Operatör teorisi - Operator theory

Gelen matematik , operatör teorisi çalışmadır doğrusal operatörler ile fonksiyonu boşluk ile başlayan, diferansiyel operatörler ve tamamlayıcı operatörler . Operatörler, sınırlı doğrusal operatörler veya kapalı operatörler gibi özelliklerine göre soyut olarak sunulabilir ve doğrusal olmayan operatörler dikkate alınabilir . Ağırlıklı olarak fonksiyon uzaylarının topolojisine dayanan çalışma, fonksiyonel analizin bir dalıdır .

Operatörler topluluğu bir alan üzerinde bir cebir oluşturuyorsa , bu bir operatör cebiridir . Operatör cebirlerinin tanımı, operatör teorisinin bir parçasıdır.

Tek operatör teorisi

Tek operatör teorisi, her seferinde bir tane olarak kabul edilen operatörlerin özellikleri ve sınıflandırılması ile ilgilenir. Örneğin, sınıflandırılması , normal operatörlerin kendi açısından spektrumlar bu kategoriye girmektedir.

operatörlerin spektrumu

Spektral teoremi ilgili sonuçların herhangi bir sayıda olan doğrusal operatörler ya da yaklaşık matrisler . Geniş anlamda, spektral teorem , bir operatörün veya bir matrisin köşegenleştirilebileceği (yani, bazı temelde bir köşegen matris olarak temsil edildiği ) koşulları sağlar. Bu köşegenleştirme kavramı, sonlu boyutlu uzaylardaki operatörler için nispeten basittir, ancak sonsuz boyutlu uzaylardaki operatörler için bazı modifikasyonlar gerektirir. Genel olarak, spektral teorem , bulmayı umabileceği kadar basit olan çarpma operatörleri tarafından modellenebilen bir doğrusal operatör sınıfını tanımlar . Daha soyut bir dilde, spektral teoremi değişmeli C*-cebirleri hakkında bir ifadedir . Tarihsel bir perspektif için spektral teoriye de bakınız .

Spektral teoremi uygulandığı operatörler için örnekler arasında olan kendi kendine eşlenik operatörler ya da daha genel normal operatörler ile Hilbert boşluklar .

Spektral teoremi da içerir kanonik adı ayrışma, spektral ayrışma , özdeğer ayrışma veya eigendecomposition operatör üzerinde etkili olduğu altta yatan vektör alanı.

Normal operatörler

Bir normal operatör kompleks ile Hilbert uzayı H a, sürekli bir doğrusal operatör , N  : H → H olduğu yolculukları onun ile hermisyen eşlenik N * olduğu,: NN * = N * N .

Normal operatörler önemlidir çünkü spektral teorem onlar için geçerlidir. Bugün, normal operatörlerin sınıfı iyi anlaşılmıştır. Normal operatörlere örnekler:

• üniter operatörler : N* = N ^-1
• Hermitian operatörler (yani, selfadjoint operatörler): N* = N ; (ayrıca, anti-selfadjoint operatörleri: N* = − N )
• pozitif operatörler : N = MM*
• Normal matrisler biri olduğu Hilbert yer kaplar durumunda normal operatör olarak görülebilir Cı ⁿ .

Spektral teorem, daha genel bir matris sınıfına kadar uzanır. A , sonlu boyutlu bir iç çarpım uzayında bir operatör olsun . A ^* A = AA ^* ise A'nın normal olduğu söylenir . Bir o gösterilebilir bir normal olup olmadığını ve birimsel olarak diyagonal yalnızca: tarafından Schur ayrışma , elimizdeki A = UTU ^* , burada U , birimsel ve bir T üst üçgen. Bu yana bir normal, TT ^* = T ^* T . Bu nedenle, normal üst üçgen matrisler köşegen olduğundan T köşegen olmalıdır. Tersi bariz.

Başka bir deyişle, A normaldir, ancak ve ancak, öyle bir birimsel U matrisi varsa ,

${\displaystyle A=UDU^{*}\;}$

burada D bir köşegen matristir . Sonra, Diagonal'in girişleri D olan özdeğerler ait A . U'nun sütun vektörleri, A'nın özvektörleridir ve bunlar ortonormaldir. Hermitian örneğinden farklı olarak, D' nin girdilerinin gerçek olması gerekmez.

kutupsal ayrışma

Polar ayrışma herhangi bir sınırlı lineer operatör A kompleksi arasında Hilbert boşluklar bir ürünü olarak, bir kanonik çarpanlara olan kısmi izometrinin ve negatif olmayan bir operatör.

Aşağıdaki gibi matrisler genelleştirilmiş polar ayrışma: eğer bir bir sınırlı lineer operatörü daha sonra özel bir çarpanlara vardır , A , bir ürün olarak bir = YUKARI U kısmi izometridir, P , negatif olmayan bir özeslenik'tir ve başlangıçta U uzayı, P aralığının kapanışıdır .

U operatörü , aşağıdaki sorunlardan dolayı üniter yerine kısmi bir izometriye zayıflatılmalıdır. Eğer bir olan tek taraflı bir kaydırma üzerine l ² ( K ), daha sonra | bir | = { A*A } ^½ = Ben . Öyleyse eğer A = U | A |, U , üniter olmayan A olmalıdır .

