Bir modülün uzunluğu - Length of a module

Gelen soyut cebir , uzunluğu a modülünün bir genellemedir boyut a vektör alan büyüklüğü ölçer. ^{Sayfa 153} Özellikle, vektör uzaylarında olduğu gibi, sonlu uzunluktaki modüller sonlu olarak üretilmiş modüllerdir . En uzun alt modül zincirinin uzunluğu olarak tanımlanır . Sonlu uzunluklu modüller, sonlu boyutlu vektör uzayları ile birçok önemli özelliği paylaşır.

Halka ve modül teorisinde 'saymak' için kullanılan diğer kavramlar derinlik ve yüksekliktir ; bunların her ikisi de tanımlamak için biraz daha inceliklidir. Dahası, kullanımları boyut teorisi ile daha uyumluyken, sonlu modülleri analiz etmek için uzunluk kullanılır. Yararlı olan çeşitli boyut fikirleri de vardır. Sonlu uzunlukta değişmeli halkalar , Artin halkalarının yaygın olarak kullanıldığı biçimsel cebirsel geometri ve Deformasyon teorisinin fonktoryal işlemlerinde önemli bir rol oynar .

Tanım

Bir modülün uzunluğu

Izin bazıları üzerinde bir (sol veya sağ) modülü olacak halkası . Formun bir alt modül zinciri verildiğinde ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle M_ {0} \ subsetneq M_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq M_ {n} = M}$

Biz demek olduğunu uzunluk zincirinin. Uzunluk ve onun zincirlerinden herhangi birinin büyük boy olarak tanımlanır. Böyle bir en büyük uzunluk yoksa, sonsuz uzunluğa sahip olduğunu söyleriz . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Bir yüzüğün uzunluğu

Bir halka , bir sol sonlu uzunlukta ise, bir halka olarak sonlu bir uzunluğa sahip olduğu söylenir Modül. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Özellikleri

Sonlu uzunluk ve sonlu modüller

Bir -modülün uzunluğu sınırlıysa , sonlu olarak üretilir . Eğer R bir alandır, o zaman tersi de doğrudur. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

Artin ve Noetherian modülleri ile ilişki

Bir -modül , ancak ve ancak, hem bir Noetherian modülü hem de bir Artinian modülü ise (bkz. Hopkins teoremi ) sınırlı uzunluğa sahiptir . Tüm Artin halkaları Noetherian olduğundan, bu, bir halkanın ancak ve ancak Artinian ise sınırlı uzunluğa sahip olduğu anlamına gelir. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

Kısa kesin dizilere göre davranış

Varsayalım

${\ displaystyle 0 \ rightarrow L \ rightarrow M \ rightarrow N \ rightarrow 0}$

a, kısa tam dizisi arasında -modüller. O halde M'nin sonlu uzunluğu vardır ancak ve ancak L ve N sonlu uzunluğa sahipse ve bizde ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ text {uzunluk}} _ {R} (M) = {\ text {uzunluk}} _ {R} (L) + {\ text {uzunluk}} _ {R} (N)}$

Özellikle, aşağıdaki iki özelliği ifade eder

• Sonlu uzunluktaki iki modülün doğrudan toplamı sonlu uzunluğa sahiptir
• Sonlu uzunluğa sahip bir modülün alt modülü, sonlu uzunluğa sahiptir ve uzunluğu, üst modülüne eşit veya daha azdır.

Jordan-Hölder teoremi

M modülünün bir kompozisyon serisi , formun bir zinciridir

${\ displaystyle 0 = N_ {0} \ subsetneq N_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq N_ {n} = M}$

öyle ki

${\ displaystyle N_ {i + 1} / N_ {i} {\ mbox {basittir}} i = 0, \ dots, n-1}$

Bir modül M , ancak ve ancak (sonlu) bir kompozisyon serisine sahipse ve bu tür kompozisyon serilerinin her birinin uzunluğu M'nin uzunluğuna eşitse, sonlu uzunluğa sahiptir .

