Delta yöntemi - Delta method

Olarak istatistik , delta metodu yaklaşık ilişkin bir sonucudur olasılık dağılımını bir için fonksiyon bir bölgesinin asimptotik normal bir istatistiksel tahmincisi sınırlayıcı bilgisinden varyans bu kestiricinin.

Tarih

Delta yöntemi, hatanın yayılmasından türetildi ve arkasındaki fikir 19. yüzyılın başlarında biliniyordu. İstatistiksel uygulaması TL Kelley tarafından 1928 yılına kadar izlenebilir . Yöntemin resmi bir açıklaması 1935'te JL Doob tarafından sunuldu . Robert Dorfman ayrıca 1938'de onun bir versiyonunu da tanımladı.

Tek değişkenli delta yöntemi

Delta yöntemi çok değişkenli bir ortama kolayca genelleşirken, tekniğin dikkatli motivasyonu tek değişkenli terimlerle daha kolay gösterilebilir. Kabaca, $X$ $n'nin$ tatmin edici bir rastgele değişken dizisi varsa

{\ displaystyle {{\ sqrt {n}} [X_ {n} - \ theta] \, {\ xrightarrow {D}} \, {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2})}, }

nerede θ ve σ ² sonlu sabitlerini değerlenen ve belirtir dağılımındaki yakınlaşma sonra, ${\ displaystyle {\ xrightarrow {D}}}$

{\ displaystyle {{\ sqrt {n}} [g (X_ {n}) - g (\ theta)] \, {\ xrightarrow {D}} \, {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2} \ cdot [g '(\ theta)] ^ {2})}}

$g '$ $($ $θ$ $)$ $'$ $nin$ var olduğu ve sıfır olmayan değerli olduğu özelliğini sağlayan herhangi bir g işlevi için .

Tek değişkenli durumda kanıt

Bu sonucun gösterilmesi, $g ' (θ) '$ nin sürekli olduğu varsayımı altında oldukça basittir . Başlamak için, ortalama değer teoremini kullanıyoruz (yani: Taylor teoremini kullanan bir Taylor serisinin birinci derece yaklaşımı ):

{\ displaystyle g (X_ {n}) = g (\ theta) + g '({\ tilde {\ theta}}) (X_ {n} - \ theta),}

$X$ $n$ ve θ arasında nerede bulunur . Not beri ve , bu olmalıdır çünkü ve $g '$ $($ $θ$ $)$ , sürekli uygulama , sürekli dönüşüm teoremi verimleri ${\ displaystyle {\ tilde {\ teta}}}$ ${\ displaystyle X_ {n} \, {\ xrightarrow {P}} \, \ theta}$ ${\ displaystyle | {\ tilde {\ teta}} - \ teta | <| X_ {n} - \ teta |}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ theta}} \, {\ xrightarrow {P}} \, \ theta}$

{\ displaystyle g '({\ tilde {\ theta}}) \, {\ xrightarrow {P}} \, g' (\ theta),}

nerede O anlamına gelir olasılık yakınsama . ${\ displaystyle {\ xrightarrow {P}}}$

Koşulları yeniden düzenlemek ve verir ile çarpmak ${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$

{\ displaystyle {\ sqrt {n}} [g (X_ {n}) - g (\ theta)] = g '\ sol ({\ tilde {\ teta}} \ sağ) {\ sqrt {n}} [ X_ {n} - \ theta].}

Dan beri

{\ displaystyle {{\ sqrt {n}} [X_ {n} - \ theta] {\ xrightarrow {D}} {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2})}}

varsayım tarafından, bu kadar itiraz hemen ardından gelmesi Slutsky teoremi o

{\ displaystyle {{\ sqrt {n}} [g (X_ {n}) - g (\ theta)] {\ xrightarrow {D}} {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2} [ g '(\ theta)] ^ {2})}.}

Bu, kanıtı tamamlıyor.

Açık bir yaklaşım sırasına sahip kanıt

Alternatif olarak, yaklaştırma sırasını elde etmek için sonuna bir adım daha eklenebilir :

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ sqrt {n}} [g (X_ {n}) - g (\ theta)] & = g '\ sol ({\ tilde {\ theta}} \ sağ) { \ sqrt {n}} [X_ {n} - \ theta] = {\ sqrt {n}} [X_ {n} - \ theta] \ left [g '({\ tilde {\ theta}}) + g' (\ theta) -g '(\ theta) \ sağ] \\ & = {\ sqrt {n}} [X_ {n} - \ theta] \ left [g' (\ theta) \ sağ] + {\ sqrt {n}} [X_ {n} - \ theta] \ left [g '({\ tilde {\ theta}}) - g' (\ theta) \ sağ] \\ & = {\ sqrt {n}} [ X_ {n} - \ theta] \ left [g '(\ theta) \ right] + O_ {p} (1) \ cdot o_ {p} (1) \\ & = {\ sqrt {n}} [X_ {n} - \ theta] \ left [g '(\ theta) \ sağ] + o_ {p} (1) \ end {hizalı}}}

Bu, yaklaşımdaki hatanın olasılıkta 0'a yakınsadığını gösterir.

