Poloidal-toroidal ayrışma - Poloidal–toroidal decomposition

Olarak vektör hesabı , saf ve uygulanan bir konu matematik bir poloidal-toroidal ayrışma sınırlandırılmış bir şeklidir Helmholtz ayrışma . Genellikle manyetik alanlar ve sıkıştırılamaz sıvılar gibi solenoid vektör alanlarının küresel koordinat analizinde kullanılır .

Tanım

Sıfır diverjanslı üç boyutlu F vektör alanı için

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = 0,}$

bu F , bir toroidal alan T ve poloidal vektör alanı P'nin toplamı olarak ifade edilebilir

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {T} + \ mathbf {P}}$

burada r , küresel koordinatlarda ( r , θ , φ ) bir radyal vektördür . Toroidal alanı elde edilir skaler alan , Ψ ( r , θ , φ ), şu şekilde kıvrılma ,

${\ displaystyle \ mathbf {T} = \ nabla \ times (\ mathbf {r} \ Psi (\ mathbf {r}))}$

ve poloidal alan, iki kez yinelemeli bir rotasyonel olarak başka bir skaler alandan i ( r , θ , φ ) türetilir ,

${\ displaystyle \ mathbf {P} = \ nabla \ times (\ nabla \ times (\ mathbf {r} \ Phi (\ mathbf {r}))) \ ,.}$

Bu ayrışma simetriktir, çünkü toroidal bir alanın rotasyoneli poloidaldir ve poloidal bir alanın rotasyoneli, Chandrasekhar-Kendall fonksiyonu olarak bilinen toroidaldir .

Geometri

Bir toroidal vektör alanı, orijinin etrafındaki kürelere teğettir,

${\ displaystyle \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {T} = 0}$

poloidal bir alanın rotasyoneli bu kürelere teğet iken

${\ displaystyle \ mathbf {r} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {P}) = 0.}$

Poloidal-toroidal ayrışma, Ψ ve Φ skaler alanlarının ortalamasının r yarıçaplı her kürede kaybolması gerekiyorsa benzersizdir .

Kartezyen ayrıştırma

Kartezyen koordinatlarda bir poloidal-toroidal ayrışma da mevcuttur , ancak bu durumda bir ortalama alan akışı dahil edilmelidir. Örneğin, her solenoid vektör alanı şu şekilde yazılabilir:

${\ displaystyle \ mathbf {F} (x, y, z) = \ nabla \ times g (x, y, z) {\ hat {\ mathbf {z}}} + \ nabla \ times (\ nabla \ times h (x, y, z) {\ hat {\ mathbf {z}}}) + b_ {x} (z) {\ hat {\ mathbf {x}}} + b_ {y} (z) {\ hat { \ mathbf {y}}},}$

burada koordinat yönde birim vektörleri belirtmektedir. ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}, {\ hat {\ mathbf {y}}}, {\ hat {\ mathbf {z}}}}$

Ayrıca bakınız

• Toroidal ve poloidal
• Chandrasekhar – Kendall işlevi

Notlar

Referanslar

• Hidrodinamik ve hidromanyetik kararlılık , Chandrasekhar, Subrahmanyan; International Series of Monographs on Physics, Oxford: Clarendon, 1961, s. 622.
• Solenoidal alanların poloidal alanlara, toroidal alanlara ve ortalama akışa ayrışması. Boussinesq-denklemlerine uygulamalar , Schmitt, BJ ve von Wahl, W; içinde Navier Stokes denklemleri II - Teori ve Sayısal Yöntemler , s 291-305.; Matematik Ders Notları, Springer Berlin / Heidelberg, Cilt. 1530/1992.
• Güneş ve Yıldız Konveksiyon Bölgelerinin Modellenmesi için Anelastik Manyetohidrodinamik Denklemler , Lantz, SR ve Fan, Y .; Astrophysical Journal Supplement Series, Cilt 121, Sayı 1, Mart 1999, s. 247–264.
• İkili periyodik vektör alanlarının düzlemsel poloidal-toroidal ayrışımı: Bölüm 1. Diverjanslı alanlar ve Bölüm 2. Stokes denklemleri . GD McBain. ANZIAM J.47 (2005)
• Backus, George (1986), "Jeomanyetik alan modellemesinde poloidal ve toroidal alanlar", Reviews of Geophysics , 24 : 75–109, Bibcode : 1986RvGeo..24 ... 75B , doi : 10.1029 / RG024i001p00075 .
• Backus, George; Parker, Robert; Constable, Catherine (1996), Geomagnetism Temelleri , Cambridge University Press, ISBN   0-521-41006-1 .
• Jones, Chris, Dynamo Teorisi (PDF) .