Tekrarlama niceleme analizi - Recurrence quantification analysis

Tekrarlama niceleme analizi ( RQA ) dinamik sistemlerin araştırılması için bir doğrusal olmayan veri analizi yöntemidir (bkz. kaos teorisi ) . Faz uzayı yörüngesi tarafından sunulan dinamik bir sistemin tekrarlarının sayısını ve süresini ölçer.

Arka plan

Yineleme niceleme analizi (RQA), buradaki küçük ölçekli yapılara dayalı olarak farklı görünen yineleme grafiklerini (RP'ler) ölçmek için geliştirilmiştir . Tekrarlama araziler tekrarlanma davranışı görselleştirmek araçlardır faz uzayı yörüngesi içinde dinamik sistemlerin : ${\görüntüleme stili {\vec {x}}(i)}$

${\displaystyle \mathbf {R} (i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|)}$,

nerede ve önceden tanımlanmış bir mesafe. ${\displaystyle \Theta :\mathbb {R} \rightarrow (0,1)}$${\görüntüleme stili\varepsilon }$

Tekrarlama grafikleri çoğunlukla tek nokta ve ortalama köşegene paralel (özdeşlik çizgisi , LOI) veya dikey/yatay olan çizgiler içerir . LOI'ye paralel çizgiler diyagonal çizgiler ve dikey yapılar dikey çizgiler olarak adlandırılır . Bir RP genellikle simetrik olduğundan, yatay ve dikey çizgiler birbirine karşılık gelir ve bu nedenle sadece dikey çizgiler dikkate alınır. Çizgiler, faz uzayı yörüngesinin tipik bir davranışına tekabül eder: diyagonal çizgiler, faz uzayı yörüngesinin belirli bir süre paralel olarak ilerleyen bölümlerini temsil ederken, dikey çizgiler, bir süre için aynı faz uzayı bölgesinde kalan bölümleri temsil eder .

Yalnızca bir zaman serisi mevcutsa, faz uzayı bir zaman gecikmesi gömmesi kullanılarak yeniden oluşturulabilir (bkz. Takens' teoremi ):

${\displaystyle {\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),}$

zaman serisi, gömme boyutu ve zaman gecikmesi nerede . ${\görüntüleme stili u(i)}$${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili\tau }$

RQA, dinamik bir sistemin tekrarlarının sayısını ve süresini sunan tekrarlama grafiklerinin küçük ölçekli yapılarını nicelleştirir. RQA için tanıtılan önlemler, 1992 ve 2002 yılları arasında buluşsal olarak geliştirildi (Zbilut ve Webber 1992; Webber ve Zbilut 1994; Marwan ve diğerleri 2002). Bunlar aslında karmaşıklığın ölçüleridir . Yineleme niceleme analizinin ana avantajı, diğer yöntemlerin başarısız olduğu kısa ve durağan olmayan veriler için bile yararlı bilgiler sağlayabilmesidir.

RQA hemen hemen her tür veriye uygulanabilir. Fizyolojide yaygın olarak kullanılmaktadır , ancak mühendislik , kimya , yer bilimleri vb.

RQA önlemleri

En basit ölçü, bir yineleme grafiğindeki yinelenme noktalarının yoğunluğu olan yinelenme oranıdır :

${\displaystyle {\text{RR}}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\mathbf {R} (i,j). }$

Tekrarlama oranı, belirli bir durumun tekrarlanma olasılığına karşılık gelir. LOI'nin hesaplamadan hariç tutulduğu korelasyon toplamı tanımıyla neredeyse eşittir .

