Ayrık Chebyshev dönüşümü - Discrete Chebyshev transform

Olarak uygulanan matematik , ayrık Chebyshev dönüşümü (DCT) adını, Pafnutiy Çebışov ya DCT ler iki ana türe ait Ayrık Chebyshev arasında 'Köklerin ızgara üzerinde dönüşümü Chebyshev polinomları birinci türden ve ayrık Chebyshev ile transforme birinci türden Chebyshev polinomlarının 'ekstrema' ızgarası. ${\ displaystyle T_ {n} (x)}$

Kök ızgarasında ayrık Chebyshev dönüşümü

U (x) 'un noktalardaki ayrık chebyshev dönüşümü şu şekilde verilir: ${\ displaystyle {x_ {n}}}$

${\ displaystyle a_ {m} = {\ frac {p_ {m}} {N}} \ toplamı _ {n = 0} ^ {N-1} u (x_ {n}) T_ {m} (x_ {n })}$

nerede:

${\ displaystyle x_ {n} = - \ cos \ sol ({\ frac {\ pi} {N}} (n + {\ frac {1} {2}}) \ sağ)}$

${\ displaystyle a_ {m} = {\ frac {p_ {m}} {N}} \ toplamı _ {n = 0} ^ {N-1} u (x_ {n}) \ cos \ left (m \ cos ^ {- 1} (x_ {n}) \ sağ)}$

nerede ve başka türlü. ${\ displaystyle p_ {m} = 1 \ Leftrightarrow m = 0}$${\ displaystyle p_ {m} = 2}$

Tanımını kullanarak , ${\ displaystyle x_ {n}}$

${\ displaystyle a_ {m} = {\ frac {p_ {m}} {N}} \ toplamı _ {n = 0} ^ {N-1} u (x_ {n}) \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} {N}} (N + n + {\ frac {1} {2}}) \ sağ)}$

${\ displaystyle a_ {m} = {\ frac {p_ {m}} {N}} \ toplamı _ {n = 0} ^ {N-1} u (x_ {n}) (- 1) ^ {m} \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} {N}} (n + {\ frac {1} {2}}) \ sağ)}$

ve ters dönüşümü:

${\ displaystyle u_ {n} = \ toplam _ {m = 0} ^ {N-1} a_ {m} T_ {m} (x_ {n})}$

(Bu, kök ızgarasında değerlendirilen standart Chebyshev serisinde de olur.)

${\ displaystyle u_ {n} = \ toplam _ {m = 0} ^ {N-1} a_ {m} \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} {N}} (N + n + {\ frac {1} {2}}) \ sağ)}$

${\ displaystyle \ dolayısıyla u_ {n} = \ toplam _ {m = 0} ^ {N-1} a_ {m} (- 1) ^ {m} \ cos \ left ({\ frac {m \ pi} { N}} (n + {\ frac {1} {2}}) \ sağ)}$

Bu, girdi argümanlarının ayrık bir kosinüs dönüşümüne dönüştürülmesiyle kolayca elde edilebilir.

Bu, aşağıdaki MATLAB kodu kullanılarak gösterilebilir :

function a=fct(f,l)
% x =-cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2));

f = f(end:-1:1,:);
A = size(f); N = A(1); 
if exist('A(3)','var') && A(3)~=1
    for i=1:A(3)
        a(:,:,i) = sqrt(2/N) * dct(f(:,:,i));
        a(1,:,i) = a(1,:,i) / sqrt(2);
    end
else
    a = sqrt(2/N) * dct(f(:,:,i));
    a(1,:)=a(1,:) / sqrt(2);
end

Ayrık kosinüs dönüşümü (dct) aslında MATLAB'da hızlı bir Fourier dönüşüm algoritması kullanılarak hesaplanır.
Ve ters dönüşüm MATLAB koduyla verilir:

function f=ifct(a,l)
% x = -cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2)) 
k = size(a); N=k(1);

a = idct(sqrt(N/2) * [a(1,:) * sqrt(2); a(2:end,:)]);

end

Ekstrema ızgarasında ayrık Chebyshev dönüşümü

Bu dönüşüm ızgarayı kullanır:

${\ displaystyle x_ {n} = - \ cos \ sol ({\ frac {n \ pi} {N}} \ sağ)}$

${\ displaystyle T_ {n} (x_ {m}) = \ cos \ sol ({\ frac {\ pi mn} {N}} + n \ pi \ sağ) = (- 1) ^ {n} \ cos \ sol ({\ frac {\ pi mn} {N}} \ sağ)}$

Bu dönüşümün, Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT) kullanılarak uygulanması daha zordur. Bununla birlikte, sınır değeri problemleri için en yararlı olma eğiliminde olan ekstrem şebeke üzerinde olduğu için daha yaygın olarak kullanılmaktadır. Çoğunlukla, bu ızgaraya sınır koşullarını uygulamak daha kolay olduğu için.

Greg von Winckel tarafından oluşturulan MATLAB dosya değişiminde bir ayrık (ve aslında hızlı bir Fourier dönüşümü kullanarak dct gerçekleştirdiği için hızlı) mevcuttur. Yani burada atlanmıştır.

Bu durumda dönüşüm ve tersi

${\ displaystyle u (x_ {n}) = u_ {n} = \ toplam _ {m = 0} ^ {N} a_ {m} T_ {m} (x_ {n})}$

${\ displaystyle a_ {m} = {\ frac {p_ {m}} {N}} \ sol [{\ frac {1} {2}} (u_ {0} (- 1) ^ {m} + u_ { N}) + \ toplam _ {n = 1} ^ {N-1} u_ {n} T_ {m} (x_ {n}) \ sağ]}$

nerede ve başka türlü. ${\ displaystyle p_ {m} = 1 \ Leftrightarrow m = 0}$${\ displaystyle p_ {m} = 2}$

Kullanım ve uygulamalar

Ayrık Chebyshev dönüşümünün birincil kullanımları sayısal entegrasyon, enterpolasyon ve kararlı sayısal farklılaşmadır. Bu özellikleri sağlayan bir uygulama, C ++ kitaplığı Boost'ta verilmiştir.

Ayrıca bakınız

• Chebyshev polinomları
• Ayrık kosinüs dönüşümü
• Ayrık Fourier dönüşümü
• Fourier ile ilgili dönüşümlerin listesi

Referanslar