Noktasal ürün - Pointwise product

Gelen matematik , noktasal ürün iki fonksiyonları çarpılmasıyla elde edilen başka bir fonksiyonu olan görüntü her değer iki fonksiyonların etki . Eğer f ve g hem fonksiyonları alan X ve değer kümesi , Y ve unsurları Y çarpılabilir (örneğin, Y, bazı olabilir grubu , daha sonra noktasal ürün numaraları) f ve g başka bir fonksiyonudur X için Y olan harita X içinde X için f ( x ) g ( x olarak) Y .

Resmi tanımlama

X ve Y , Y'nin çarpma kavramına sahip olacağı şekilde kümeler olsun - yani, bir ikili işlem vardır

${\ displaystyle \ cdot: Y \ times Y \ longrightarrow Y}$ veren ${\ displaystyle y \ cdot z = yz.}$

Daha sonra f , g : X → Y olmak üzere iki fonksiyon verildiğinde , noktasal çarpım ( f ⋅  g ): X → Y ile tanımlanır

${\ displaystyle (f \ cdot g) (x) = f (x) \ cdot g (x)}$

Herkes için x in X . İkili işlem ⋅ sembolünü sık sık atladığımız gibi (yani , y ⋅ z yerine yz yazıyoruz ), f ⋅  g için sık sık fg yazıyoruz .

Örnekler

İki fonksiyonun noktasal çarpımının en yaygın durumu, ortak alanın çarpmanın iyi tanımlandığı bir halka (veya alan ) olmasıdır.

Noktasal ürünlerin cebirsel uygulaması

Let X, bir dizi olabilir ve izin R, bir olmak halkası . Yana eklenmesi ve çarpma tanımlanan R , biz olarak bilinen bir cebirsel yapısı gerçekleştirebilmesi cebir fonksiyonların bir takım X için R tamam noktasal olarak tanımlayan ek, çarpma ve işlevleri skalar çoğalması ile.

Eğer R, ^X, işlevlerin dizi gösterir , X için R , o zaman, eğer söylemek f , g öğeleridir R ^X , daha sonra f + g , fg ve rf - olan son tanımlanır 

${\ displaystyle (rf) (x) = rf (x) \,}$

tüm r olarak R - tüm elementlerdir R ^X . 

Genelleme

Eğer her iki ön ve g kendi alan olarak ayrı değişken bir dizi olası tüm atamalar, daha sonra noktasal ürünün, alan tüm olası atamaları tarafından oluşturulan bir fonksiyonudur birlik iki setleri. Her bir atamanın değeri, her birine kendi alanındaki atamanın alt kümesine verilen her iki işlevin değerlerinin çarpımı olarak hesaplanır.

Örneğin, işlevi verilmektedir f ₁ Boolean değişkenleri () p ve q , ve f ₂ () Boolean değişkenleri q ve r ile, her iki aralık içinde R , bir noktasal ürünü f ₁ () ve f ₂ ( ) aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

p	q	r	${\ displaystyle f_ {1} (p, q)}$	${\ displaystyle f_ {2} (q, r)}$	Noktasal ürün
T	T	T	0.1	0.2	0.1 × 0.2
T	T	F	0.1	0.4	0.1 × 0.4
T	F	T	0.3	0.6	0.3 × 0.6
T	F	F	0.3	0.8	0,3 × 0,8
F	T	T	0.5	0.2	0,5 × 0,2
F	T	F	0.5	0.4	0,5 × 0,4
F	F	T	0.7	0.6	0.7 × 0.6
F	F	F	0.7	0.8	0.7 × 0.8

Ayrıca bakınız

• Noktasal