Yinelenen işlev sistemi - Iterated function system

IFS kullanılarak oluşturulan Sierpinski üçgeni (kendine benzer yapıyı göstermek için renklendirilmiştir)

Apophysis yazılımı kullanılarak tasarlanan ve Electric Sheep tarafından oluşturulan renkli IFS .

Gelen matematik , fonksiyon sistemleri tekrarlanır ( IFSs ) oluşturulması için bir yöntem olup Fraktaller ; ortaya çıkan fraktallar genellikle kendine benzerdir . IFS fraktalları, fraktal geometriden çok küme teorisi ile ilgilidir . 1981'de tanıtıldılar.

Normalde adlandırıldığı gibi IFS fraktalları herhangi bir sayıda boyutta olabilir, ancak genellikle 2B olarak hesaplanır ve çizilir. Fraktal, kendisinin birkaç kopyasının birleşiminden oluşur, her kopya bir fonksiyon tarafından dönüştürülür (dolayısıyla "fonksiyon sistemi"). Kanonik örnek Sierpiński üçgenidir . Fonksiyonlar normalde daraltıcıdır , bu da noktaları birbirine yaklaştırdıkları ve şekilleri küçülttükleri anlamına gelir. Bu nedenle, bir IFS fraktalının şekli, muhtemelen her biri kendi kopyalarından oluşan, muhtemelen üst üste binen daha küçük kopyalarından oluşur, ad infinitum . Bu, kendine benzer fraktal doğasının kaynağıdır.

Tanım

Resmi olarak bir tekrarlanan fonksiyon sistemi sonlu dizi kasılma eşleştirmeleri bir üzerinde tam metrik uzay . Sembolik,

${\displaystyle \{f_{i}:X\to X\mid i=1,2,\dots ,N\},\ N\in \mathbb {N} }$

her biri tam metrik uzayda bir daralma ise yinelenen bir fonksiyon sistemidir . ${\displaystyle f_{i}}$${\görüntüleme stili X}$

Özellikler

Kaos oyunu tarafından bir IFS inşası (animasyonlu)

IFS iki işlevle yapılıyor.

Hutchinson (1981), metrik uzay için veya daha genel olarak tam bir metrik uzay için , böyle bir fonksiyon sisteminin benzersiz bir boş olmayan kompakt (kapalı ve sınırlı) sabit S kümesine sahip olduğunu gösterdi . Sabit bir küme oluşturmanın bir yolu, ilk boş olmayan kapalı ve sınırlı küme S ₀ ile başlamak ve f _i'nin eylemlerini yinelemek, S _{n +1'i} S _n'nin f _i altındaki görüntülerinin birleşimi olarak almaktır ; Sonra alarak S olmaya kapatma birliği S _n . Sembolik olarak, benzersiz sabit (boş olmayan kompakt) küme şu özelliğe sahiptir: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili S\alt küme X}$

${\displaystyle S={\overline {\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S)}}.}$

S kümesi , bu nedenle, aracılığıyla tanımlanan Hutchinson operatörünün sabit kümesidir.${\displaystyle F:2^{X}\to 2^{X}}$${\ Displaystyle A\subseteq X}$

${\displaystyle F(A)={\overline {\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(A)}}.}$

S'nin varlığı ve benzersizliği , büzülme eşleme ilkesinin bir sonucudur , tıpkı

${\displaystyle \lim _{n\to \infty}F^{\circ n}(A)=S}$

herhangi bir boş olmayan kompakt küme için . (Büzülme IFS için bu yakınsama, boş olmayan herhangi bir kapalı sınırlı küme için bile gerçekleşir ). Rastgele S'ye yakın olan rastgele öğeler , aşağıda açıklanan "kaos oyunu" ile elde edilebilir. ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili A}$

Yakın zamanda, (örneğin, metrik bir topolojik eşdeğer göre kasılmalar olmayan haritaları oluşan olmayan büzülme Çeşidi IFSs gösterilmiştir X ) çekicilerin verebilir. Bunlar, yansıtmalı uzaylarda doğal olarak ortaya çıkar, ancak daire üzerindeki klasik irrasyonel rotasyon da uyarlanabilir.

Fonksiyonların toplanması, kompozisyon altında bir monoid oluşturur . Bu tür sadece iki fonksiyon varsa, monoid ikili bir ağaç olarak görselleştirilebilir , burada ağacın her bir düğümünde biri bir veya diğer fonksiyonla oluşturulabilir ( yani sol veya sağ dalı alabilir). Genel olarak, eğer k tane fonksiyon varsa, o zaman monoid , Cayley ağacı olarak da bilinen tam bir k- ary ağacı olarak görselleştirilebilir . ${\displaystyle f_{i}}$

İnşaatlar

Barnsley eğreltiotu , erken bir IFS

Menger sünger , 3 Boyutlu bir IFS.

