Sinyal yeniden yapılandırma - Signal reconstruction

Gelen sinyal işleme , yeniden genellikle eşit aralıklı örneklerin bir dizisi orijinal bir sürekli sinyalin belirlenmesi anlamına gelir.

Bu makale, sinyal örnekleme ve yeniden yapılandırma için genelleştirilmiş soyut bir matematiksel yaklaşım kullanır. Bant sınırlı sinyallere dayalı daha pratik bir yaklaşım için, Whittaker – Shannon enterpolasyon formülüne bakın .

Genel prensip

Let F herhangi bir örnekleme yöntemi, örneğin, bir doğrusal harita olarak Hilbert alanı kare integrallenebilen fonksiyonların için karmaşık alanı . ${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

Örneğimizde, örneklenen sinyalin vektör uzayı olup , n boyutlu karmaşık alanı. Herhangi bir önerilen ters R ve F ( yeniden formül lingo) eşlemek gerekir bazı alt kümesine . Bu alt kümeyi keyfi olarak seçebiliriz, ancak aynı zamanda doğrusal bir harita olan bir yeniden yapılandırma formülü R isteyeceksek , n boyutlu bir doğrusal alt uzay seçmeliyiz . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

Boyutların uyması gereken bu gerçek, Nyquist-Shannon örnekleme teoremi ile ilgilidir .

Temel doğrusal cebir yaklaşımı burada çalışır. Let (bütün girişleri hariç, sıfır k veya diğer bazı temel bir tane olan girişi inci,) . İçin bir ters tanımlamak için F , basitçe, her biri için seçim k , bir o kadar . Bu, F'nin (sözde) tersini benzersiz bir şekilde tanımlar . ${\ displaystyle d_ {k}: = (0, ..., 0,1,0, ..., 0)}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle e_ {k} \, L ^ {2}}$${\ displaystyle F (e_ {k}) = d_ {k}}$

Elbette, önce bazı yeniden yapılandırma formüllerini seçebilir, sonra yeniden yapılandırma formülünden bazı örnekleme algoritmalarını hesaplayabilir veya verilen formüle göre belirli bir örnekleme algoritmasının davranışını analiz edebilirsiniz.

İdeal olarak, yeniden yapılandırma formülü, beklenen hata varyansını en aza indirerek türetilir. Bu, sinyal istatistiklerinin bilinmesini veya sinyal için önceden bir olasılığın belirlenmesini gerektirir. Bilgi alanı teorisi , optimal bir yeniden yapılandırma formülünü türetmek için uygun bir matematiksel biçimciliktir.

Popüler rekonstrüksiyon formülleri

Belki de en yaygın kullanılan rekonstrüksiyon formülü aşağıdaki gibidir. Hilbert uzayı anlamında bir temel olalım ; örneğin, eikonal kullanılabilir ${\ displaystyle \ {e_ {k} \}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

${\ displaystyle e_ {k} (t): = e ^ {2 \ pi ikt} \,}$ ,

diğer seçenekler kesinlikle mümkün olsa da. Burada k endeksinin herhangi bir tam sayı, hatta negatif olabileceğine dikkat edin.

Daha sonra doğrusal bir harita R tanımlayabiliriz .

${\ displaystyle R (d_ {k}) = e_ {k} \,}$

her biri için , tarafından verilen temeli nerede ${\ displaystyle k = \ lfloor -n / 2 \ rfloor, ..., \ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor}$${\ displaystyle (d_ {k})}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

${\ displaystyle d_ {k} (j) = e ^ {2 \ pi ijk \ n'den fazla}}$

(Bu, olağan ayrık Fourier temelidir.)

Aralık seçimi , boyutsallık gereksinimini karşılamasına ve en önemli bilginin düşük frekanslarda içerildiği şeklindeki olağan görüşü yansıtmasına rağmen, biraz keyfidir. Bazı durumlarda bu yanlıştır, bu nedenle farklı bir yeniden yapılandırma formülünün seçilmesi gerekir. ${\ displaystyle k = \ lfloor -n / 2 \ rfloor, ..., \ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor}$

Hilbert tabanları yerine dalgacıklar kullanılarak benzer bir yaklaşım elde edilebilir . Birçok uygulama için en iyi yaklaşım bugün hala net değil.

Ayrıca bakınız

• Aliasing
• Nyquist-Shannon örnekleme teoremi
• Whittaker-Shannon enterpolasyon formülü

Referanslar