matematiksel ilişkiler
In matematik , HM-GM-AM-QM eşitsizlikler arasındaki ilişkiyi ifade harmonik ortalama , geometrik ortalama , aritmetik ortalama ve kuadratik ortalama (kök ortalama meydanda aka RMS). Bunun pozitif gerçek sayılar olduğunu varsayalım . Sonra
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}
0
<
n
1
/
x
1
+
1
/
x
2
+
⋯
+
1
/
x
n
≤
x
1
x
2
⋯
x
n
n
≤
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
≤
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
n
.
{\ displaystyle 0 <{\ frac {n} {1 / x_ {1} + 1 / x_ {2} + \ cdots + 1 / x_ {n}}} \ leq {\ sqrt [{n}] {x_ { 1} x_ {2} \ cdots x_ {n}}} \ leq {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}} \ leq {\ sqrt {\ frac {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}} {n}}}.}
Bu eşitsizlikler genellikle matematiksel yarışmalarda ortaya çıkar ve bilimin birçok alanında uygulamaları vardır.
Kanıt Kanıtlama araçları arasında üç eşitsizlik var. Eşitsizlikleri kanıtlamak için matematiksel tümevarım , Cauchy-Schwarz eşitsizliği , Lagrange çarpanları ve Jensen'in eşitsizliği gibi çeşitli yöntemler vardır . GM ≤ AM'nin birkaç kanıtı için, bkz . Aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitsizliği .
AM-QM eşitsizliği Gönderen reel sayılar üzerinde Cauchy-Schwarz eşitsizliği bir vektör ayarı, (1, 1, ...) :
(
∑
ben
=
1
n
sen
ben
⋅
1
)
2
≤
(
∑
ben
=
1
n
sen
ben
2
)
(
∑
ben
=
1
n
1
2
)
=
n
∑
ben
=
1
n
sen
ben
2
,
{\ displaystyle \ sol (\ toplamı _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} \ cdot 1 \ sağ) ^ {2} \ leq \ sol (\ toplamı _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} ^ {2} \ sağ) \ left (\ toplam _ {i = 1} ^ {n} 1 ^ {2} \ sağ) = n \, \ toplam _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} ^ {2},}
(
∑
ben
=
1
n
sen
ben
n
)
2
≤
∑
ben
=
1
n
sen
ben
2
n
{\ displaystyle \ sol ({\ frac {\ toplamı _ {i = 1} ^ {n} u_ {i}} {n}} \ sağ) ^ {2} \ leq {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} ^ {2}} {n}}}
sen
ben
{\ displaystyle u_ {i}}
N = 2 vaka
Eşitsizlikleri görselleştirmek için kullanılan yarım daire
Zaman , n = 2, eşitsizlikler olmak için tüm çapı [bir yarı-daire şeklinde görselleştirilebilir olan AB ] ve merkez D .
2
1
x
1
+
1
x
2
≤
x
1
x
2
≤
x
1
+
x
2
2
≤
x
1
2
+
x
2
2
2
{\ displaystyle {\ frac {2} {{\ frac {1} {x_ {1}}} + {\ frac {1} {x_ {2}}}}} \ leq {\ sqrt {x_ {1} x_ {2}}} \ leq {\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}} \ leq {\ sqrt {\ frac {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2 }} {2}}}}
x
1
,
x
2
>
0
,
{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}> 0,}
AC = x 1 ve BC = x 2 varsayalım . Sırasıyla D ve C'de [ AB ] ' ye dikler oluşturun. [ CE ] ve [ DF ] 'yi birleştirin ve G'de [ DF ]' ye dik bir [ CG ] inşa edin . Daha sonra GF'nin uzunluğu harmonik ortalama, CF geometrik ortalama, DE aritmetik ortalama ve CE ikinci dereceden ortalama olarak hesaplanabilir. Eşitsizlikler daha sonra Pisagor teoremi tarafından kolayca takip edilir .
Dış bağlantılar
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ displaystyle 0 <{\ frac {n} {1 / x_ {1} + 1 / x_ {2} + \ cdots + 1 / x_ {n}}} \ leq {\ sqrt [{n}] {x_ { 1} x_ {2} \ cdots x_ {n}}} \ leq {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}} \ leq {\ sqrt {\ frac {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}} {n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95eb09170150088613621d3777ebdc730a6056a1)
