Thales teoremi - Thales's theorem

Thales teoremi: AC bir çapsa ve B çapın çemberi üzerinde bir noktaysa, ABC açısı bir dik açıdır.

İn geometrisi , Thales'in teoremi , A, B, ve C ile farklı noktaları ise bildiren daire hattı ac a, çap , açı ABC olan dik açı . Thales'in teoremi bir olan özel bir durum içinde yazılı açı teoremi ve söz ve üçüncü kitabında 31 önermenin bir parçası olarak kanıtlanmıştır Öklid 'in Elements . Genellikle Miletli Thales'e atfedilir , ancak bazen Pisagor'a da atfedilir .

Tarih

Thales'in yazılarından günümüze ulaşan hiçbir şey yoktur ; Antik Yunan'da yapılan işler, belirli herhangi bir entelektüel yapıya dahil olan tüm bireylere saygı gösterilmeden bilge insanlara atfedilme eğilimindeydi - bu özellikle Pisagor için geçerlidir. Atıf daha sonra ortaya çıkma eğilimindeydi. Thales referans Proclus'a tarafından yapılan ve tarafından yapıldı Laertios Diogenes belgeleyen Pamphila Thales 'bir daire dik açılı üçgen içinde kazımak ilk olduğunu' ifadesini.

Hintli ve Babilli matematikçiler bunu Thales kanıtlamadan önce özel durumlar için biliyorlardı. Thales'in Babil seyahati sırasında yarım daire içine yazılan bir açının dik açı olduğunu öğrendiğine inanılır . Teorem, Thales'in adını almıştır, çünkü antik kaynaklar tarafından, kendi sonuçlarını kullanarak , bir ikizkenar üçgenin taban açılarının eşit olduğu ve bir üçgenin açılarının toplamının eşit olduğu yönündeki teoremi kanıtlayan ilk kişi olduğu söylenmiştir . 180°.

Dante'nin Paradiso'su (kanto 13, satır 101-102) bir konuşma sırasında Thales'in teoremine atıfta bulunur.

Kanıt

İlk kanıt

Aşağıdaki gerçekler kullanılır: Bir üçgendeki açıların toplamı 180 ° 'ye eşittir ve bir ikizkenar üçgenin taban açıları eşittir.

Yana OA = OB = OC , ΔOBA ve ΔOBC ikizkenar üçgen ve baz eşitlik bir ikizkenar üçgen, ∠OBC = ∠OCB ve ∠OBA = ∠OAB arasında açılar oluştururlar.

Let α = ∠BAO ve β = ∠OBC. ΔABC üçgenin üç iç açılar α , ( α + β ) ve β . Bir üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için

${\displaystyle \alpha +\left(\alpha +\beta \sağ)+\beta =180^{\circ }}$

${\displaystyle 2\alpha +2\beta =180^{\circ }}$

${\displaystyle 2(\alpha +\beta )=180^{\circ }}$

${\ Displaystyle \ bu nedenle \alpha +\beta =90^{\circ }.}$

QED

İkinci kanıt

Teoremi de kullanılarak kanıtlanmış edilebilir trigonometri : Let , ve . O halde B birim çember üzerinde bir noktadır . Biz ΔABC olduğunu kanıtlayarak dik bir açı oluşturur gösterecektir AB ve BC olan dik olduğundan, onların ürünü - yamaçları -1 eşittir. AB ve BC için eğimleri hesaplıyoruz : ${\görüntüleme stili O=(0,0)}$${\görüntüleme stili A=(-1,0)}$${\görüntüleme stili C=(1,0)}$${\ Displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$

${\displaystyle m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \teta + 1}}}$

ve

${\displaystyle m_{BC}={\frac {y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta - 1}}}$

Sonra çarpımlarının -1'e eşit olduğunu gösteriyoruz:

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\[8pt]={}&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\ frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\[8pt]={}&{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1} }\\[8pt]={}&{\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\[8pt]={}&{-1}\end {hizalı}}}$

Pisagor trigonometrik özdeşliğinin kullanımına dikkat edin . ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$