Doğrusal olmayan fonksiyon Julia ile oluşturulmuş IFS "ağacı"

Bazen her işlevin bir doğrusal veya daha genel olarak bir afin dönüşüm olması gerekir ve bu nedenle bir matris ile temsil edilir . Bununla birlikte, IFS'ler, projektif dönüşümler ve Möbius dönüşümleri dahil olmak üzere doğrusal olmayan fonksiyonlardan da oluşturulabilir . Fraktal alev doğrusal olmayan fonksiyonlar ile IFS bir örnektir. ${\displaystyle f_{i}}$

IFS fraktallarını hesaplamak için en yaygın algoritmaya " kaos oyunu " denir . Düzlemde rastgele bir nokta seçmeyi, ardından noktayı bir sonraki noktayı elde etmek için dönüştürmek için fonksiyon sisteminden rastgele seçilen fonksiyonlardan birini yinelemeli olarak uygulamaktan oluşur. Alternatif bir algoritma, belirli bir maksimum uzunluğa kadar her olası fonksiyon dizisini oluşturmak ve daha sonra bu fonksiyon dizilerinin her birinin bir başlangıç ​​noktasına veya şekle uygulanmasının sonuçlarını çizmektir.

Bu algoritmaların her biri, tüm fraktal boyunca dağıtılmış noktalar üreten küresel bir yapı sağlar. Fraktalın küçük bir alanı çiziliyorsa, bu noktaların çoğu ekran sınırlarının dışında kalacaktır. Bu, bu şekilde çizilen bir IFS yapısına yakınlaştırmayı pratik olmayan hale getirir.

IFS teorisi her fonksiyonun büzülmesini gerektirse de, pratikte IFS'yi uygulayan yazılım sadece tüm sistemin ortalama olarak büzülmesini gerektirir.

Bölümlenmiş yinelenen işlev sistemleri

Yerel yinelenen işlev sistemleri olarak da adlandırılan PIFS (bölümlenmiş yinelenen işlev sistemleri), basit IFS fraktalları tarafından gösterilen kendine benzer yapı türlerine sahip görünmeyen fotoğraflar için bile şaşırtıcı derecede iyi görüntü sıkıştırması sağlar.

ters problem

Bir dizi IFS veya PIFS parametresinden bir görüntü oluşturmak için çok hızlı algoritmalar mevcuttur. Görüntüdeki her pikselin rengini depolamaktan ve iletmekten daha hızlıdır ve nasıl oluşturulduğuna dair bir açıklamayı saklamak, bu açıklamayı bir hedef cihaza iletmek ve bu görüntüyü hedef cihazda yeniden oluşturmak için çok daha az depolama alanı gerektirir. .

Ters problem daha zordur: Bazı orijinal keyfi dijital görüntü verilmiş böyle bir dijital fotoğraf, yineleme tarafından değerlendirildiğinde, orijinaline görsel olarak benzer başka bir görüntü üretir IFS parametreleri grubu bulmaya olarak. 1989'da Arnaud Jacquin, ters problemin sınırlı bir biçimine yalnızca PIFS kullanarak bir çözüm sundu; ters problemin genel biçimi çözülmemiş kalır.

1995 itibariyle, tüm fraktal sıkıştırma yazılımları Jacquin'in yaklaşımına dayanmaktadır.

Örnekler

Diyagram, iki afin fonksiyondan bir IFS üzerindeki yapıyı gösterir. Fonksiyonlar, iki birimli kare üzerindeki etkileriyle temsil edilir (fonksiyon, çerçeveli kareyi gölgeli kareye dönüştürür). İki işlevin birleşimi Hutchinson operatörünü oluşturur . Operatörün üç yinelemesi gösterilir ve ardından son görüntü sabit noktanın son fraktalıdır.

Bir IFS tarafından üretilebilecek fraktalların ilk örnekleri arasında ilk olarak 1884'te tanımlanan Cantor seti ; ve 1957'de Georges de Rham tarafından tanımlanan kendine benzer bir eğri türü olan de Rham eğrileri .

Tarih

IFS'ler şu anki biçimleriyle 1981'de John E. Hutchinson tarafından tasarlandı ve Michael Barnsley'nin Fraktallar Her Yerde kitabıyla popüler hale getirildi .

IFS'ler, genellikle doğada dallanan yapılarda meydana gelen öz-benzerlik sayesinde belirli bitkiler, yapraklar ve eğrelti otları için modeller sağlar.

—  Michael Barnsley ve ark.

Ayrıca bakınız

• Karmaşık tabanlı sistem
• Kolaj teoremi
• Analitik fonksiyonların sonsuz bileşimleri
• L-sistemi
• fraktal sıkıştırma

Notlar

Referanslar

• Drave, Scott ; Erik Reckase (Temmuz 2007). "Fractal Alev Algoritması" (PDF) . Arşivlenmiş orijinal (pdf) 2008-05-09 tarihinde . 2008-07-17 alındı .
• Falconer, Kenneth (1990). Fraktal geometri: Matematiksel temeller ve uygulamalar . John Wiley ve Oğulları. s.  113–117, 136 . ISBN'si 0-471-92287-0.
• Barnsley, Michael ; Andrew Vince (2011). "Bir Genel Yinelenen İşlev Sisteminde Kaos Oyunu". Ergodik Teori Dinam. Sistemler . 31 (4): 1073-1079. arXiv : 1005.0322 . Bibcode : 2010arXiv1005.0322B .
• Tarihsel bir bakış ve genelleme için: David, Claire (2019). "Weierstrass tipi fonksiyonların fraktal özellikleri" . Uluslararası Geometri Merkezi Bildirileri . 12 (2): 43–61.