Örnekler

Sonlu boyutlu vektör uzayları

Bir alan üzerindeki herhangi bir sonlu boyutlu vektör uzayının sonlu bir uzunluğu vardır. Bir temel verildiğinde zincir var ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$

${\ displaystyle 0 \ subset {\ text {Span}} _ {k} (v_ {1}) \ subset {\ text {Span}} _ {k} (v_ {1}, v_ {2}) \ subset \ cdots \ subset {\ text {Aralık}} _ {k} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = V}$

hangi uzunluktadır . Maksimaldir çünkü herhangi bir zincir verilir, ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle V_ {0} \ alt küme \ cdots \ alt küme V_ {m}}$

her bir katılımın boyutu en az artacaktır . Bu nedenle uzunluğu ve boyutu çakışır. ${\ displaystyle 1}$

Artin modülleri

Bir taban halkası üzerinde , Artinian modülleri , sonlu modüllerin bir sınıf örneğini oluşturur. Aslında, bu örnekler Kesişim teorisinde kaybolma sırasını tanımlamak için temel araçlar olarak hizmet eder . ${\ displaystyle R}$

Sıfır modül

Sıfır modül uzunluğu 0 olan tek modüldür.

Basit modüller

1 uzunluğundaki modüller tam olarak basit modüllerdir .

Z üzerinde Artin modülleri

Döngüsel grubun uzunluğu ( Z tam sayıları üzerinde bir modül olarak görülür ), birden çok kez sayılmış birden çok asal çarpanla asal çarpanların sayısına eşittir . Bu, Çin kalanı teoremi kullanılarak bulunabilir . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle n}$

Çokluk teorisinde kullanın

İhtiyacı için kesişme teori , Jean-Pierre Serre genel kavramını ortaya çokluğu bir uzunluğu gibi, bir noktanın artinian yerel halka , bu noktaya bağlı.

İlk uygulama, kesişim çokluğunun tam bir tanımıydı ve özellikle, Bézout teoreminin bir n boyutlu izdüşüm uzayında n cebirsel hiper-yüzeylerin kesişme noktalarının çokluklarının toplamının sonsuz olduğunu veya tam olarak hiper yüzeylerin derecelerinin ürünü.

Bu çokluk tanımı oldukça geneldir ve önceki cebirsel çokluk kavramlarının çoğunu özel durumlar olarak içerir.

Sıfırların ve kutupların yok olma sırası

Bir çokluğun bu genel tanımının özel bir durumu , bir cebirsel çeşitlilik üzerinde sıfır olmayan bir cebirsel fonksiyonun yok olma mertebesidir . Bir verilen cebirsel çeşitli ve altcins ait keyfi dik boyutlu 1, bir polinomun ufuk sırası olarak tanımlanır ${\ displaystyle f \ in R (X) ^ {*}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle f \ in R (X)}$

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {V} (f) = {\ text {uzunluk}} _ {{\ mathcal {O}} _ {V, X}} \ sol ({\ frac {{\ matematiksel {O}} _ {V, X}} {(f)}} \ sağ)}$

Nerede bir sap ile tanımlanan yerel halka altcins boyunca ^{sayfalarda 426-227} , ya da eşdeğer sap arasında jenerik noktada ^{sayfa 22} . Eğer bir bir afin çeşitli ve lokusu ufuk ile tanımlanır , daha sonra izomorfizm orada ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {V, X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V (f)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {V, X} \ cong R (X) _ {(f)}}$

Bu fikir daha sonra , sıranın şu şekilde tanımlandığı çeşitlilikteki rasyonel işlevlere genişletilebilir. ${\ displaystyle F = f / g}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {V} (F): = {\ text {ord}} _ {V} (f) - {\ text {ord}} _ {V} (g)}$

karmaşık analizde sıfırların ve kutupların sırasını tanımlamaya benzer .