Üçüncü kanıt

Thales teoremi ve yansımaları

Bir daire içinde bir çap olan bir daire içinde bir üçgen olsun . Ardından, üçgeni çizginin üzerinde aynalayarak ve ardından onu dairenin merkezinden geçen dik çizgi üzerinde tekrar aynalayarak yeni bir üçgen oluşturun . Hatlar yana ve olan paralel için de aynı şekilde, ve , dörtgen a, paralelkenar . Paralelkenarın köşegenleri ve doğruları dairenin çapları olduğundan ve dolayısıyla eşit uzunlukta olduğundan, paralelkenar bir dikdörtgen olmalıdır. Dikdörtgenin tüm açıları dik açıdır. ${\görüntüleme stili ABC}$${\ Displaystyle AB}$${\görüntüleme stili ABD}$${\görüntüleme stili ABC}$${\ Displaystyle AB}$${\ Displaystyle AB}$${\görüntüleme stili AC}$${\görüntüleme stili BD}$${\görüntüleme stili AD}$${\görüntüleme stili CB}$ ${\görüntüleme stili ACBD}$${\ Displaystyle AB}$${\görüntüleme stili CD}$

sohbet

Herhangi bir üçgen ve özellikle herhangi bir dik üçgen için, üçgenin üç köşesini de içeren tam olarak bir daire vardır. ( İspat taslağı . Verilen iki noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, noktaları birleştiren doğru parçasının dik açıortay adı verilen bir doğrudur. Bir üçgenin herhangi iki kenarının dik açıortayları tam olarak bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin eşit uzaklıkta olmalıdır.) Bu daire olarak adlandırılır circumcircle üçgenin.

Thales teoremini formüle etmenin bir yolu şudur: Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi üçgenin üzerindeyse, o zaman üçgen diktir ve çember çemberinin merkezi onun hipotenüsü üzerindedir.

Thales teoreminin tersi şu şekildedir: bir dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi onun hipotenüsü üzerindedir. (Eşdeğer olarak, bir dik üçgenin hipotenüsü, çevresinin bir çapıdır.)

Geometri kullanarak tersinin kanıtı

Tersinin kanıtı için şekil

Bu ispat, bir dikdörtgen oluşturmak için dik üçgeni 'tamamlamaktan' ve bu dikdörtgenin merkezinin köşelerden eşit uzaklıkta olduğunu ve orijinal üçgenin çevreleyen çemberinin merkezinin de olduğunu fark etmekten ibarettir, iki gerçeği kullanır:

• bir paralelkenardaki bitişik açılar tamamlayıcıdır (180 ° 'ye eklenir ) ve,
• bir dikdörtgenin köşegenleri eşittir ve orta noktalarında kesişir.

Bir ∠ABC dik açısı olsun, A'dan geçen BC'ye paralel ra doğrusu ve C'den geçen AB'ye paralel sa doğrusu olsun. r ve s doğrularının kesişim noktası D olsun (D'nin bulunduğu kanıtlanmadı. daire üzerinde)

ABCD dörtgeni, yapım gereği bir paralelkenar oluşturur (karşıt taraflar paralel olduğu için). Bir paralelkenarda bitişik açılar tamamlayıcı (180°'ye eklenir) ve ∠ABC bir dik açı (90°) olduğundan, ∠KÖTÜ, ∠BCD ve ∠ADC açıları da diktir (90°); dolayısıyla ABCD bir dikdörtgendir.

AC ve BD köşegenlerinin kesişim noktası O olsun . O zaman yukarıdaki ikinci gerçeğe göre O noktası A, B ve C'den eşit uzaklıktadır. Dolayısıyla O, çevreleyen çemberin merkezidir ve üçgenin hipotenüsü ( AC ) çemberin çapıdır.

Geometri kullanarak tersinin alternatif kanıtı

Hipotenüsü AC olan bir ABC dik üçgeni verildiğinde , çapı AC olan bir Ω çemberi oluşturun . Ω'un merkezi O olsun . D , Ω ve OB ışınının kesişimi olsun . Thales teoremine göre, ∠ ADC doğrudur. Ama o zaman D , B'ye eşit olmalıdır . ( D , ∆ ABC ' nin içindeyse , ∠ ADC geniş olur ve D , ∆ ABC ' nin dışındaysa , ∠ ADC dar olur.)

