Doğrudan integral - Direct integral

Gelen matematik ve işlevsel analiz , bir doğrudan entegre kavramının bir genellemedir direkt toplamı . Teori, en çok Hilbert uzaylarının direkt integralleri ve von Neumann cebirlerinin direkt integralleri için geliştirilmiştir . Kavram, 1949'da John von Neumann tarafından On Rings of Operators serisindeki makalelerden birinde tanıtıldı . Von Neumann'ın bu makaledeki hedeflerinden biri, ayrılabilir Hilbert uzayları üzerindeki von Neumann cebirlerinin sınıflandırmasını (şimdi anılan) faktörlerin sınıflandırmasına indirgemekti. Faktörler, bir alan üzerindeki tam matris cebirlerine benzer ve von Neumann, yarı-basit halkaları sınıflandıran Artin-Wedderburn teoreminin sürekli bir analogunu kanıtlamak istedi .

Doğrudan integrallere ilişkin sonuçlar , matrislerin sonlu boyutlu C * -algebraları ile ilgili sonuçların genellemeleri olarak görülebilir ; bu durumda sonuçları doğrudan kanıtlamak kolaydır. Sonsuz boyutlu durum, ölçü-teorik teknikler nedeniyle karmaşıktır.

Doğrudan integral teorisi, George Mackey tarafından , belirsizlik sistemleri analizinde ve yerel olarak kompakt ayrılabilir grupların indüklenmiş temsillerine ilişkin genel teorisinde de kullanılmıştır .

Hilbert uzaylarının doğrudan integralleri

Doğrudan integralin en basit örneği, ölçülebilir X uzayında (σ-sonlu) sayılabilir toplamsal ölçü μ ile ilişkili L ² uzaylarıdır . Bir şekilde daha genel olarak, ayrılabilir bir Hilbert uzayı H ve kare integrallenebilir H - değerli fonksiyonların uzayı düşünülebilir.

${\ displaystyle L _ {\ mu} ^ {2} (X, H).}$

Terminolojik not : Konuyla ilgili literatür tarafından benimsenen terminoloji, burada ölçülebilir bir X uzayına Borel uzayı ve X'in ayırt edici σ-cebirinin elemanlarına Borel kümeleri olarak atıfta bulunulmasına göre takip edilir. temelde yatan σ-cebiri bir topolojik uzaydan gelir (çoğu örnekte öyle). Bir Borel uzayı, ancak ve ancak bir Polonya uzayının temelindeki Borel uzayına izomorfikse standarttır ; verili bir kardinalitenin tüm Polonyalı uzayları birbirine izomorfiktir (Borel uzayları olarak). X üzerinde sayılabilir bir toplamsal ölçü μ verildiğinde , ölçülebilir bir küme, bir boş küme tarafından bir Borel kümesinden farklı olandır . Üzerine tedbir μ X bir olan standart bir boş küme vardır ve ancak eğer önlem E yönündeki tamamlayıcı böyle X - E bir standart Borel uzay . Burada ele alınan tüm ölçüler σ-sonludur.

Tanım . X , sayılabilir katkı ölçüsü μ ile donatılmış bir Borel uzayı olsun . Bir Hilbert boşlukların ölçülebilir ailesi (ilgili X , μ) bir aile {olan H _x } _{x ∈ X} , aşağıdaki anlamda önemsiz bir aile için yerel olarak eşdeğer olan: sayılabilir bölümü vardır

${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {1 \ leq n \ leq \ omega}}$

ölçülebilir alt tipleri tarafından X bu şekilde

${\ displaystyle H_ {x} = \ mathbf {H} _ {n} \ quad x \ X_ {n}} içinde$

burada H _n kanonik n -boyutlu Hilbert uzayıdır, yani

${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {n} = \ sol \ {{\ begin {matrix} \ mathbb {C} ^ {n} & {\ mbox {if}} n <\ omega \\\ ell ^ { 2} & {\ mbox {if}} n = \ omega \ end {matrix}} \ sağ.}$

Bir kesit {arasında H _x } _{x ∈ X} , bir ailenin {olup s _x } _{x ∈ X} , öyle ki s _x ∈ H _x Tüm X ∈ x . Bir kesit ve her bir duvar elemanı için, kendi restriksiyon sadece eğer ölçülebilir X, _n ölçülebilir. Hemen hemen her yerde eşit olan ölçülebilir kesitleri s , t belirleyeceğiz . Ölçülebilir bir Hilbert uzayları ailesi verildiğinde, doğrudan integral

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

{ H _x } _{x ∈ X'in} ölçülebilir kare integrallenebilir kesitlerinin denklik sınıflarından (hemen hemen her yerde eşitlikle ilgili olarak) oluşur . Bu, iç çarpımın altındaki bir Hilbert uzayıdır.

