İki boyutlu pencere tasarımı - Two-dimensional window design

Pencereleme , endeksle sınırlı bir dizinin maksimum enerjisinin sınırlı bir frekans aralığında yoğunlaştığı bir süreçtir. Bu uzatılabilir , N -Boyut K -D penceresi ayrılabilir bir ya da olmayan ayrılabilir sınırlı destek ve maksimum enerji konsantrasyonu , N -D geçiş bandı. Bir tasarımı N gibi çeşitli alanlarda boyutlu pencere özellikle 2B pencere buluntular uygulamaları boyutlu sinyallerin spektral kestirim dairesel simetrik tasarımı ve quadrantally simetrik olmayan yinelemeli 2D filtre , uygun tasarımı evrişim fonksiyonları, görüntü iyileştirme böylece veriye bağlı işleme yapılarının , optik apodizasyonun ve anten dizisi tasarımının etkilerini azaltmak için .

İki boyutlu pencere

Çok boyutlu sinyal işlemenin çeşitli uygulamaları nedeniyle , 2-B pencerelerin çeşitli tasarım metodolojileri, sırasıyla yukarıda bahsedilen bu uygulamaları kolaylaştırmak için kritik öneme sahiptir.

Fourier dönüşümü ile gösterilen iki boyutlu bir pencere fonksiyonunu (veya pencere dizisini ) düşünün . Let ve ve ideal filtrenin impuls ve frekans yanıtı ifade eder ve yere yakın bir filtre, filtrenin impuls ve frekans yanıtı ifade eder, o zaman yaklaşık olarak belirleyebilir ile . Sonsuz bir boyuta sahip olduğundan , aşağıda gösterildiği gibi bir pencere işlevi ile çarpılarak sonlu bir dürtü yanıtı olarak yaklaştırılabilir. ${\ displaystyle w (n_ {1}, n_ {2})}$${\ displaystyle W (w_ {1}, w_ {2})}$${\ displaystyle i (n_ {1}, n_ {2})}$${\ displaystyle I (w_ {1}, w_ {2})}$${\ displaystyle h (n_ {1}, n_ {2})}$${\ displaystyle H (w_ {1}, w_ {2})}$${\ displaystyle I (w_ {1}, w_ {2})}$${\ displaystyle h (n_ {1}, n_ {2})}$${\ displaystyle i (n_ {1}, n_ {2})}$

${\ displaystyle h (n_ {1}, n_ {2}) = i (n_ {1}, n_ {2}) w (n_ {1}, n_ {2})}$

ve Fourier alanında

${\ displaystyle H (w_ {1}, w_ {2}) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}} [I (w_ {1}, w_ {2}) ** W (w_ {1}, w_ {2})]}$ 

Problem, uygun bir şekle sahip olan bir pencere fonksiyonu seçmektir yakındır ve bir kesinti çevreleyen herhangi bir bölgesinde , dolayı pencereleme aşırı dalgalanmalar içermemelidir. ${\ displaystyle H (w_ {1}, w_ {2})}$${\ displaystyle I (w_ {1}, w_ {2})}$${\ displaystyle I (w_ {1}, w_ {2})}$${\ displaystyle H (w_ {1}, w_ {2})}$

1-D işlevinden 2-D pencere işlevi

Prototip olarak tek boyutlu bir pencere kullanarak 2 boyutlu pencere oluşturmak için dört yaklaşım vardır.

Yaklaşım I

2-D penceresini türetmenin yöntemlerinden biri , iki 1-D pencerenin dış ürününden , yani, bu yaklaşımda ayrılabilirlik özelliğinden yararlanılır. Oluşturulan pencere, kare bir destek bölgesine sahiptir ve iki değişkende ayrılabilir. Bu yaklaşımı anlamak için , pencere fonksiyonu tarafından verilen 1-D Kaiser penceresini ele alalım. ${\ displaystyle w (n_ {1}, n_ {2}) = w_ {1} (n_ {1}) w_ {2} (n_ {2}).}$

