Kelvin'in dolaşım teoremi - Kelvin's circulation theorem

Gelen sıvı mekaniği , Kelvin sirkülasyon teoremi (adını William Thomson, 1 Baron Kelvin 1869 yılında yayınladıktan) devletler bir de barotropik İdeal sıvısı , muhafazakar vücut güçleri ile dolaşım ile hareket eden (aynı akışkan unsurları çevreler) kapalı bir eğri etrafında sıvı zamanla sabit kalır . Matematiksel olarak ifade edildi:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}$

nerede olduğunu sirkülasyon maddi bir kontur etrafında . Daha basit bir ifadeyle bu teorem, eğer bir kişi bir anda kapalı bir konturu gözlemlerse ve konturu zaman içinde takip ederse (tüm akışkan elemanlarının hareketini takip ederek), bu kontürün iki konumu üzerindeki dolaşımın eşit olduğunu söyler. ${\görüntüleme stili \Gama }$${\görüntüleme stili C(t)}$

Bu teorem, viskoz stresler, korunumlu olmayan vücut kuvvetleri (örneğin bir koriyolis kuvveti ) veya barotropik olmayan basınç-yoğunluk ilişkileri olan durumlarda geçerli değildir.

matematiksel kanıt

Kapalı bir malzeme konturu etrafındaki sirkülasyon şu şekilde tanımlanır: ${\görüntüleme stili \Gama }$${\görüntüleme stili C(t)}$

${\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$

burada u hız vektörüdür ve ds kapalı kontur boyunca bir elemandır.

Muhafazakar bir vücut kuvvetine sahip viskoz olmayan bir sıvı için yönetim denklemi şu şekildedir:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }} p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }$

Eğer D / D burada T bir konvektif türevi , ρ akışkan yoğunluğu, bir p basıncı ve Φ gövde kuvvet potansiyelidir. Bunlar cisim kuvveti olan Euler denklemleridir.

Barotropisite koşulu, yoğunluğun yalnızca basıncın bir fonksiyonu olduğu anlamına gelir, yani . ${\görüntüleme stili \rho =\rho (p)}$

Dolaşımın konvektif türevi alındığında

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\ matematik {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} } {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}.}$

İlk terim için, ana denklemden yerine koyarız ve sonra Stokes teoremini uygularız , böylece:

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}= \int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\ nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p\sağ)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.}$

Nihai eşitlik , barotropiklik nedeniyle ortaya çıkar . Ayrıca herhangi bir degradenin kıvrımının mutlaka 0 veya herhangi bir işlev için olması gerçeğinden de yararlandık . ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p=0}$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}f=0}$${\görüntüleme stili f}$

İkinci terim için, maddi çizgi elemanının evriminin şu şekilde verildiğini not ediyoruz:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\sağ){\boldsymbol {u}}.}$

Buradan

${\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}}{\mathrm {D} t}}= \oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\sağ){\boldsymbol {u}} ={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\sağ)\cdot \mathrm {d } {\boldsymbol {s}}=0.}$

Son eşitlik gradyan teoremi uygulanarak elde edilir .

Her iki terim de sıfır olduğundan, sonucu elde ederiz.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0.}$

Poincare–Bjerknes dolaşım teoremi

Bir miktarı koruyan benzer bir ilke, aynı zamanda, 1893 ve 1898'de değişmezi türeten Henri Poincaré ve Vilhelm Bjerknes'in adını taşıyan Poincare-Bjerknes teoremi olarak da bilinen, dönen çerçeve için de elde edilebilir. Teorem, dönen bir çerçeveye uygulanabilir. modifiye sirkülasyon için vektör tarafından verilen sabit bir açısal hızda dönen${\ Displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$

${\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot \mathrm {d} { \boldsymbol {s}}}$

İşte sıvı alanının konumu. Gönderen Stokes teoremi şudur ki: ${\ Displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

${\displaystyle \Gamma (t)=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}}\times {\boldsymbol {r} })\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}+2{\boldsymbol { \Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}$

Çevrinti akışkan dinamiği bir hız alanının ile tanımlanır:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}}$

Sonra:

${\displaystyle \Gamma (t)=\int _{A}({\boldsymbol {\omega }}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d } S}$

Ayrıca bakınız

• Bernoulli ilkesi
• Euler denklemleri (akışkanlar dinamiği)
• Helmholtz teoremleri
• termomanyetik konveksiyon

Notlar