Sonraki ölçü, minimum uzunluktaki yineleme grafiğinde çapraz çizgiler oluşturan yinelenme noktalarının yüzdesidir : ${\displaystyle \el _{\min }}$

${\displaystyle {\text{DET}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ ell =1}^{N}\ell P(\ell )}},}$

burada bir frekans dağılımı uzunluklarının (yani, uzunluğu kaç örneği sayar çapraz çizgiler ). Bu tedbir denir determinizm ile ilgilidir öngörülebilirliği arasında dinamik sistem , çünkü beyaz gürültü neredeyse sadece tek nokta ve çok az diyagonal çizgiler ile bir nüks konusu var bir halbuki, deterministik süreç çok az tek nokta ama çok uzun bir nüks konusu var çapraz çizgiler. ${\görüntüleme stili P(\el )}$${\görüntüleme stili\el }$${\görüntüleme stili\el }$

Dikey çizgiler oluşturan yinelenme noktalarının miktarı aynı şekilde ölçülebilir:

${\displaystyle {\text{LAM}}={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=1}^{N}vP (v)}},}$

burada uzunluklarına frekans dağılımı en az bir uzunluğa sahip dikey çizgiler, . Bu ölçüye laminerlik denir ve sistemdeki laminer fazların miktarı ( aralık ) ile ilgilidir. ${\görüntüleme stili P(v)}$${\görüntüleme stili v}$${\displaystyle v_{\dk }}$

Çapraz ve dikey çizgilerin uzunlukları da ölçülebilir. Ortalama diyagonal hat uzunluğu

${\displaystyle {\text{L}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ ell =\ell _{\min }}^{N}P(\ell )}}}$

ile ilgilidir öngörülebilirlik zaman dinamik sistem ve bindirme zaman dikey çizgiler ortalama uzunluğu, ölçüm,

${\displaystyle TT={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=v_{\min }}^{N}P(v )}}}$

ile ilgilidir laminarite zaman dinamik sistemin, yani ne kadar sistem kalıntıları belirli bir durumdaki.

Çapraz çizgiler uzunluğu, uzun bölümleri nasıl zamanında ilişkili olması nedeniyle, faz alanı üzerine örneğin, yörünge paralel olarak uzandığı, ıraksama yörüngelerinin davranışı, o zaman ifade edildi karşılıklı LOI olmadan çapraz çizgiler maksimum uzunluğu ( ) dinamik sistemin pozitif maksimal Lyapunov üssü için bir tahmin edici olacaktır . Bu nedenle, maksimum diyagonal çizgi uzunluğu veya sapma${\displaystyle L_{\max }}$

${\displaystyle DIV={\frac {1}{L_{\max }}}}$

ayrıca RQA'nın önlemleridir. Bununla birlikte, pozitif maksimal Lyapunov üssü ile bu ölçümler arasındaki ilişki belirtildiği kadar kolay değil, daha da karmaşıktır (bir RP'den Lyapunov üssünü hesaplamak için, diyagonal çizgilerin tüm frekans dağılımı dikkate alınmalıdır). Sapma, pozitif maksimal Lyapunov üssünün eğilimine sahip olabilir, ancak daha fazla değil. Ayrıca, beyaz gürültü süreçlerinin RP'leri, çok nadiren de olsa, sadece sonlu bir olasılıkla gerçekten uzun bir diyagonal çizgiye sahip olabilir. Bu nedenle sapma, maksimum Lyapunov üssünü yansıtamaz.

Olasılık diyagonal çizgi tam uzunluğa sahip frekans dağılımı tahmin edilebilir olan . Shannon entropi , bu olasılık ${\görüntüleme stili p(\el )}$${\görüntüleme stili\el }$${\görüntüleme stili P(\el )}$${\displaystyle p(\ell )={\frac {P(\ell )}{\sum _{\ell =l_{\min }}^{N}P(\ell )}}}$

${\displaystyle {\text{ENTR}}=-\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}p(\ell )\ln p(\ell ),}$

sistemdeki deterministik yapının karmaşıklığını yansıtır. Bununla birlikte, bu entropi, bin numarasına hassas bir şekilde bağlıdır ve bu nedenle, farklı veri hazırlıklarının yanı sıra aynı işlemin farklı gerçekleştirmeleri için farklılık gösterebilir.