${\ displaystyle w [n] = \ sol \ {{\ begin {matris} {\ frac {I_ {0} \ left (\ pi \ alpha {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {2n} {N -1}} - 1 \ sağ) ^ {2}}} \ sağ)} {I_ {0} (\ pi \ alpha)}}, & 0 \ leq n \ leq N-1 \\\\ 0 & {\ text {aksi halde}} \\\ son {matris}} \ sağ.}$

daha sonra karşılık gelen 2-B işlevi şu şekilde verilir:

${\ displaystyle w (n_ {1}, n_ {2}) = \ sol \ {{\ başlar {matris} {\ frac {I_ {0} \ sol (\ alpha {\ sqrt {1- \ sol ({\ frac {n_ {1}} {a}} \ sağ) ^ {2}}} \ sağ) I_ {0} \ left (\ alpha {\ sqrt {1 - ({\ frac {n_ {2}} {a }}) ^ {2}}} \ sağ)} {I_ {0} ^ {2} (\ alpha)}}, & | n_ {1} | \ leqslant a, | n_ {2} | \ leqslant a \ \ 0 & {\ text {aksi halde}} \\\ end {matris}} \ sağ.}$

nerede:

• ${\ displaystyle r = {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2}}}}$
• N , 1-D dizisinin uzunluğudur,
• I ₀ , birinci türden sıfırıncı mertebeden değiştirilmiş Bessel fonksiyonudur ,
• α , pencerenin şeklini belirleyen, keyfi, negatif olmayan bir gerçek sayıdır. Frekans alanında, pencere tasarımında merkezi bir karar olan ana lob genişliği ve yan lob seviyesi arasındaki dengeyi belirler.

Fourier dönüşümü, Fourier dönüşümlerinin dış ürünüdür . Bu nedenle . ${\ displaystyle w (n_ {1}, n_ {2})}$${\ displaystyle w_ {1} (n_ {1}) {\ text {ve}} w_ {2} (n_ {2})}$${\ displaystyle W (w_ {1}, w_ {2}) = W_ {1} (w_ {1}) W_ {2} (w_ {2})}$

Yaklaşım II

1 boyutlu pencere tasarımını 2 boyutlu tasarıma genişletmenin başka bir yöntemi, dairesel olarak döndürülen 1 boyutlu sürekli pencere işlevini örneklemektir. Bir fonksiyon sahip olduğu söylenir dairesel simetriye bu bağımsız olarak yarıçapının bir fonksiyonu olarak yazılabilir durumunda , yani ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle f (r, \ theta) = f (r).}$

Eğer ağırlık ( n ) iyi bir 1-d daha simetrik bir pencere belirtmektedir daha sonra karşılık gelen 2-B pencere fonksiyonudur

${\ displaystyle w (n_ {1}, n_ {2}) = w \ sol ({\ sqrt {n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2}}} \ sağ) {\ text { için}} \ sol | {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2}}} \ sağ | \ leqslant a}$

(nerede sabittir) ve ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle w (n_ {1}, n_ {2}) = 0 {\ text {for}} \ left | {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2}}} \ sağ |> a}$

Dikdörtgen koordinatlarda pencere fonksiyonunun Fourier dönüşümünün kutupsal koordinatlara dönüşümü , Hankel dönüşümü olarak adlandırılan bir Fourier-Bessel dönüşümü ifadesiyle sonuçlanır . Bu nedenle, 2-B pencere fonksiyonlarının Fourier dönüşümünü hesaplamak için Hankel dönüşümü kullanılır.

Bu yaklaşım, 1-B pencere fonksiyonundan 2-B pencereyi bulmak için kullanılırsa, Fourier dönüşümleri ,

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} H (w_ {1}, w_ {2}) ** W (w_ {1}, w_ {2}) = H (w) * W (w )}$

nerede:

${\ displaystyle H (w) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1, & w \ geq 0 \\ 0, & w <0 \\\ end {matrix}} \ right.}$ 1 boyutlu adım işlevidir

ve

${\ displaystyle H (w_ {1}, w_ {2}) = \ sol \ {{\ başla {matris} 1, & w_ {1} \ geq 0 {\ text {ve tümü}} w_ {2} \\ 0 , & w_ {1} <0 {\ text {ve tümü}} w_ {2} \ end {matris}} \ sağ.}$ 2 boyutlu adım işlevidir.
Yan lob tarafından oluşturulan ana lobun yüzdesini hesaplamak için, yan lobların altındaki alanın kullanıldığı 1-D'den farklı olarak yan lobların altındaki hacim hesaplanır.
Bu yaklaşımı anlamak için, 1-D Kaiser penceresini düşünün, ardından ilgili 2-D işlevi şu şekilde türetilebilir:

${\ displaystyle w (n_ {1}, n_ {2}) = \ sol \ {{\ başlar {matris} {\ frac {I_ {0} \ sol (\ alpha {\ sqrt {1 - {\ frac {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2}}} {a ^ {2}}}} \ sağ)} {I_ {0} (\ alpha)}}, & | r | \ leqslant a \\ 0 & {\ text {aksi halde}} \ end {matris}} \ sağ.}$

Bu, 2 boyutlu pencereleri tasarlamak için en yaygın kullanılan yaklaşımdır.

Yukarıdaki iki yaklaşımdan elde edilen pencere formülasyonlarını kullanarak pencereleme yoluyla 2-D filtre tasarımı, aynı filtre sırasını verecektir. Bu, ikinci yaklaşım için bir avantaj sağlar, çünkü dairesel destek bölgesi, birinci yaklaşımdan elde edilen kare desteğin kare bölgesinden daha az sıfır olmayan örneğe sahiptir ve bu da, 2-B'nin katsayı sayısının azalması nedeniyle hesaplama tasarrufuyla sonuçlanır. filtre. Ancak bu yaklaşımın dezavantajı, 1-D penceresinin frekans özelliklerinin bu rotasyon yöntemi ile 2-B durumlarda iyi korunmamasıdır. Ayrıca, 2-D pencerelerin ana lob genişliğinin ve yan lob seviyesinin, 1-D prototipleri kadar iyi davranmadığı ve öngörülebilir olmadığı bulundu. 2 boyutlu bir pencere tasarlarken, döndürme için dikkate alınması gereken iki özellik vardır. İlk olarak, 1-D penceresi yalnızca tamsayı değerleri için tanımlanır, ancak değer genel olarak bir tamsayı değildir. Bunun üstesinden gelmek için, enterpolasyon yöntemi, herhangi bir rasgele için değerleri tanımlamak üzere kullanılabilir. İkincisi, 2-B FFT , 2-D pencereye uygulanabilir olmalıdır. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2}}}}$${\ displaystyle w (n_ {1}, n_ {2})}$${\ displaystyle w \ left ({\ sqrt {n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2}}} \ sağ).}$

Yaklaşım III

Diğer bir yaklaşım, Fourier uzayında bir 1-D penceresinin frekans yanıtını döndürerek ve ardından ters Fourier dönüşümü ile 2-D pencereler elde etmektir. Yaklaşım II'de, uzamsal alan sinyali döndürülürken, bu yaklaşımda 1-D penceresi farklı bir alanda (örneğin, frekans sinyali) döndürülür.

Böylece 2-B pencere fonksiyonunun Fourier dönüşümü şu şekilde verilir:

${\ displaystyle W_ {2} (w_ {1}, w_ {2}) = W_ {1} \ sol ({\ sqrt {(w_ {1} ^ {2} + w_ {2} ^ {2})} }\sağ).}$

2-D pencere fonksiyonu , ters ters Fourier dönüşümü hesaplanarak elde edilebilir . ${\ displaystyle w_ {2} (n_ {1}, n_ {2})}$${\ displaystyle W_ {2} (w_ {1}, w_ {2})}$

Türü koruyan dönüşü göstermenin başka bir yolu, ilişkinin sağlandığı zamandır. Bu, 2-D penceresinin frekans tepkisinin bir diliminin, yönünün gelişigüzel olduğu 1-D penceresininkine eşit olduğu anlamına gelir . Uzamsal alanda bu ilişki ile verilir . Bu, frekans yanıtının bir diliminin , 2-D penceresinin tek yönlü entegrasyonunun Fourier dönüşümü ile aynı olduğu anlamına gelir . ${\ displaystyle W_ {1} (w_ {1}) = W_ {2} (w_ {1}, w_ {2}) \ \ w_ {2} = 0} konumunda$${\ displaystyle (w_ {1}, w_ {2})}$${\ displaystyle w_ {1} (n) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! w_ {2} (n_ {1}, n_ {2}) \, dn_ {2}}$${\ displaystyle W_ {2} (w_ {1}, w_ {2})}$${\ displaystyle w_ {2} (n_ {1}, n_ {2})}$