${\ displaystyle \ langle s | t \ rangle = \ int _ {X} \ langle s (x) | t (x) \ rangle \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

Tanımımızın yerel doğası göz önüne alındığında, tek Hilbert uzayları için geçerli olan birçok tanım Hilbert uzaylarının ölçülebilir aileleri için de geçerlidir.

Açıklama . Bu tanım görünüşe göre von Neumann tarafından verilen ve Dixmier'in von Neumann cebirleri üzerine klasik tezinde tartışılan tanımdan daha kısıtlayıcıdır. Daha genel tanımda, Hilbert alan lifler H _x (ölçer teorisi anlamda yerel) bir yerel trivyallik gereksinimi olmadan noktadan noktaya değişir izin verilir. Von Neumann teorisinin ana teoremlerinden biri, aslında daha genel tanımın burada verilen daha basit olana indirgenebileceğini göstermektir.

Ölçülebilir bir Hilbert uzayları ailesinin doğrudan integralinin yalnızca μ ölçü biriminin ölçü sınıfına bağlı olduğuna dikkat edin; daha kesin:

Teorem . Farz edelim ki μ, ν, X üzerinde aynı ölçü setlerine sahip olan σ-sonlu sayılabilir toplamsal ölçülerdir. Sonra haritalama

${\ displaystyle s \ mapsto \ sola ({\ frac {\ mathrm {d} \ mu} {\ mathrm {d} \ nu}} \ sağ) ^ {1/2} s}$

üniter bir operatördür

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ nu (x).}$

Misal

Teknik olarak en basit örnekler, X'in sayılabilir bir küme olduğu ve μ'nin ayrı bir ölçü olduğu durumdur. Makale boyunca, X = N ve μ'nin N'de ölçüyü saydığı aşağıdaki çalışan örneği ele alacağız . Bu durumda , ayrılabilir Hilbert uzaylarının herhangi bir dizisi { H _k } ölçülebilir bir aile olarak kabul edilebilir. Dahası,

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ cong \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

Ayrıştırılabilir operatörler

Bizim çalışan örnekte, herhangi bir operatör doğrusal sınırlı T üzerinde

${\ displaystyle H = \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

sonsuz bir matris ile verilir

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & \ cdots & T_ {1n} & \ cdots \\ T_ {21} & T_ {22} & \ cdots & T_ {2n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ T_ {n1} & T_ {n2} & \ cdots & T_ {nn} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ son {bmatrix}}.}$

Blok köşegen olan operatörleri düşünün , yani köşegenin dışındaki tüm girişler sıfırdır. Bu operatörlere ayrıştırılabilir diyoruz . Bu operatörler, köşegen matrislerle gidip gelenler olarak tanımlanabilir:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & \ cdots & 0 & \ cdots \\ 0 & \ lambda _ {2} & \ cdots & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ 0 & \ cdots & \ lambda _ {n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ end {bmatrix}}.}$

Şimdi, genel tanımına edin: sınırlı operatörleri bir ailesi { T _x } _{x ∈ X} ile T _x ∈ L ( H _x ) olduğu söylenir güçlü ölçülebilir , ancak ve ancak her kendi restriksiyon X _{, n} güçlü ölçülebilir. Bu mantıklıdır çünkü H _x X _n üzerinde sabittir .

Esasen sınırlı bir norma sahip ölçülebilir operatör aileleri, yani

${\ displaystyle \ operatorname {ess-sup} _ {x \ in X} \ | T_ {x} \ | <\ infty}$

sınırlı doğrusal operatörler tanımlama

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) \ in \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ { x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

noktasal bir şekilde hareket etmek, yani

${\ displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus } \ s_ {x} d \ mu (x) {\ bigg)} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} (s_ {x}) d \ mu (x).}$

Bu tür operatörlerin ayrıştırılabilir olduğu söylenir .

Ayrıştırılabilen operatörler için örnekler ile tanımlanan bir ölçekleme değerli (yani Cı- -valued) ölçülebilir fonksiyonlar ile ilgili X X . Aslında,

Teorem . Haritalama

${\ displaystyle \ phi: L _ {\ mu} ^ {\ infty} (X) \ rightarrow \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

veren

${\ displaystyle \ lambda \ mapsto \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ \ lambda _ {x} d \ mu (x)}$

görüntüsüne dahil edici bir cebirsel izomorfizmdir.

Bu nedenle L ^∞ _μ ( X ) 'i φ görüntüsü ile tanımlayacağız .

Teorem Ayrıştırılabilir operatörler tam olarak değişmeli cebir L ^∞ _μ ( X ) ' in operatör değişkeni içinde olanlardır .

