Çapraz çarpma - Cross-multiplication

Gelen matematik spesifik olarak, temel aritmetik ve temel cebir , ikisi arasında bir denklem verilen fraksiyonları veya rasyonel ifadeleri , bir olabilir çapraz çoklu Denklemi basitleştirmek veya bir değişken değerini belirlemek için.

Yöntem, bazen "kalbinizden çarpma" yöntemi olarak da bilinir, çünkü hangi şeylerin birlikte çoğaltılacağını hatırlamak için bir kalp taslağını andıran çizgiler çizilebilir.

Gibi bir denklem verildiğinde

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}},}$

b ve d' nin sıfır olmadığı durumlarda , çapraz çarpılarak elde edilebilir

${\ displaystyle reklam = bc \ quad {\ text {veya}} \ quad a = {\ frac {bc} {d}}.}$

Gelen Öklid geometri aynı hesaplama dikkate alınarak elde edilebilir oranları ait olanlar gibi benzer üçgenler .

Prosedür

Pratikte, çapraz çarpma yöntemi, her bir (veya bir) tarafın payını diğer tarafın paydasıyla çarparak, terimleri etkili bir şekilde geçerek:

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ nwarrow {\ frac {c} {d}}, \ quad {\ frac {a} {b}} \ nearrow {\ frac {c} {d}} .}$

Yöntemin matematiksel gerekçesi, aşağıdaki daha uzun matematiksel prosedürdendir. Temel denklemle başlarsak

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}},}$

Her iki taraftaki terimleri aynı sayıyla çarpabiliriz ve terimler eşit kalacaktır. Bu nedenle, biz de paydaları çarpımı tarafından her tarafta kısmını çarpın eğer sides- bd -we olsun

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ times bd = {\ frac {c} {d}} \ times bd.}$

Biz iki oluşumları işaret ederek düşük terimlere kesirler azaltabilir b olarak iki oluşumunu yapmak, sol taraftaki iptal d bırakarak sağ taraftaki

${\ displaystyle reklam = bc,}$

ve denklemin her iki tarafını da herhangi bir öğeye bölebiliriz - bu durumda d' yi kullanacağız -

${\ displaystyle a = {\ frac {bc} {d}}.}$

Çapraz çarpmanın bir başka gerekçesi aşağıdaki gibidir. Verilen denklemle başlayarak

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}},}$

ile çarpmak d / d = 1 solda ve yanında b / b = 1 sağda, alınıyor

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ times {\ frac {d} {d}} = {\ frac {c} {d}} \ times {\ frac {b} {b}},}$

ve bu yüzden

${\ displaystyle {\ frac {ad} {bd}} = {\ frac {cb} {db}}.}$

İptal ortak paydası bd = db , terk

${\ displaystyle reklam = cb.}$

Bu prosedürlerdeki her adım, denklemlerin tek bir temel özelliğine dayanır . Çapraz çarpma, öğrencilere öğretilebilecek kolay anlaşılır bir prosedür olan bir kısayoldur.

Kullanım

Bu, matematikte kesirleri azaltmak veya kesirdeki belirli bir değişken için bir değer hesaplamak için kullanılan yaygın bir prosedürdür. Bir denklemimiz varsa

${\ displaystyle {\ frac {x} {b}} = {\ frac {c} {d}},}$

Nerede x biz çözümünde ilgilendi değişken, bunu belirlemek için çapraz çarpma kullanabileceği başka

${\ displaystyle x = {\ frac {bc} {d}}.}$

Örneğin, hızının sabit olduğunu ve son 3 saatte 90 mil gittiğini biliyorsak, bir arabanın 7 saatte ne kadar yol alacağını bilmek istediğimizi varsayalım. Problem kelimesini oranlara çevirerek,

${\ displaystyle {\ frac {x} {7 \ {\ text {hours}}}} = {\ frac {90 \ {\ text {mil}}} {3 \ {\ text {saat}}}}.}$

Çapraz çarpan getiriler

${\ displaystyle x = {\ frac {7 \ {\ text {saat}} \ times 90 \ {\ text {mil}}} {3 \ {\ text {saat}}}},}$

ve bu yüzden

${\ displaystyle x = 210 \ {\ text {mil}}.}$

Gibi basit denklemlerin bile

${\ displaystyle a = {\ frac {x} {d}}}$

çapraz çarpma kullanılarak çözülür, çünkü eksik b terimi örtük olarak 1'e eşittir:

${\ displaystyle {\ frac {a} {1}} = {\ frac {x} {d}}.}$

Kesirler veya rasyonel ifadeler içeren herhangi bir denklem, her iki tarafı en az ortak payda ile çarparak basitleştirilebilir . Bu adım, kesirleri temizleme olarak adlandırılır .

