sözde grup - Pseudogroup

In matematik , bir pseudogroup grubu benzeri ve demeti benzeri özelliklere haiz bir mekanın açık kümeler arasındaki diffeomorphisms kümesidir. Sophus Lie'nin soyut cebirden (örneğin quasigroup gibi) ziyade diferansiyel denklemlerin simetrilerini araştırmak için geometrik yaklaşımından kaynaklanan bir grup kavramının genelleştirilmesidir . Modern sahte gruplar teorisi, 1900'lerin başında Élie Cartan tarafından geliştirildi .

Tanım

Bir psödogrup , belirli bir Öklid uzayının veya daha genel olarak sabit bir topolojik uzayın (sırasıyla, düz manifold ) açık kümeleri U üzerinde tanımlanan bir homeomorfizm kümesine (sırasıyla, difeomorfizmler ) çeşitli koşullar empoze eder . İki homeomorfizmler yana h  : U → V ve g  : V → W bir homeomorfizma için oluşturma U için W , bir pseudogroup bileşimi ve ters çevirme altında kapalı ister. Ancak, bir grup için olanlardan farklı olarak, bir sözdegrup tanımlayan aksiyomlar tamamen cebirsel değildir; diğer gereklilikler, homeomorfizmaların sınırlandırılması ve yapıştırılması olasılığı ile ilgilidir (bir demetin bölümleri için yapıştırma aksiyomuna benzer ).


Daha kesin olarak, bir topolojik uzay S üzerindeki bir psödogrup , aşağıdaki özellikleri sağlayan S'nin açık alt kümeleri arasındaki bir Γ homeomorfizmalar topluluğudur .

  • Her açık kümesi için U içinde S , kimlik haritası üzerinde U y içindedir.
  • Eğer f y olan, o zaman bir ön -1 .
  • Eğer f y de, daha sonra sınırlandırma bölgesinin f onun bir rasgele, açık alt kümesine etki y bulunmaktadır.
  • Eğer U açık olan S , U bir birlik açık kümeler {arasında u ı }, f bir homeomorfizma olan U açık alt kümesine S ve kısıtlama f için U ı tüm y olan i sonra, f Γ içindedir.
  • Eğer f  : U → V ve f '  : u ' → V ' y olan ve kesişme V ∩ U ' olan boş olmayan , aşağıdaki sınırlı bileşim y şöyledir:

Benzer şekilde, düz bir X manifoldu üzerindeki bir psödogrup, benzer özellikleri karşılayan X'in açık alt kümeleri arasındaki bir difeomorfizmler topluluğu olarak tanımlanır (burada homeomorfizmleri difeomorfizmlerle değiştiririz).


Bir Γ elemanı birini diğerine gönderirse , X'teki iki noktanın aynı yörüngede olduğu söylenir . Bir sözde grubun yörüngeleri açıkça X'in bir bölümünü oluşturur ; sadece bir yörüngeye sahipse , sözde grup geçişli olarak adlandırılır .

Örnekler

Yaygın bir örnek sınıfı, belirli bir geometrik yapıyı koruyan sözde gruplar tarafından verilir. Örneğin, eğer ( X , g ) bir Riemann manifoldu ise , onun yerel izometrilerinin psödogrubu vardır ; ( X , ω ) bir simplektik manifold ise , onun yerel symlectomorfizmalarının psödogrubuna sahip olunur ; vb. Bu sözde gruplar , bu yapıların yerel simetrilerinin kümesi olarak düşünülmelidir .

Sözde simetri grupları ve geometrik yapılar

Ek yapılara sahip manifoldlar, genellikle sabit bir yerel modelin simetrilerinin sahte grupları kullanılarak tanımlanabilir. Daha açık olarak, verilen bir pseudogroup Γ bir Γ-atlas bir topolojik alanı M standart bir Atlas oluşur M öyle ki y aittir koordinat değişiklikleri (örneğin, bir geçiş kartları). Eşdeğer bir Γ-atlas sınıfı , M üzerinde bir Γ-yapısı olarak da adlandırılır .

Özellikle, Γ, R n'nin tüm yerel olarak tanımlanmış difeomorfizmlerinin sözde grubu olduğunda , düzgün bir atlas ve düzgün bir yapı standart kavramını kurtarır . Daha genel olarak, aşağıdaki nesneler bir M topolojik uzayında Γ-yapıları olarak tanımlanabilir :

Daha genel olarak, herhangi bir integrallenebilir G- yapısı ve herhangi bir ( G , X )-manifoldu , uygun sözde gruplar Γ için Γ-yapılarının özel durumlarıdır.

Pseudogroups ve Lie teorisi

Genel olarak, sözde gruplar , sonsuz boyutlu Lie gruplarının olası bir teorisi olarak incelenmiştir . Yerel bir Lie grubu kavramı , yani bir Öklid uzayının E orijinin komşuluklarında tanımlanan fonksiyonların sözde grubu kavramı, ilgili dönüşümlerin sonlu sayıda parametreye bağlı olduğu durumda, aslında Lie'nin orijinal Lie grubu kavramına daha yakındır. , manifoldlar aracılığıyla çağdaş tanımdan daha fazla . Cartan'ın başarılarından biri , mevcut anlamda yerel bir Lie grubunun her zaman küresel bir gruba yol açtığı noktası da dahil olmak üzere ilgili noktaları netleştirmekti ( Lie'nin üçüncü teoreminin bir analogu, bir grubu belirleyen Lie cebirleri üzerine ). Biçimsel grup infinitesimally, henüz Lie gruplarının şartnamesine başka bir yaklaşımdır. Bununla birlikte, yerel topolojik grupların mutlaka küresel karşılıklarına sahip olmadığı bilinmektedir .

Sonsuz boyutlu pseudogroups örnekleri tüm pseudogroup başlayarak bol diffeomorphisms arasında E . İlgi esas olarak difeomorfizmlerin alt-sözde gruplarında ve dolayısıyla vektör alanlarının bir Lie cebir analoğuna sahip nesnelerdedir . Bu nesneleri incelemek için Lie ve Cartan tarafından önerilen yöntemler, bilgisayar cebirinin ilerlemesi göz önüne alındığında daha pratik hale geldi .

1950'lerde Cartan'ın teorisi Shiing-Shen Chern tarafından yeniden formüle edildi ve sahte gruplar için genel bir deformasyon teorisi Kunihiko Kodaira ve DC Spencer tarafından geliştirildi . 1960'larda homolojik cebir , aşırı belirlemeyle ilgili temel PDE sorularına uygulandı ; bu, teorinin cebirinin potansiyel olarak çok ağır olduğunu ortaya çıkardı. Aynı on yılda, sonsuz boyutlu Lie teorisinin teorik fiziğine olan ilgi , ilk kez mevcut cebir şeklinde ortaya çıktı .

Sezgisel olarak, bir Lie sözde grubu , bir PDE sisteminden "kaynaklanan" bir sözde grup olmalıdır. Literatürde birbirine benzer ancak eşdeğer olmayan pek çok kavram vardır; "doğru" olan, kişinin hangi uygulamayı düşündüğüne bağlıdır. Bununla birlikte, tüm bu çeşitli yaklaşımlar, bir Lie grupoidi olması istenen (sonlu veya sonsuz boyutlu) Γ jet demetlerini içerir . Özellikle, k - jetlerinin uzayından "yeniden yapılandırılabiliyorsa" , sonlu k dereceli bir Lie sözde grubu olarak adlandırılır .

Referanslar

  1. ^ Sophus, Yalan (1888–93). Theorie der Transformationsgruppen . BG Teubner. OCLC  6056947 .CS1 bakımı: tarih formatı ( bağlantı )
  2. ^ Cartan, Elie (1904). "Sur la Structure des groupes sonsuz dönüşümler" (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 21 : 153-206. doi : 10.24033/asens.538 .
  3. ^ Cartan, Elie (1909). "Les groupes de dönüşümler sürekli, sonsuz, basitler" (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 26 : 93-161. doi : 10.24033/asens.603 .
  4. ^ Kobayashi, Shoshichi & Nomizu, Katsumi. Diferansiyel Geometri, Cilt I Temelleri . Wiley Classics Kitaplığı. John Wiley & Sons Inc., New York, 1996. 1969 tarihli orijinal A Wiley-Interscience Publication'ın yeniden basımı. ISBN  0-471-15733-3 .
  5. ^ Kodaira, K. (1960). "Bazı Karmaşık Sözde Grup Yapılarının Deformasyonları Üzerine" . Matematik Annals . 71 (2): 224–302. doi : 10.2307/1970083 . ISSN  0003-486X . JSTOR  1970083 .
  6. ^ Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1966). "Psödogrup yapılarının deformasyon teorisi" . Amerikan Matematik Derneği Anıları (64): 0. doi : 10.1090/memo/0064 . ISSN  0065-9266 .
  7. ^ Kumpera, Antonio; Spencer, Donald Clayton (1973-01-01). Yalan Denklemleri, Cilt. ben . Princeton Üniversitesi Yayınları. doi : 10.1515/9781400881734 . ISBN'si 978-1-4008-8173-4.
  8. ^ Şarkıcı, IM; Sternberg, Shlomo (1965). "Lie ve Cartan Kısım I'in sonsuz grupları, (geçişli gruplar)" . Journal d'Analiz Mathématique . 15 (1): 1–114. doi : 10.1007/bf02787690 . ISSN  0021-7670 . S2CID  123124081 .
  9. ^ Claude., Albert (1984–1987). Pseudogroupes de Lie geçişleri . Hermann. OCLC  715985799 .
  10. ^ Kuranishi, Masatake (1959). "Sürekli Sonsuz Sözde Grupların Yerel Teorisi Üzerine I" . Nagoya Matematik Dergisi . 15 : 225–260. doi : 10.1017/s0027763000006747 . ISSN  0027-7630 .
  11. ^ Olver, Peter J.; Pohjanpelto, Juha (2005). "Maurer-Cartan formları ve Lie sözde gruplarının yapısı" . Selecta Mathematica . 11 (1): 99–126. doi : 10.1007/s00029-005-0008-7 . ISSN  1022-1824 . S2CID  14712181 .

Dış bağlantılar