Kutupsal bir ayrışmanın varlığı, Douglas'ın lemmasının bir sonucudur :

Lemma Eğer A , B bir Hilbert uzayı H ve A*A ≤ B*B üzerinde sınırlı operatörlerse , o zaman A = CB olacak şekilde bir C daralması vardır . Ayrıca, Ker ( B* ) ⊂ Ker ( C ) ise C benzersizdir .

Operatör Cı tanımlanabilir C (bh) ' = Ah kapatılması süreklilik büyütülüp Ran ( B ortogonal tamamlayıcı üzerine), ve sıfır ile Ran ( B ). A*A ≤ B*B Ker ( B ) ⊂ Ker ( A ) anlamına geldiğinden C operatörü iyi tanımlanmıştır . Ardından lemma gelir.

Özellikle, A*A = B*B ise , C kısmi bir izometridir ve Ker ( B* ) ⊂ Ker ( C ) ise benzersizdir . Genel olarak, herhangi bir sınırlı A operatörü için ,

${\displaystyle A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}},}$

burada ( A*A ) ^½ , A*A'nın olağan fonksiyonel hesap tarafından verilen benzersiz pozitif kareköküdür . Yani lemmaya göre, elimizde

${\displaystyle A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}}$

bazı kısmi izometri U için , Ker ( A ) ⊂ Ker ( U ) ise benzersizdir . ( Ker ( A )= Ker ( A*A )= Ker ( B )= Ker ( B* ) not edin, burada B = B* =( A*A ) ^½ .) P'yi ( A*A ) ^{½ olarak alın} ve polar ayrışma A = UP elde edilir . A = P'U' göstermek için benzer bir argümanın kullanılabileceğine dikkat edin , burada P' pozitif ve U' kısmi bir izometridir.

Zaman , H sonlu boyutlu, u yekpare bir operatöre uzatılabilir; bu genel olarak doğru değildir (yukarıdaki örneğe bakın). Alternatif olarak, polar ayrıştırma, tekil değer ayrıştırmasının operatör versiyonu kullanılarak gösterilebilir .

Sürekli fonksiyonel hesabın özelliği ile , |A| içinde C * cebiri tarafından üretilen A . Kısmi izometri için benzer fakat daha zayıf bir ifade geçerlidir: kutupsal kısım U , A tarafından üretilen von Neumann cebirindedir . Eğer bir tersi olan, U olacak C * cebiri tarafından üretilen A sıra.

Karmaşık Analiz ile Bağlantı

İncelenen birçok operatör, holomorfik fonksiyonların Hilbert uzayları üzerindeki operatörlerdir ve operatörün çalışması, fonksiyon teorisindeki sorularla yakından bağlantılıdır. Örneğin, Beurling teoremi açıklar değişmez alt uzay çember üzerinde hemen hemen her yerde unimodular sınır değerlerle birim diskte holomorfik fonksiyonları sınırlanan iç fonksiyonları, açısından tek taraflı kaymanın. Beurling, tek taraflı kaymayı, Hardy uzayındaki bağımsız değişkenle çarpma olarak yorumladı . Çarpma operatörlerini ve daha genel olarak Toeplitz operatörlerini (çarpma, ardından Hardy uzayına izdüşümdür) çalışmadaki başarı, Bergman uzayı gibi diğer uzaylarla ilgili benzer soruların çalışmasına ilham verdi .

Operatör cebirleri

Teorisi operatör cebirlerin getiriyor cebirlerini gibi operatörlerin C * -algebras ön plana.

C*-cebirleri

AC*-cebiri, A , bir harita ile birlikte karmaşık sayılar alanı üzerinde bir Banach cebiridir * : A → A . Bir yazma * x unsuru ait görüntü için x ait A . Harita * aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• Bu bir olan involusyonu her için, x in A

${\ Displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$

• A'daki tüm x , y için :

${\görüntüleme stili (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

${\ Displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

• C'deki her λ ve A'daki her x için :

${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.}$

• A'daki tüm x için :

${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|.}$

Açıklama İlk üç özdeşlik A'nın bir *-cebir olduğunu söylüyor . Son kimliğe C* kimliği denir ve şuna eşdeğerdir:

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2},}$

C*-kimliği çok güçlü bir gerekliliktir. Örneğin, spektral yarıçap formülü ile birlikte , C*-normunun cebirsel yapı tarafından benzersiz bir şekilde belirlendiğini ima eder:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ tersine çevrilemez}}\}.}$

Ayrıca bakınız

• değişmez alt uzay
• fonksiyonel hesap
• spektral teori
  • kararlı formalizm
• Kompakt operatör
  • Fredholm teorisi ait integral denklemlerin
    • integral operatörü
    • Fredholm operatörü
• Kendinden eşlenik operatör
• Sınırsız operatör
  • diferansiyel operatör
• Umbral hesap
• daralma haritalama
• Pozitif operatör bir on Hilbert uzay
• Negatif olmayan operatör bir üzerinde kısmen sıralı vektör alanı

Referanslar

daha fazla okuma

• Conway, JB : Fonksiyonel Analizde Bir Kurs , 2. baskı, Springer-Verlag, 1994, ISBN  0-387-97245-5
• Yoshino, Takashi (1993). Operatör Teorisine Giriş . Chapman ve Hall/CRC. ISBN'si 978-0582237438.

Dış bağlantılar

• Operatör Teorisinin Tarihçesi