Üçün kuralı

Üç kuralı, öğrencilere ezbere yoluyla öğretilebilecek belirli bir çapraz çarpma biçiminin tarihsel bir kısa versiyonuydu. Sömürge matematik eğitiminin yüksekliği olarak kabul edildi ve hala orta öğretim için Fransız ulusal müfredatında yer alıyordu.

Formun bir denklemi için

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {x}},}$

Değerlendirilecek değişkenin sağ taraftaki paydada olduğu durumda, üç kuralı şunu belirtir:

${\ displaystyle x = {\ frac {bc} {a}}.}$

Bu bağlamda, a , oranın uç noktası olarak adlandırılır ve b ve c , araçlar olarak adlandırılır .

Bu kural, MS 2. yüzyıldan önce Çinli matematikçiler tarafından zaten biliniyordu, ancak Avrupa'da çok sonrasına kadar kullanılmamıştı.

Üçün kuralı, özellikle açıklanması zor olduğu için ün kazandı. 17. yüzyılın en önemli ders kitabı olan Cocker's Arithmetick , "4 yarda kumaş 12 şiline mal olursa, bu oranda 6 yarda ne kadara mal olur?" Üç kuralı bu sorunun cevabını doğrudan verir; modern aritmetikte, bunu 6 yarda kumaşın maliyetine karşılık gelecek bir x değişkeni ekleyerek, denklemi yazarak çözecektik.

${\ displaystyle {\ frac {4 \ {\ text {yard}}} {12 \ {\ text {shillings}}}} = {\ frac {6 \ {\ text {yard}}} {x}}}$

ve sonra x'i hesaplamak için çapraz çarpma kullanarak :

${\ displaystyle x = {\ frac {12 \ {\ text {shillings}} \ times 6 \ {\ text {yard}}} {4 \ {\ text {yard}}}} = 18 \ {\ text {şilin }}.}$

1570 tarihli isimsiz bir el yazması şöyle diyordu: "Çarpma sinirlendirmedir, / Bölünme kötüdür; / Üçün kuralı beni şaşırtıyor, / Ve Uygulama beni deli ediyor."

Üçün ikili kuralı

Üç kuralının bir uzantısı, üçün iki katı kuralıydı ve üç yerine beş değerin bilindiği bilinmeyen bir değer bulmayı içeriyordu.

Böyle bir soruna örnek olarak şunlar verilebilir: 6 inşaatçı 100 günde 8 ev inşa edebiliyorsa, 10 inşaatçının aynı hızla 20 ev inşa etmesi kaç gün sürer? ve bu şu şekilde ayarlanabilir:

${\ displaystyle {\ frac {\ frac {8 \ {\ text {evler}}} {100 \ {\ text {günler}}}} {6 \ {\ text {oluşturucular}}}} = {\ frac {\ frac {20 \ {\ text {evler}}} {x}} {10 \ {\ text {oluşturucular}}}},}$

iki kez çapraz çarpma ile verir

${\ displaystyle x = {\ frac {20 \ {\ text {evler}} \ times 100 \ {\ text {gün}} \ times 6 \ {\ text {yapıcılar}}} {8 \ {\ text {evler} } \ times 10 \ {\ text {oluşturucular}}}} = 150 \ {\ text {gün}}.}$

Lewis Carroll'un " Çılgın Bahçıvanın Şarkısı ", "Bir Bahçe Kapısı gördüğünü sandı / Anahtarla açılan: / Tekrar baktı ve / Üçün İkili Kuralı" olduğunu buldu.

Ayrıca bakınız

• Çapraz oran
• Olasılık oranı

Referanslar

daha fazla okuma

• Brian Burell: Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference . Merriam-Webster, 1998, ISBN   9780877796213 , s. 85-101
• 'Dr Math', Üçün Kuralı
• 'Dr Math', Abraham Lincoln ve Üçün Kuralı
• Pike'ın aritmetik sistemi kısaltıldı: Sayılar biliminin incelenmesini kolaylaştırmak için tasarlandı, en açık ve doğru kuralları kavrayarak, faydalı örneklerle açıklandı: bunlara akademisyenlerin incelenmesi için uygun sorular ve kısa bir kitap sistemi eklendi. tutma. , 1827 - ilgili bölümün tıpkıbasımı
• On beşinci yüzyılda Rodoslu Mikail tarafından uygulandığı şekliyle Üçün Kuralı
• Anne Kaz'da Üçün Kuralı
• Rudyard Kipling: Bunu Kesirler veya basit Üç Kuralı ile çözebilirsiniz, Ama Tweedle-dum'un yolu Tweedle-dee'nin yolu değildir.

Dış bağlantılar

• İlgili Medya Çapraz çarpım Wikimedia Commons