Bu yaklaşımın avantajı, 1-D pencere tepkisinin bireysel özelliklerinin elde edilen 2-D pencere cevabında iyi korunmasıdır . Ayrıca, dairesel simetri, ayrık bir sistemde önemli ölçüde geliştirilir. Dezavantajı, 2-D ters Fourier dönüşümü gerekliliği nedeniyle hesaplama açısından verimsiz olması ve dolayısıyla pratikte daha az kullanışlı olmasıdır. ${\ displaystyle W_ {1} (w_ {1})}$${\ displaystyle W_ {2} (w_ {1}, w_ {2})}$

Yaklaşım IV

McClellan dönüşümünü 1 boyutlu bir pencereye uygulayarak 2 boyutlu bir pencere tasarlamak için yeni bir yöntem önerildi. Ortaya çıkan 2-D penceresinin her katsayısı, karşılık gelen 1-D penceresinin katsayılarının tamsayı veya 2 ağırlık gücüyle doğrusal kombinasyonudur.

Eşit uzunlukta bir durumu düşünün, bu durumda N uzunluğundaki 1-D penceresinin frekans yanıtı şu şekilde yazılabilir:

${\ displaystyle W_ {1} (w) = \ toplamı _ {n = 1} ^ {N / 2} w (n) \ cos [(n-0.5) w].}$

McClellan dönüşümünü düşünün:

${\ displaystyle \ cos (w) = 0.5 \ cos (w_ {1}) + 0.5 \ cos (w_ {2}) + 0.5 \ cos (w_ {1}) \ cos (w_ {2}) - 0.5}$

eşdeğer olan

${\ displaystyle \ cos (0.5w) = \ cos (0.5w_ {1}) \ cos (0.5w_ {2}) {\ text {for}} 0 \ leq \ w \ leq \ pi, 0 \ leq \ w_ {1} \ leq \ pi, 0 \ leq \ w_ {2} \ leq \ pi.}$

Yukarıdakileri değiştirerek, karşılık gelen 2 boyutlu pencerenin frekans yanıtını elde ederiz.

${\ displaystyle W_ {2} (w_ {1}, w_ {2}) = \ toplam _ {n_ {1} = 1} ^ {N / 2} \ toplam _ {n_ {2} = 1} ^ {N /2}w_{2}(n_{1},n_{2})\cos[(n_{1}-0.5)w_{1}]\cos[(n_{2}-0.5)w_{2}] .}$

Yukarıdaki denklemden 2 boyutlu pencerenin katsayıları elde edilebilir.

Bu yaklaşımı göstermek için Tseng penceresini düşünün. 1-D Tseng ağırlık penceresi şu şekilde yazılabilir: ${\ displaystyle 2N}$

${\ displaystyle W (w) = \ exp (-jw / 2) \ toplamı _ {n = 1} ^ {N} 2w_ {n} \ cos \ sol (\ sol (n - {\ frac {1} {2 }} \ sağ) w \ doğru).}$

Bu yaklaşımı uygulayarak, 2-D McClellan-dönüştürülmüş Tseng penceresinin frekans cevabı şu şekilde verilir:

${\ displaystyle W (w_ {1}, w_ {2}) = \ exp (-j (w_ {1} + w_ {2}) / 2) \ toplamı _ {n_ {1} = 1} ^ {N} \ toplam _ {n_ {2} = 1} ^ {N} 4w (n_ {1}, n_ {2}) \ cos \ left (\ left (n_ {1} - {\ frac {1} {2}} \ sağ) w_ {1} \ sağ) \ cos \ left (\ left (n_ {2} - {\ frac {1} {2}} \ sağ) w_ {2} \ sağ)}$

2 boyutlu Tseng pencere katsayıları nerede . ${\ displaystyle w (n_ {1}, n_ {2})}$

Bu pencere, AM sinyallerinin algılanması için anten dizisi tasarımındaki uygulamaları bulur.