RQA'nın son ölçüsü, yineleme grafiğinin incelmesinin miktarını belirler. Eğilim LOI paralel bir hat içinde tekrar noktalarının dağılımı ve LOI olan mesafe arasındaki doğrusal ilişkinin regresyon katsayısıdır. Daha doğrusu, k mesafesinin LOI'sine paralel bir diyagonal çizgide tekrarlama oranını düşünün ( köşegen olarak tekrarlama oranı ):

${\displaystyle {\text{RR}}_{k}={\frac {1}{Nk}}\sum _{ji=k}^{Nk}\mathbf {R} (i,j),}$

daha sonra eğilim tarafından tanımlanır

${\displaystyle {\text{TREND}}={\frac {\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}}/2)(RR_{i}- \langle RR_{i}\rangle )}{\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)^{2}}},}$

ile ortalama değer olarak ve . Bu ikinci ilişki, yineleme grafiğinin kenarlarında çok düşük yineleme noktası yoğunluklarının kenar etkilerinden kaçınmayı sağlamalıdır. Ölçü trendi , sistemin durağanlığı hakkında bilgi sağlar. ${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ rangle }$${\displaystyle {\tilde {N}}<N}$

Çapraz olarak tanımlanan tekrarlama oranına benzer şekilde, diyagonal çizgilere (DET, L, ENTR) dayalı diğer ölçüler de diyagonal olarak tanımlanabilir. Bu tanımlar, farklı sistemler arasındaki karşılıklı ilişkileri veya senkronizasyonu incelemek için faydalıdır ( yineleme grafikleri veya çapraz yineleme grafikleri kullanarak ).

Zamana bağlı RQA

Tüm yineleme grafiğinin RQA ölçümlerini hesaplamak yerine, LOI boyunca yineleme grafiği üzerinde hareket eden küçük pencerelerde hesaplanabilirler. Bu, örneğin kaos-kaos geçişlerini tespit etmeye izin veren zamana bağlı RQA önlemleri sağlar (Marwan ve diğerleri, 2002). Not: Pencere boyutunun seçimi, ölçüm eğilimini güçlü bir şekilde etkileyebilir .

Örnek

Lojistik haritası için çatallanma diyagramı.

Kontrol parametresinin çeşitli ayarları için lojistik haritanın RQA ölçümleri a. RR ve DET ölçüleri, kaos-düzen/düzen-kaos geçişlerinde maksimum sergiler. DIV ölçüsü, maksimal Lyapunov üssü ile benzer bir eğilime sahiptir (ancak aynı değildir!). LAM ölçüsü, kaos-kaos geçişlerinde ( laminer fazlar , aralıklılık ) maksimuma sahiptir .

Uygulamalar

İş çevrimlerinin ve ekonomik kalkınmanın özelliklerini tespit etmek için tekrarlama niceleme analizi kullanılmıştır . Bu amaçla Orlando ve ark. RQA'nın korelasyonlarını bir örnek sinyal üzerinde test etmek için sözde yineleme niceleme korelasyon indeksini geliştirdi ve ardından iş zaman serilerine uygulamayı araştırdı. Söz konusu endeksin zaman serilerindeki gizli değişiklikleri tespit ettiği kanıtlanmıştır. Ayrıca, Orlando ve diğerleri, kapsamlı bir veri seti üzerinde, tekrarlama niceleme analizinin, 1949, 1953 vb. ABD GSYİH'sı gibi laminer (yani düzenli) türbülanslı (yani kaotik) aşamalara geçişleri tahmin etmede yardımcı olabileceğini göstermiştir. , yineleme niceleme analizinin makroekonomik değişkenler arasındaki farklılıkları tespit edebildiği ve ekonomik dinamiklerin gizli özelliklerini vurgulayabildiği gösterilmiştir.

