Vektör Laplace - Vector Laplacian

Gelen matematik ve fizik , vektör Laplace operatörü ile gösterilen, adını, Pierre-Simon Laplace , a, diferansiyel operatör bir üzerinden tanımlanan vektör alanına . Vektör Laplace benzer sayıl Laplace . Skaler Laplace bir uygulanır Oysa skaler alan ve bir skaler miktar döner, vektör Laplasyan bir uygulanır vektör alanının bir vektör miktarı dönen. Hesaplanan zaman ortonormal Kartezyen koordinatlar , geri vektör alanı vektör alanına eşittir Laplace skalar her vektör bileşenine uygulanan. ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$

Tanım

Vektör Laplace bir vektör alanın olarak tanımlanmaktadır ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) -. \ Nabla kez \ (\ nabla \ kez \ mathbf {A})}

Gelen Kartezyen koordinatlarda , bu çok daha basit forma azaltır:

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = (\ nabla ^ {2} A_ {x} \ nabla ^ {2} A_ {y} \ nabla ^ {2} A_ {z}), }

nerede , ve bileşenleridir . Bu Lagrange formülü özel bir durum olarak görülebilir; bkz Vektör üçlü ürünü . ${\ Displaystyle A_ {x}}$ ${\ Displaystyle A_ {y}}$ ${\ Displaystyle A_ {z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$

Diğer koordinat sistemlerinde vektör Laplacian'ın ifadeler için bkz Silindirik ve küresel koordinatlardaki Del .

genelleme

Herhangi bir Laplace tensör alanı olarak tanımlanır ( "tensör" skaler vektör içermektedir) farklılık ait gradyanı tensörünün: ${\ Displaystyle \ mathbf {T}}$

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {T} = \ nabla \ cdot (\ nabla \ mathbf {T})}.

Özel bir durum için bir olduğunu sayıl (derecesi sıfır bir tensör), Laplace tanıdık formda alır. ${\ Displaystyle \ mathbf {T}}$

Eğer bir vektör (birinci derece tensör) olup, gradyan a, bildirdiğinden türevinin ikinci dereceden bir tensör ile sonuçlanır ve bu diverjansı yine bir vektördür. Yukarıda bahsedilen vektör Laplace formülü tensör matematik önlemek için kullanılabilir ve sapma eşdeğer olduğu gösterilebilir Jakobyan matris bir vektörün gradyanı için aşağıda gösterilen: ${\ Displaystyle \ mathbf {T}}$

{\ Displaystyle \ nabla \ mathbf {T} = (\ nabla T_ {x} \ Nabla T_ {y} \ Nabla T_ {z}) = {\ başlar {bmatrix} T_ {xx} T_ {x, y} T_ { xz} \\ T_ {yx} T_ {yy} T_ {y-Zp} \\ T_ {ZX} T_ {zy} T_ {zz} \ ucu {bmatrix}}, {\ metni {burada}} T_ {uv} \ eşd {\ frac {\ kısmi T_ {u}} {\ kısmi hacim}}}.

Ve aynı şekilde, başka bir vektöre (2 derecesinin bir tensör) bir gradyanı ile bir vektörün, bir vektör olarak değerlendirilen bir nokta ürün, matrislerin bir ürün olarak görülebilir: