Ayrık Chebyshev polinomları - Discrete Chebyshev polynomials

Matematik olarak ayrık Chebyshev polinomları veya Gram polinomları , bir tür ayrık ortogonal polinomlar kullanılan yaklaşım teorisinin tarafından ortaya Pafnutiy Çebışov  ( 1864 ) tarafından ve yeniden keşfedilen Gram  ( 1883 ).

Tanım

Let f bir olmak yumuşak bir fonksiyonu ile tanımlanan kapalı aralık [-1, 1], değerleri sadece noktalarda açıkça bilinmektedir x _k  : = -1 + (2 k  - 1) / m, k ve m, olan tamsayılardır ve 1 ≤  k  ≤  m . Görev yaklaştığı olan f bir şekilde polinom derecesi n < m . Bir göz önünde pozitif yarı tanımlı iki doğrusal formu

${\ Displaystyle \ sol (g, h \ doğru) = {D} = {\ frac {1} {m}} \ toplamı _ {k = 1} ^ {m} {gr (x_ {k}) h ( x_ {k})},}$

burada g ve h olan sürekli üzerinde [-1, 1] ve izin

${\ Displaystyle \ sol \ | g \ doğru \ | _ {D}: = (g, g) = {d} ^ {1/2}}$

bir ayrık yarı norm . Let bir olmak aile birbirine dik polinomların ${\ Displaystyle \ varphi _ {k}}$

${\ Displaystyle \ sol (\ varphi _ {k} \ varphi _ {I} \ doğru) = {D} = 0}$

her ne zaman i k eşit değildir. Varsayalım tüm polinomları olumlu olması lider katsayısı ve bunlar normalize şekilde o ${\ Displaystyle \ varphi _ {k}}$

${\ Displaystyle \ left \ | \ varphi _ {k} \ sağ \ | _ {d} = 1.}$

Ayrık Chebyshev (veya Gram) polinomları olarak adlandırılır.${\ Displaystyle \ varphi _ {k}}$

Referanslar

• Chebyshev, P., (1864), "Sur l'interpolasyon" , Zapiski Akademii Nauk , 4 , Oeuvres Cilt 1, s. 539-560
• Gram, JP (1883), "Ueber Quadrate kleinsten Reihen mittelst der yöntem der Functionen reeller Entwickelung die" , Journal of für Reine und Angewandte Mathematik kalıp , (Almanca) 94 : 41-73, doi : 10,1515 / crll.1883.94.41 , JFM  15.0321.03