Avantajları arasında basit ve verimli tasarım, 2 boyutlu pencerenin neredeyse dairesel simetrik frekans tepkisi, 1 boyutlu pencere prototip özelliklerinin korunması yer alır. Bununla birlikte, FIR filtre tasarımı için bu yaklaşım kullanıldığında, tasarlanan 2-D filtrelerin, McClellan tarafından orijinal olarak önerilenler kadar iyi olmadığı gözlemlenmiştir.

2 boyutlu pencere işlevleri

Yukarıdaki yaklaşımları kullanarak, 1-D pencerelerinin birkaçı için 2-D pencere fonksiyonları aşağıda gösterildiği gibidir. Tüm Hankel dönüşümü pencere fonksiyonunun frekans yanıtını bulmak için kullanılır, kapalı bir biçimde temsil etmek zordur. Dikdörtgen pencere ve Bartlett penceresi haricinde , diğer pencere fonksiyonları orijinal integral formlarında temsil edilir. İki boyutlu bir pencere fonksiyonu olarak temsil edilir , bir ile destek bölgesinde tarafından verilen pencere kökenli bire ayarlanır nerede ve için kullanılması Hankel dönüşümü , pencere fonksiyonunun frekans tepkisi ile verilmektedir ${\ displaystyle w (r)}$${\ displaystyle | r | <a}$${\ displaystyle w (r) = 0}$${\ displaystyle | r |> a.}$

${\ displaystyle W (f) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \! rw (r) J_ {0} (fr) \, dr.}$ 

burada bir Bessel fonksiyonu kimliği. ${\ displaystyle J_ {0}}$

Dikdörtgen pencere

Dairesel simetrik dikdörtgen bir pencerenin iki boyutlu versiyonu aşağıda verilmiştir.

${\ displaystyle w (r) = \ sol \ {{\ başlar {dizi} {ll} 1, & | r | \ leqslant a \\ 0, & | r |> bir \\\ son {dizi}} \ sağ .}$

Pencere silindiriktir ve yüksekliği bire eşittir ve tabanı 2a'ya eşittir. Bu pencerenin dikey kesiti 1 boyutlu dikdörtgen bir penceredir. Hankel dönüşümü
kullanılarak yukarıda tanımlandığı gibi pencere işlevini değiştirdikten sonra pencerenin frekans tepkisi aşağıda gösterildiği gibidir.

${\ displaystyle W (f) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \! rJ_ {0} (fr) \, dr}$

Bartlett penceresi

Bir Bartlett penceresinin iki boyutlu matematiksel temsili aşağıda gösterildiği gibidir.

${\ displaystyle w (r) = \ sol \ {{\ başlar {dizi} {cl} 1 - {\ frac {| r |} {a}}, & | r | \ leqslant a \\ 0, & | r |> a \ end {dizi}} \ sağ.}$

Pencere, yüksekliği 1'e eşit olan koni şeklindedir ve taban, yarıçapı 2a olan bir dairedir. Bu pencerenin dikey kesiti 1 boyutlu üçgen penceredir. Fourier dönüşümü kullanılarak pencerenin Hankel dönüşümü , aşağıda gösterildiği gibi olduğu

${\ displaystyle W (f) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \! r \ sol (1 - {\ frac {| r |} {a}} \ sağ) J_ {0} (fr) \ , dr}$

Kaiser penceresi

2-D Kaiser penceresi şu şekilde temsil edilir:

${\ displaystyle w (r) = \ sol \ {{\ begin {dizi} {cl} {\ frac {I_ {0} \ left (\ alpha {\ sqrt {1 - ({\ frac {r} {a} }) ^ {2}}} \ right)} {I_ {0} (\ alpha)}}, & | r | \ leqslant a \\ [4pt] 0 & {\ text {aksi halde}} \ end {dizi }}\sağ.}$

2-D penceresinin enine kesiti, 1-D Kaiser Pencere fonksiyonunun yanıtını verir. Fourier dönüşümü kullanılarak pencerenin Hankel dönüşümü , aşağıda gösterildiği gibi olduğu

${\ displaystyle W (f) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \! r \ sol ({\ tfrac {I_ {0} \ sol (\ alfa {\ sqrt {1 - ({\ frac { r} {a}}) ^ {2}}} \ sağ)} {I_ {0} (\ alpha)}} \ sağ) J_ {0} (fr) \, dr}$

Referanslar