Abelian von Neumann cebirlerinin ayrışması

Spektral teoremin birçok çeşidi vardır. Özellikle güçlü bir versiyon şu şekildedir:

Teorem . Herhangi bir değişmeli Von Neumann cebri için A ayrılabilir bir Hilbert alanı ile ilgili olarak H , standart Borel boşluk vardır X ve ilgili bir ölçü μ X bunun için bir operatör cebri olarak yekpare olarak eşdeğer olacağı şekilde L ^∞ _{^ ı} ( X doğrudan bir entegrali hareket eden) Hilbert uzayları

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x). \ quad}$

Savunmak için bir için yekpare olarak eşdeğer olan L ^∞ _{^ ı} ( x üniter olduğu bir operatör cebri aracı olarak)

${\ displaystyle U: H \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

öyle ki U A U * köşegen operatörlerinin cebiri L ^∞ _μ ( X ). Bunun, A'nın köşegen operatörlerin cebiriyle cebirsel eşdeğerliğinden daha fazlasını öne sürdüğüne dikkat edin.

Ancak bu sürüm, temeldeki standart Borel alanı X'in nasıl elde edildiğini açıkça belirtmez . Yukarıdaki ayrıştırma için benzersiz bir sonuç vardır.

Teorem . Abelian von Neumann cebiri A birimsel olarak hem L ^∞ _μ ( X ) hem de L ^∞ _ν ( Y ) ' ye ^eşitse , doğrudan integral uzaylara etki eder

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x), \ quad \ int _ {Y} ^ {\ oplus} K_ {y} d \ nu (y)}$

ve μ, ν standart ölçülerdir, sonra bir Borel izomorfizmi vardır

${\ displaystyle \ varphi: XE \ rightarrow YF}$

burada E , F boş kümelerdir, öyle ki

${\ displaystyle K _ {\ phi (x)} = H_ {x} \ quad {\ mbox {neredeyse her yerde}}}$

φ bir ölçü sınıfı izomorfizmidir, yani φ ve onun ters korunan ölçü kümeleri 0'dır.

Bu önceki iki teorem, ayrılabilir Hilbert uzayları üzerindeki Abelian von Neumann cebirlerinin tam sınıflandırmasını sağlar. Bu sınıflandırmanın gerçekte von Neumann cebirinin bir operatör cebiri olarak gerçekleşmesini hesaba kattığına dikkat edin. Altta yatan von Neumann cebirini, bir von Neumann cebiri olarak gerçekleştirilmesinden bağımsız olarak ele alırsak, yapısı çok basit ölçü-teorik değişmezler tarafından belirlenir.

Von Neumann cebirlerinin doğrudan integralleri

{ H _x } _{x ∈ X} , Hilbert uzaylarının ölçülebilir bir ailesi _olsun . Von Neumann cebirlerinin bir ailesi { A _x } _{x ∈ X} ile

${\ displaystyle A_ {x} \ subseteq \ operatorname {L} (H_ {x})}$

ölçülebilir , ancak ve ancak bir sayılabilir grubu olduğu D noktasal {ürettiğini ölçülebilir operatör ailelerinin bir _x } _{x ∈ X} aşağıdaki anlamda bir Von Neumann cebri olarak: neredeyse bütün x ∈ X ,

${\ displaystyle \ operatorname {W ^ {*}} (\ {S_ {x}: S \ D \}) = A_ {x}}$

W * ( S ), S kümesi tarafından üretilen von Neumann cebirini gösterir . { A _x } _{x ∈ X} ölçülebilir bir von Neumann cebir ailesiyse, von Neumann cebirlerinin doğrudan integrali

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

formun tüm operatörlerinden oluşur

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} T_ {x} d \ mu (x)}$

için , T _x ∈ bir _X .

Orijinal makale serilerindeki von Neumann ve Murray'in ana teoremlerinden biri, ayrıştırma teoreminin bir kanıtıdır: Herhangi bir von Neumann cebiri, faktörlerin doğrudan integralidir. Bunu tam olarak aşağıda belirtiyoruz.

Teorem . { A _x } _{x ∈ X} , von Neumann cebirlerinin ölçülebilir bir ailesiyse ve μ standartsa, operatör değişkeni ailesi de ölçülebilir ve

${\ displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} '= \ int _ {X} ^ {\ oplus} A'_ {x} d \ mu (x).}$

Merkezi ayrışma

A'nın bir von Neumann cebiri olduğunu varsayalım . izin Z ( A ) olduğu merkezi bir A operatörlerin kümesidir, A her operatörlerle gidip bu bir , olduğu

${\ displaystyle \ mathbf {Z} (A) = A \ cap A '}$

Z ( A ), bir Abelian von Neumann cebiridir.

Örnek . L ( H ) 'nin merkezi 1 boyutludur. Genel olarak, eğer A bir von Neumann cebiriyse, merkez 1 boyutluysa , A'nın bir faktör olduğunu söyleriz .

