ABC üçgeninin Simson çizgisi LN (kırmızı) , çember üzerindeki P noktasına göre

İn geometrisi , belirli bir üçgen ABC ve nokta P onun üzerine circumcircle , üç yakın noktası P hatları üzerinde AB , AC ve BC olan doğrudaş . Bu noktalardan geçen çizgi , Robert Simson olarak adlandırılan P'nin Simson doğrusudur . Ancak konsept ilk olarak 1799'da William Wallace tarafından yayınlandı .

Bunun tersi de doğrudur; üç doğru üzerinde P'ye en yakın üç nokta eşdoğrusal ise ve doğrulardan ikisi paralel değilse , o zaman P , üç doğrunun oluşturduğu üçgenin çevrel çemberi üzerindedir. Veya başka bir deyişle, bir üçgenin Simson hattı ABC ve bir noktaya P adildir pedalı üçgeni arasında ABC ve P düz bir çizgide dejenere oldu ve bu durum kısıtlar lokusu arasında P üçgeni circumcircle izlemek için ABC .

Denklem

Kompleks düzlemde üçgen yerleştirilmesi, birim ile üçgen ABC izin circumcircle olan konumları kompleks koordinatları köşe sahip bir , b , c , ve kompleks koordinatları P izin p circumcircle bir noktası. Simson hattı noktaları kümesi z tatmin

${\displaystyle 2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0, }$

burada bir üst çubuk karmaşık konjugasyonu gösterir .

Özellikler

Simson çizgileri (kırmızı) Steiner deltoidine (mavi) teğetlerdir.

• Üçgenin bir tepe noktasının Simson doğrusu, o tepe noktasından düşen üçgenin yüksekliğidir ve tepe noktasına taban tabana zıt olan noktanın Simson doğrusu , üçgenin o tepenin karşısındaki tarafıdır.
• Eğer P ve Q noktaları circumcircle olan, daha sonra Simson çizgi arasındaki açı P ve Q ark yarısı açısıdır PQ . Özellikle, noktalar taban tabana zıtsa, Simson çizgileri diktir ve bu durumda çizgilerin kesişimi dokuz noktalı daire üzerindedir.
• İzin vermek lH ifade orthocenter üçgeni ABC ait Simson hattı P parçası ikiye ayıran PH bir noktada bu dokuz noktası çember üzerinde yer alır.
• Aynı circumcircle iki üçgen göz önüne alındığında, bir nokta arasında Simson çizgi arasındaki açı P , her iki üçgen için circumcircle bağlı değildir P .
• Tüm Simson çizgileri kümesi çizildiğinde, referans üçgenin Steiner deltoidi olarak bilinen deltoid şeklinde bir zarf oluşturur .
• Simson çizgisinin referans üçgenin bir kenarıyla çakışması (yukarıdaki ilk özelliğe bakın) bu yan çizgi üzerinde önemsiz bir nokta verir. Bu nokta, yapılan yan çizginin orta noktası etrafındaki yüksekliğin (yan çizgiye düşen) ayağının yansımasıdır. Ayrıca bu nokta, referans üçgenin kenarı ile onun Steiner deltoidi arasında bir teğet noktadır.
• Paralelkenar olmayan bir dörtgen, dörtgen üzerindeki ayakların eşdoğrusal olduğu Simson noktası adı verilen bir ve yalnızca bir pedal noktasına sahiptir. Bir yamuğun Simson noktası, paralel olmayan iki kenarın kesişme noktasıdır.
• En az 5 kenarı olan hiçbir dışbükey çokgenin Simson doğrusu yoktur.

varlığın kanıtı

İspat yöntemi bunu göstermektir . döngüsel bir dörtgendir, yani . döngüsel bir dörtgendir ( Thales teoremi ), yani . Bu nedenle . Şimdi döngüsel, yani . Bu nedenle . ${\displaystyle \angle NMP+\angle PML=180^{\circ }}$${\ Displaystyle PCAB}$${\displaystyle \angle PBA+\angle ACP=\angle PBN+\angle ACP=180^{\circ }}$${\görüntüleme stili PMNB}$${\displaystyle \angle PBN+\angle NMP=180^{\circ }}$${\ Displaystyle \ açı NMP=\ ACP açısı}$${\görüntüleme stili PLCM}$${\displaystyle \angle PML=\angle PCL=180^{\circ }-\angle ACP}$${\displaystyle \angle NMP+\angle PML=\angle ACP+(180^{\circ }-\angle ACP)=180^{\circ }}$

alternatif kanıt

yeşil çizgi Simson'ın çizgisidir, mavi olanlar düşen dikeylerdir.

Bitişik şekildeki Z noktası ne ise, a + c 90'dır. Ayrıca Z noktası ne olursa olsun, c ve b eşit olacaktır. Bu nedenle, aşağıdakilere sahibiz:

a + c = 90

∴ a + b = 90 …(c ve b eşittir) (1)

Şimdi açının ölçüsünü düşünün: a + 90 + b.

Bu açının 180 olduğunu gösterirsek, Simson teoremi ispatlanmış olur.

(1)'den a + 90 + b = 180 elde ederiz.

QED

genellemeler

genelleme 1

Ap, Bp, Cp'nin BC, CA, AB üzerindeki izdüşümleri üç eşdoğrusal noktadır.

• Let ABC bir üçgen olmak bir çizgi ℓ circumcenter geçelim O ve nokta izin P circumcircle yalan. Let AP, BP, CP buluşup ℓ bir _p , B _p , Cı- _s ise. Let bir ₀ , B ₀ , C ₀ projeksiyonları olduğu bir _p , B _p , Cı- _p üzerine BC, CA, AB , sırasıyla. O zaman A ₀ , B ₀ , C ₀ eşdoğrusaldır. Ayrıca, yeni çizgi PH'nin orta noktasından geçer , burada H , Δ ABC'nin ortomerkezidir . ℓ, P'den geçerse , çizgi Simson çizgisiyle çakışır.

Simson hattının projektif bir versiyonu

genelleme 2

• ABC üçgeninin köşeleri Γ konik üzerinde olsun ve Q, P düzlemde iki nokta olsun. Let PA, PB, PC de konik kesiştiği A ₁ , B ₁ , C ₁ sırasıyla. KG ₁ kesiştiği BC de A ₂ , QB ₁ kesiştiği ac de B ₂ ve QC ₁ kesiştiği AB de C ₂ . O halde, A ₂ , B ₂ , C ₂ ve P dört noktası , eğer sadece Q konik Γ üzerinde bulunuyorsa, eşdoğrusaldır .

genelleme 3

• RF Cyster için teoremi genel siklik dörtgenler olarak bir halkalı dörtgeni arasında Simson Lines

Ayrıca bakınız

• Pedal üçgeni
• Robert Simson

Referanslar

Dış bağlantılar

• Simson Line cut-the-knot .org adresinde
• FM Jackson ve Weisstein, Eric W. "Simson Line" . Matematik Dünyası .
• Neuberg'in teoreminin bir genelleme ve Simson-Wallace çizgisi de Dinamik Geometri Eskiz , interaktif dinamik geometri kroki.