Lineer cebir kullanarak tersinin kanıtı

Bu kanıt iki gerçeği kullanır:

• iki çizgi, ancak ve ancak yönlü vektörlerinin nokta çarpımı sıfır ise bir dik açı oluşturur ve
• bir vektörün uzunluğunun karesi, vektörün kendisiyle nokta çarpımı tarafından verilir.

Bir ∠ABC dik açısı ve çapı AC olan M dairesi olsun . Daha kolay hesaplama için M'nin merkezi orijin üzerinde olsun. O zaman biliyoruz

• A = - daire merkezi orijinde çünkü Cı sahip AC çap olarak ve
• (A − B) · (B − C) = 0, çünkü ∠ABC bir dik açıdır.

takip ediyor

0 = (A − B) · (B − C) = (A − B) · (B + A) = |A| ² − |B| ² .

Buradan:

|A| = |B|.

Bu, A ve B'nin orijinden, yani M'nin merkezinden eşit uzaklıkta olduğu anlamına gelir . Bu yana bir ilgili yalan M , yapar B , ve daire M nedenle üçgenin circumcircle.

Yukarıdaki hesaplamalar aslında Thales teoreminin her iki yönünün de herhangi bir iç çarpım uzayında geçerli olduğunu ortaya koymaktadır .

Genellemeler ve ilgili sonuçlar

Thales teoremi, aşağıdaki teoremin özel bir halidir:

O merkezli bir çember üzerinde A, B ve C noktaları verildiğinde, ∠AOC açısı ∠ABC açısının iki katıdır.

Yazılı açıya bakın , bu teoremin ispatı, yukarıda verilen Thales teoreminin ispatına oldukça benzer.

Thales teoremi ile ilgili bir sonuç şudur:

• Eğer AC sonra bir daire, bir çapıdır:

• B dairenin içindeyse, ∠ABC > 90°
• B daire üzerindeyse, ∠ABC = 90°
• B dairenin dışındaysa, ∠ABC < 90°.

Başvuru

Thales teoremini kullanarak bir teğet oluşturma.

Thales teoremi, belirli bir noktadan geçen belirli bir daireye teğet oluşturmak için kullanılabilir . Sağdaki şekilde, O merkezli k çemberi ve k'nin dışında P noktası verilmiş , OP'yi H'de ikiye bölün ve H merkezli OH yarıçaplı çemberi çizin. OP bu dairenin çapıdır, dolayısıyla OP'yi noktalara bağlayan üçgenler Dairelerin kesiştiği yerde T ve T' her ikisi de dik üçgenlerdir.

Geometrik bir yöntem bulmak için kullanarak geometrik ortalama teoremi ile${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ ${\displaystyle h={\sqrt {pq}}}$${\görüntüleme stili q=1}$

Thales teoremi, kare veya dikdörtgen şeklinde bir kağıt yaprağı gibi dik açılı bir nesne kullanarak bir dairenin merkezini bulmak için de kullanılabilir . Açı, çevresi üzerinde herhangi bir yere yerleştirilir (şekil 1). İki kenarın çevre ile kesişimi bir çap tanımlar (şekil 2). Bunu farklı bir kesişme grubuyla tekrarlamak başka bir çap verir (şekil 3). Merkez, çapların kesiştiği noktadadır.

Bir dairenin merkezini bulmak için Thales teoreminin ve dik açının kullanımının çizimi

Ayrıca bakınız

• sentetik geometri
• Ters Pisagor teoremi

Notlar

Referanslar

• Agricola, İlka ; Friedrich, Thomas (2008). Temel Geometri . AMS. P. 50. ISBN'si 978-0-8218-4347-5.( kısıtlı çevrimiçi kopya , s. 50, Google Kitaplar'da )
• Heath, TL (1921). Yunan Matematiğinin Tarihi: Thales'ten Öklid'e . ben . Oxford. s. 131ff.

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Thales Teoremi" . Matematik Dünyası .
• Yazılı Açılarda Mıknatıs
• Thales'in teoremi , etkileşimli animasyonla açıklandı
• Thales teoreminin demoları, Michael Schreiber, Wolfram Gösteriler Projesi .