Ruh teoremi - Soul theorem

Gelen matematik , ruh teoremi bir teoremi Riemannsal geometri büyük ölçüde tamamlanmış bir çalışma azaltır manifoldlar negatif olmayan bir kesit eğrilik dekine kompakt bir durumda. Cheeger ve Gromoll , teoremi 1972'de Gromoll ve Wolfgang Meyer'in 1969 sonucunu genelleştirerek kanıtladılar. İlgili ruh varsayımı , 1972'de Gromoll ve Cheeger tarafından formüle edildi ve 1994'te Grigori Perelman tarafından şaşırtıcı derecede özlü bir kanıtla kanıtlandı .

Ruh teoremi devletler:

Eğer ( M , g ) a, tamamen bağlı Riemannsal manifoldu ile kesitsel eğrilik K ≥ 0 , daha sonra vardır kompakt tamamen konveks , tamamen jeodezik altmanifold S olan , normal paket olup diffeomorphic için M .

(Kesitsel eğrilik her olmayan negatif olmalıdır, ancak bu sabit olmak zorunda olmadığını not edin.) Bu tür bir alt- S olarak adlandırılan bir ruh arasında ( M , g ) .

Ruh, genel olarak ( M , g ) ile benzersiz bir şekilde belirlenmez , ancak ( M , g ) ' nin herhangi iki ruhu izometriktir . Bu, Sharafutdinov tarafından 1978'de Sharafutdinov'un geri çekilmesini kullanarak kanıtlandı.

Örnekler

Her kompakt manifold kendi ruhudur. Aslında, teorem genellikle sadece kompakt olmayan manifoldlar için ifade edilir.

Çok basit bir örnek olarak, almak M olmak Öklid alan R ' ^{, n} . Kesitsel eğrilik 0 , her yerde ve her nokta M bir ruh olarak hizmet edebilir M .

Şimdi almak paraboloit E = {( x , y , z ): z = x ² + y ² }, metrik ile gr Öklid alanı içinde paraboloid gömme gelen sıradan bir Öklid mesafe olmak R ³ . Burada kesit eğriliği sabit olmasa da her yerde pozitiftir. Başlangıç ​​noktası (0, 0, 0) M'nin bir ruhudur . Her nokta x ait M bir ruhtur M dayanıyordu jeodezik halka olabilir, çünkü, x durumda olan, dışbükey tamamen olmazdı. ${\görüntüleme stili \{x\}}$

Yine indüklenmiş Öklid metriği ile sonsuz bir silindir M = {( x , y , z ) : x ² + y ² = 1 } düşünülebilir. Kesit eğriliği her yerde 0'dır . Sabit z ile herhangi bir "yatay" daire {( x , y , z ) : x ² + y ² = 1 } M'nin bir ruhudur . Silindirin yatay olmayan kesitleri ne tamamen dışbükey ne de tamamen jeodezik oldukları için ruh değildir.

ruh varsayımı

Cheeger ve Gromoll'un ruh varsayımı şöyle diyor:

( M , g )' nin tam, bağlantılı ve kesitsel eğriliği K ≥ 0 ile kompakt olmadığını ve M'de kesit eğriliğinin (tüm kesit yönlerinde) kesinlikle pozitif olduğu bir nokta olduğunu varsayalım . O zaman M'nin ruhu bir noktadır; eşdeğer M için diffeomorphic olan R, ⁿ .

Grigori Perelman bu ifadeyi, K ≥ 0 genel durumunda , Sharafutdinov'un geri çekilmesinin P : M → S bir daldırma olduğunu belirleyerek kanıtladı . Cao ve Shaw daha sonra Perelman'ın düz şerit teoremini önleyen farklı bir kanıt sağladılar .

Referanslar