Şimdi varsayalım bir bunun merkezi bir Von Neumann cebir az ikili ortogonal sıfır olmayan çıkıntılar {bir dizi içerdiğini e _i } _{i ∈ N} şekilde

${\ displaystyle 1 = \ toplam _ {i \ in \ mathbb {N}} E_ {i}}$

Daha sonra bir E _I aralığı üzerinde Von Neumann cebir H _i arasında E _i . A E _i'nin bir faktör olduğunu görmek kolaydır . Böylece bu özel durumda

${\ displaystyle A = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} AE_ {i}}$

A'yı doğrudan faktörlerin toplamı olarak temsil eder . Bu, von Neumann'ın merkezi ayrışma teoreminin özel bir durumudur.

Genel olarak, Z ( A ) 'yı skaler köşegen operatörlerin bir cebiri olarak temsil eden Abelian von Neumann cebirlerinin yapı teoremini uygulayabiliriz . Bu tür herhangi bir temsilde, A'daki tüm operatörler ayrıştırılabilir operatörlerdir. Aslında, bunu von Neumann'ın herhangi bir von Neumann cebirinin faktörlere ayrışmayı kabul ettiğinin temel sonucunu kanıtlamak için kullanabiliriz.

Teorem . Varsayalım

${\ displaystyle H = \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

H'nin doğrudan integral ayrışmasıdır ve A , H üzerindeki bir von Neumann cebiridir, böylece Z ( A ), X'in standart bir Borel uzayı olduğu L ^∞ _μ ( X ) skaler köşegen operatörlerinin cebiri ile temsil edilir . Sonra

${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

neredeyse tüm x ∈ X için , A _x bir faktör olan bir von Neumann cebiridir .

Ölçülebilir temsil aileleri

Eğer bir ayrılabilir C * cebiri, biz olmayan dejenere * -representations ölçülebilir ailelerini düşünebiliriz A ; A'nın bir birimi olması durumunda dejenerasyonsuzluğun birim korumaya eşdeğer olduğunu hatırlayın . Yerel olarak kompakt bir grup G'nin güçlü bir şekilde sürekli üniter temsilleri ile C * -algebra C * ( G ) gruplarının dejenere olmayan * temsilleri arasında var olan genel yazışma ile, C * -algebralar için teori hemen bir ayrıştırma teorisi sağlar. ayrılabilir yerel olarak kompakt grupların temsilleri.

Teorem . Let bir ayrılabilir bir Cı * cebiri ve π dejenere olmayan bir involutive temsili olarak A ayrılabilir bir Hilbert alanı üzerine H . W * (π ), bir ∈ A için π ( a ) operatörleri tarafından üretilen von Neumann cebiri olsun . Daha sonra standart bir ölçü uzayında ( X , μ) herhangi bir merkezi ayrışmaya karşılık gelen W * ( stated) (belirtildiği gibi, bir ölçü teorik anlamda benzersizdir), ölçülebilir bir faktör temsilleri ailesi vardır.

${\ displaystyle \ {\ pi _ {x} \} _ {x \ X içinde}}$

arasında bir şekildedir

${\ displaystyle \ pi (a) = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ pi _ {x} (a) d \ mu (x), \ quad \ A'daki tüm a \ için}$

Ayrıca, bir alt grubu vardır , N ve X μ ölçümü sıfır ile π şekilde _X , π _y ayrık ne zaman x , y ∈ X - N temsilleri olduğu söylenir, ayrık ve eğer hiçbir olmaması durumunda birbirine geçmesi operatörler aralarında .

Bunun doğrudan bir yekpare olarak adlandırılan endeksli edilebileceği gösterilebilir yarı spektrumlu Q ve A faktör temsilleri yarı-denklik sınıfları oluşan A . Bu nedenle standart bir ölçüsü μ olduğu Q ve endeksli faktör temsilleri ölçülebilir ailesi Q π, öyle ki _x sınıfına aittir x . Bu ayrışma esasen benzersizdir. Bu sonuç, grup temsilleri teorisinde temeldir.

Referanslar

• J. Dixmier , Von Neumann cebirleri , ISBN   0-444-86308-7
• J. Dixmier, C * cebirleri ISBN   0-7204-0762-1
• GW Mackey , The Theory of Unitary Group Representations , The University of Chicago Press, 1976.
• J. von Neumann , Ring of Operators. İndirgeme Teorisi Matematik Yıllıkları 2. Ser., Cilt. 50, No. 2 (Nisan 1949), s. 401–485.
• Masamichi Alıraki Operatör Cebirleri Teorisi I, II, III ", matematik bilimleri ansiklopedisi, Springer-Verlag, 2001–2003 (ilk cilt, 1. Baskı'da 1979'da yayınlandı) ISBN   3-540-42248-X