Projektif bir çeşitlilik örneği

Örneğin, bir polinomla tanımlanan bir yansıtmalı yüzeyi , ardından rasyonel bir fonksiyonun kaybolma sırasını düşünün. ${\ displaystyle Z (h) \ alt küme \ mathbb {P} ^ {3}}$${\ displaystyle h \ in k [x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}]}$

${\ displaystyle F = {\ frac {f} {g}}}$

tarafından verilir

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {Z (h)} (F) = {\ text {ord}} _ {Z (h)} (f) - {\ text {ord}} _ {Z ( h)} (g)}$

nerede

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {Z (h)} (f) = {\ text {uzunluk}} _ {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} \ left ({\ frac {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(f)}} \ sağ)}$

Örneğin, eğer için, ve ve daha sonra ${\ displaystyle h = x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {2} ^ {3}}$${\ displaystyle f = x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ displaystyle g = h ^ {2} (x_ {0} + x_ {1} -x_ {3})}$

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {Z (h)} (f) = {\ text {uzunluk}} _ {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} \ left ({\ frac {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(x ^ {2} + y ^ {2} )}} \ sağ) = 0}$

çünkü yerel halkada bir Birimdir (halka teorisi) . Diğer durumda, bir birimdir, bu nedenle bölüm modülü izomorfiktir. ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}}$${\ displaystyle x_ {0} + x_ {1} -x_ {3}}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(h ^ {2})}}}$

yani uzunluğu var . Bu, maksimum doğru sıra kullanılarak bulunabilir ${\ displaystyle 2}$

${\ displaystyle (0) \ alt küme {\ frac {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(h)}} \ alt küme {\ frac {{ \ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(h ^ {2})}}}$

Analitik bir fonksiyonun sıfır ve kutupları

Kaybolma sırası için sıfırlar ve kutuplar sırasına bir genellemedir meromorfik fonksiyonları içinde Kompleks analiz . Örneğin, işlev

${\ displaystyle {\ frac {(z-1) ^ {3} (z-2)} {(z-1) (z-4i)}}}$

emirde 2 ve 1 sıfır olan ve düzenin bir kutup en . Bu tür bilgiler, modüllerin uzunluğu kullanılarak kodlanabilir. Örneğin, ve ayarı , ilişkili yerel halka vardır ve bölüm modülü vardır. ${\ displaystyle 1,2 \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 4i \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle R (X) = \ mathbb {C} [z]}$${\ displaystyle V = V (z-1)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {V, X}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-4i) (z-1) ^ {2})}}}$

Bunun bir birim olduğuna dikkat edin , bu yüzden bu bölüm modülüne izomorfiktir ${\ displaystyle z-4i}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-1) ^ {2})}}}$

Maksimum zincir olduğu için uzunluğu ${\ displaystyle 2}$

${\ displaystyle (0) \ alt küme {\ frac {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-1))}} \ alt küme {\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-1) ^ {2})}}}}$

alt modüllerin. Daha genel olarak, Weierstrass çarpanlara ayırma teoremini kullanarak bir meromorfik fonksiyon faktörleri

${\ displaystyle F = {\ frac {f} {g}}}$

Bu, hem pay hem de paydadaki doğrusal polinomların (muhtemelen sonsuz) bir ürünüdür.

Ayrıca bakınız

• Hilbert-Poincaré serisi
• Weil bölen
• Chow yüzük
• Kesişim teorisi
• Weierstrass çarpanlara ayırma teoremi
• Serre'nin çokluk varsayımları
• Hilbert şeması - sabit uzunlukta bir Şema üzerindeki modülleri incelemek için kullanılabilir
• Krull-Schmidt teoremi

Referanslar

Dış bağlantılar

• Steven H. Weintraub, Sonlu Grupların Temsil Teorisi AMS (2003) ISBN   0-8218-3222-0 , ISBN   978-0-8218-3222-6
• Allen Altman, Steven Kleiman, Bir değişmeli cebir terimi .
• Stacks projesi. Uzunluk