Logaritmik fonksiyonların integrallerinin listesi - List of integrals of logarithmic functions

Aşağıda logaritmik fonksiyonların integrallerinin ( tersitürev fonksiyonlar) bir listesi bulunmaktadır . İntegral fonksiyonların tam listesi için, integrallerin listesine bakın .

Not: Bu makale boyunca x > 0 olduğu varsayılmıştır ve basitlik için entegrasyon sabiti atlanmıştır.

Yalnızca logaritmik fonksiyonları içeren integraller

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}={\frac {x\ln xx}{\ln a}}}$

${\displaystyle \int \ln(ax)\,dx=x\ln(ax)-x}$

${\displaystyle \int \ln(ax+b)\,dx={\frac {(ax+b)\ln(ax+b)-(ax+b)}{a}}}$

${\displaystyle \int (\ln x)^{2}\,dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x}$

${\displaystyle \int (\ln x)^{n}\,dx=x\sum _{k=0}^{n}(-1)^{nk}{\frac {n!}{k!} }(\ln x)^{k}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\ln x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(\ln x )^{k}}{k\cdot k!}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\ln x}}=\operatöradı {li} (x)}$, logaritmik integral .

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}} +{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{ için) \mbox{)}}}$

Logaritmik ve güç fonksiyonlarını içeren integraller

${\displaystyle \int x^{m}\ln x\,dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{( m+1)^{2}}}\sağ)\qquad {\mbox{(için }}m\neq -1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\,dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}} -{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{(için }}m\neq -1{\mbox {)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\,dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}\ qquad {\mbox{(için }}n\neq -1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}- {\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}\qquad {\mbox{(için }}m\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m- 1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}} }\qquad {\mbox{(için }}m\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{m}\,dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1) (\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n -1}}}\qquad {\mbox{(için }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln \sol|\ln x\sağ|}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x\ln \ln x}}=\ln \sol|\ln \sol|\ln x\sağ|\sağ|}$, vesaire.

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln \ln x}}=\operatöradı {li} (\ln x)}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|+\sum _{k=1}^{\infty }(- 1)^{k}{\frac {(n-1)^{k}(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} }\qquad {\mbox{(için }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int \ln(x^{2}+a^{2})\,dx=x\ln(x^{2}+a^{2})-2x+2a\tan ^{-1 }{\frac {x}{a}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}\ln(x^{2}+a^{2})\,dx={\frac {1} {4}}\ln ^{2}(x^{2}+a^{2})}$

Logaritmik ve trigonometrik fonksiyonları içeren integraller

${\displaystyle \int \sin(\ln x)\,dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))}$

${\displaystyle \int \cos(\ln x)\,dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))}$

Logaritmik ve üstel fonksiyonları içeren integraller

${\displaystyle \int e^{x}\left(x\ln xx-{\frac {1}{x}}\sağ)\,dx=e^{x}(x\ln xx-\ln x) }$

${\displaystyle \int {\frac {1}{e^{x}}}\sol({\frac {1}{x}}-\ln x\sağ)\,dx={\frac {\ln x }{e^{x}}}}$

${\displaystyle \int e^{x}\sol({\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{x(\ln x)^{2}}}\sağ)\, dx={\frac {e^{x}}{\ln x}}}$

n ardışık entegrasyon

İçin ardışık entegrasyonlar, formül ${\görüntüleme stili n}$

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C_{0}}$

genelleştirir

${\displaystyle \int \dotsi \int \ln x\,dx\dotsm dx={\frac {x^{n}}{n!}}\left(\ln \,x-\sum _{k=1 }^{n}{\frac {1}{k}}\sağ)+\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}{\frac {x^{k}}{k! }}}$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel kimliklerin  listesi – Wikipedia liste makalesi
• Matematik konularının  listeleri – Wikipedia liste makalesi

Referanslar

• Milton Abramowitz ve Irene A. Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , 1964. Birkaç integral 69. sayfada listelenmiştir .