihai sonucu verir.

{\frac {\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}{2e^{4}}}={\frac {u^{2}+s^{2}} {t^{2}}}+{\frac {2u^{2}}{st}}+{\frac {u^{2}+t^{2}}{s^{2}}}\,

Adımları basitleştirme

tamlık ilişkileri

İçin tamlık ilişkileri dört spinörleri u ve v vardır

\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}{\bar {u}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\! /+m\,

\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}{\bar {v}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\! /-m\,

nerede

p\!\!\!/=\gamma ^{\mu }p_{\mu }\,

(bkz. Feynman eğik çizgi gösterimi )

{\bar {u}}=u^{\hançer }\gamma ^{0}\,

İz kimlikleri

Dirac gama matrislerinin izini basitleştirmek için iz kimlikleri kullanılmalıdır. Bu makalede kullanılan üç tanesi:

Bir herhangi ürünün iz tek sayı ve 's, sıfırdır $\gamma _{\mu }\,$
$\operatöradı {Tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu }$
$\operatöradı {Tr} \left(\gamma _{\rho }\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }\gamma _{\nu }\sağ)=4\sol(\eta _ {\rho \mu }\eta _{\sigma \nu }-\eta _{\rho \sigma }\eta _{\mu \nu }+\eta _{\rho \nu }\eta _{\mu \sigma }\sağ)\,$

Bu ikisini kullanarak, örneğin şunu bulur:

$\operatöradı {Tr} \left((p\!\!\!/'+m)\gamma _{\mu }(p\!\!\!/+m)\gamma _{\nu } \sağ)\,$	$=\operatöradı {Tr} \left(p\!\!\!/'\gamma _{\mu }p\!\!\!/\gamma _{\nu }\sağ)+\operatöradı { Tr} \left(m\gamma _{\mu }p\!\!\!/\gamma _{\nu }\sağ)\,$
	$+\operatöradı {Tr} \left(p\!\!\!/'\gamma _{\mu }m\gamma _{\nu }\sağ)+\operatöradı {Tr} \left(m^ {2}\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\sağ)\,$
	(iki orta terim (1) nedeniyle sıfırdır)
	$=\operatöradı {Tr} \left(p\!\!\!/'\gamma _{\mu }p\!\!\!/\gamma _{\nu }\sağ)+m^{ 2}\operatöradı {Tr} \left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\sağ)\,$
	(sağdaki terim için kimliği (2) kullanın)
	$={p'}^{\rho }p^{\sigma }\operatöradı {Tr} \left(\gamma _{\rho }\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }\gamma _{\nu }\sağ)+m^{2}\cdot 4\eta _{\mu \nu }\,$
	(şimdi soldaki terim için kimliği (3) kullanın)
	$={p'}^{\rho }p^{\sigma }4\sol(\eta _{\rho \mu }\eta _{\sigma \nu }-\eta _{\rho \sigma }\eta _{\mu \nu }+\eta _{\rho \nu }\eta _{\mu \sigma }\sağ)+4m^{2}\eta _{\mu \nu }\,$
	$=4\left({p'}_{\mu }p_{\nu }-(p'\cdot p)\eta _{\mu \nu }+p'_{\nu }p_{\ mu }\sağ)+4m^{2}\eta _{\mu \nu }\,$

kullanır

Bhabha saçılması, bir dizi e ⁺ e ^- çarpıştırıcı fizik deneylerinde bir parlaklık monitörü olarak kullanılmıştır . Parlaklığın doğru ölçümü, kesitlerin doğru ölçümleri için gereklidir.

Stanford Büyük Dedektörün (SLD) 1993 çalışmasının parlaklığını ölçmek için küçük açılı Bhabha saçılımı kullanıldı ve bağıl belirsizlik %0,5'ten azdı.

Beijing Elektron Synchrotron (BES) ve Belle ve BaBar "B-fabrika" deneyleri gibi alçak hadronik rezonanslar (yaklaşık 1 GeV ila 10 GeV) bölgesinde çalışan elektron-pozitron çarpıştırıcıları , geniş açılı Bhabha kullanır. parlaklık monitörü olarak saçılma. %0,1 düzeyinde istenen kesinliği elde etmek için, deneysel ölçümler, birinci dereceden ışınımsal düzeltmeleri içeren teorik bir hesaplama ile karşılaştırılmalıdır . Bu düşük enerjilerde toplam hadronik kesitin yüksek hassasiyetli ölçüm teorik hesaplamasına önemli bir giriştir anormal manyetik dipol momenti ve müon zorlanması için kullanılır, Süpersimetri ve diğer fizik modeller standart model ötesinde .

Referanslar

^ "Küçük Açılı Işınımlı Bhabha Saçılımı ve Lumino Ölçümü Çalışması". Bibcode : 1995PhDT......160W . Alıntı günlüğü gerektirir |journal=( yardım )
^ Carloni Calame, C.M; Lunardini, C ; Montagna, G; Nikrosini, O; Piccinini, F (2000). "Lezzet fabrikalarında geniş açılı Bhabha saçılması ve parlaklık". Nükleer Fizik B . 584 : 459-479. arXiv : hep-ph/0003268 . Bibcode : 2000NuPhB.584..459C . doi : 10.1016/S0550-3213(00)00356-4 .

Halzen, Francis ; Martin, Alan (1984). Kuarklar ve Leptonlar: Modern Parçacık Fiziğine Giriş Kursu . John Wiley ve Oğulları. ISBN'si 0-471-88741-2.
Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1994). Kuantum Alan Teorisine Giriş . Perseus Yayıncılık. ISBN'si 0-201-50397-2.
arxiv.org üzerinde Bhabha saçılması

[1] "Küçük Açılı Işınımlı Bhabha Saçılımı ve Lumino Ölçümü Çalışması". Bibcode : 1995PhDT......160W . Alıntı günlüğü gerektirir |journal=( yardım )

[2] Carloni Calame, C.M; Lunardini, C ; Montagna, G; Nikrosini, O; Piccinini, F (2000). "Lezzet fabrikalarında geniş açılı Bhabha saçılması ve parlaklık". Nükleer Fizik B . 584 : 459-479. arXiv : hep-ph/0003268 . Bibcode : 2000NuPhB.584..459C . doi : 10.1016/S0550-3213(00)00356-4 .

Languages

In other projects