Ayrıca bakınız

• Yineleme grafiği , dinamik (ve diğer) sistemlerde yinelemelerin güçlü bir görselleştirme aracı.
• Tekrarlama periyodu yoğunluk entropisi , hem deterministik hem de stokastik dinamik sistemlerin tekrarlama özelliklerini özetlemek için bir bilgi-teorik yöntem.
• yaklaşık entropi

Referanslar

daha fazla okuma

• Marwan, N. (2008). "Yinelenme Grafiklerinin Tarihsel Bir İncelemesi" . Avrupa Fizik Dergisi ST . 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971 . Bibcode : 2008EPJST.164....3M . doi : 10.1140/epjst/e2008-00829-1 .
• Marwan, N., Romano, MC ,Thiel, M. ,Kurths, J. (2007). "Karmaşık Sistemlerin Analizi için Tekrarlama Grafikleri". Fizik Raporları . 438 (5–6): 237–329. Bibcode : 2007PhR...438..237M . doi : 10.1016/j.physrep.2006.11.001 .CS1 bakımı: birden çok ad: yazar listesi ( bağlantı )
• Marwan, N., Wessel, N., Meyerfeldt, U., Schirdewan, A., Kurths, J. (2002). "Karmaşıklığın Tekrarlama Grafiğine Dayalı Ölçüleri ve Kalp Atış Hızı Değişkenliği Verilerine Uygulanması". Fiziksel İnceleme E . 66 (2): 026702. arXiv : fizik/0201064 . Bibcode : 2002PhRvE..66b6702M . doi : 10.1103/PhysRevE.66.026702 . PMID  12241313 .CS1 bakımı: birden çok ad: yazar listesi ( bağlantı )
• Marwan, N., Kurths, J. (2002). "Çapraz tekrarlama grafikleri ile iki değişkenli verilerin doğrusal olmayan analizi". Fizik Harfleri A . 302 (5–6): 299–307. arXiv : fizik/0201061 . Bibcode : 2002PhLA..302..299M . doi : 10.1016/S0375-9601(02)01170-2 .CS1 bakımı: birden çok ad: yazar listesi ( bağlantı )
• Webber Jr., CL, Zbilut, JP (1994). "Fizyolojik sistemlerin ve durumların tekrarlama grafiği stratejilerini kullanarak dinamik olarak değerlendirilmesi". Uygulamalı Fizyoloji Dergisi . 76 (2): 965-973. doi : 10.1152/jappl.1994.76.2.965 . PMID  8175612 .CS1 bakımı: birden çok ad: yazar listesi ( bağlantı )
• Zbilut, JP, Webber Jr., CL (1992). "Yinelenme grafiklerinin nicelleştirilmesinden elde edilen gömmeler ve gecikmeler". Fizik Harfleri A . 171 (3–4): 199–203. Bibcode : 1992PhLA..171..199Z . doi : 10.1016/0375-9601(92)90426-M .CS1 bakımı: birden çok ad: yazar listesi ( bağlantı )
• Pratyasa Bhui; Nilanjan Senroy (2016). "Güç Sistemi Dinamik Çalışmalarına Tekrarlama Niceleme Analizinin Uygulanması". Güç Sistemlerinde IEEE İşlemleri . 31 (1): 581–591. Bibcode : 2016ITPSy..31..581B . doi : 10.1109/TPWRS.2015.2407894 .Kağıt numarası TPWRS-01211-2014
• Girault, J.-M. (2015). "Zaman serilerinin yinelenmesi ve simetrisi: geçiş algılamaya uygulama" (PDF) . Kaos, Solitonlar ve Fraktallar . 77 : 11–28. Bibcode : 2015CSF....77...11G . doi : 10.1016/j.chaos.2015.04.010 .

Dış bağlantılar

• http://www.recurrence-plot.tk/
• http://www.scitopics.com/Recurrence_Quantification_Analysis.html