Çok değişkenli delta yöntemi

Tanım olarak, bir tutarlı tahmin B olasılık yakınsak gerçek değeri P , ve genellikle bir merkezi sınır teoremi elde etmek üzere uygulanabilir asimptotik normallik :

{\ displaystyle {\ sqrt {n}} \ sol (B- \ beta \ sağ) \, {\ xrightarrow {D}} \, N \ sol (0, \ Sigma \ sağ),}

burada n gözlemlerin sayısıdır ve Σ bir (simetrik pozitif yarı kesin) kovaryans matrisidir. Tahmin edicinin B skaler değerli bir fonksiyonunun h varyansını tahmin etmek istediğimizi varsayalım . Sadece ilk iki dönem tutulması Taylor serisi ve vektör notasyon kullanılarak gradyan biz tahmin edilebilir h (B) olarak

{\ Displaystyle h (B) \ yaklaşık h (\ beta) + \ nabla h (\ beta) ^ {T} \ cdot (B- \ beta)}

h (B) ' nin varyansının yaklaşık olarak olduğu anlamına gelir

{\ displaystyle {\ başlar {hizalı} \ operatöradı {Var} \ sol (h (B) \ sağ) & \ yaklaşık \ operatöradı {Var} \ sol (h (\ beta) + \ nabla h (\ beta) ^ { T} \ cdot (B- \ beta) \ sağ) \\ & = \ operatöradı {Var} \ left (h (\ beta) + \ nabla h (\ beta) ^ {T} \ cdot B- \ nabla h ( \ beta) ^ {T} \ cdot \ beta \ right) \\ & = \ operatorname {Var} \ left (\ nabla h (\ beta) ^ {T} \ cdot B \ right) \\ & = \ nabla h (\ beta) ^ {T} \ cdot \ operatöradı {Cov} (B) \ cdot \ nabla h (\ beta) \\ & = \ nabla h (\ beta) ^ {T} \ cdot (\ Sigma) \ cdot \ nabla h (\ beta) \ end {hizalı}}}

Bir kullanabilir ortalama değer teoremini bu birinci dereceden yaklaşım alarak güvenmek olmadığını görmek için (birçok değişkenin reel değerli fonksiyonlar için).

Delta yöntemi bu nedenle şunu ima eder:

{\ displaystyle {\ sqrt {n}} \ sol (h (B) -h (\ beta) \ sağ) \, {\ xrightarrow {D}} \, N \ sol (0, \ nabla h (\ beta) ^ {T} \ cdot \ Sigma \ cdot \ nabla h (\ beta) \ sağ)}

veya tek değişkenli terimlerle,

{\ displaystyle {\ sqrt {n}} \ sol (h (B) -h (\ beta) \ sağ) \, {\ xrightarrow {D}} \, N \ sol (0, \ sigma ^ {2} \ cdot \ left (h ^ {\ prime} (\ beta) \ sağ) ^ {2} \ sağ).}

Örnek: iki terimli oran

Varsayalım X _n olan binom parametrelerle ve n . Dan beri ${\ displaystyle p \ in (0,1]}$

{\ displaystyle {{\ sqrt {n}} \ sol [{\ frac {X_ {n}} {n}} - p \ sağ] \, {\ xrightarrow {D}} \, N (0, p (1 -p))},}

Delta yöntemini $g (θ) = log (θ) ile$ uygulayabiliriz.

{\ displaystyle {{\ sqrt {n}} \ sol [\ log \ sol ({\ frac {X_ {n}} {n}} \ sağ) - \ log (p) \ sağ] \, {\ xrightarrow { D}} \, N (0, p (1-p) [1 / p] ^ {2})}}

Bu nedenle, herhangi bir sonlu n için varyansı gerçekte mevcut olmasa bile ( X _n sıfır olabileceğinden), asimptotik varyansı vardır ve eşittir ${\ displaystyle \ log \ sol ({\ frac {X_ {n}} {n}} \ sağ)}$ ${\ displaystyle \ log \ sol ({\ frac {X_ {n}} {n}} \ sağ)}$

{\ displaystyle {\ frac {1-p} {np}}.}

Çünkü bu Not p> 0 , olarak , bu olasılık bir yakınsak olan, büyük için sonlu n . ${\ displaystyle \ Pr \ sol ({\ frac {X_ {n}} {n}}> 0 \ sağ) \ sağarrow 1}$ ${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle \ log \ sol ({\ frac {X_ {n}} {n}} \ sağ)}$

Ayrıca, sırasıyla n ve m boyutlarındaki bağımsız örneklerden farklı grup oranlarının tahminleri ve bu tahminler ise, tahmin edilen göreceli riskin logaritması, şuna eşit asimptotik varyansa sahiptir. ${\ displaystyle {\ şapka {p}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {q}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ hat {p}} {\ hat {q}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {1-p} {p \, n}} + {\ frac {1-q} {q \, m}}.}

Bu, bir hipotez testi oluşturmak veya göreli risk için bir güven aralığı oluşturmak için kullanışlıdır.

Alternatif form

Delta yöntemi genellikle, yukarıda esas olarak aynı olan bir formda kullanılır, ancak varsayımı olmadan $X N$ ya da B asimptotik normaldir. Genellikle tek bağlam, varyansın "küçük" olmasıdır. Sonuçlar daha sonra sadece dönüştürülmüş büyüklüklerin ortalamalarına ve kovaryanslarına yaklaşık değerler verir. Örneğin Klein'da (1953, s. 258) sunulan formüller şunlardır:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Var} \ left (h_ {r} \ right) = & \ sum _ {i} \ sol ({\ frac {\ kısmi h_ {r}} {\ kısmi B_ {i}}} \ sağ) ^ {2} \ operatöradı {Var} \ left (B_ {i} \ right) + \ sum _ {i} \ sum _ {j \ neq i} \ left ({\ frac { \ kısmi h_ {r}} {\ kısmi B_ {i}}} \ sağ) \ left ({\ frac {\ kısmi h_ {r}} {\ kısmi B_ {j}}} \ sağ) \ operatöradı {Cov} \ left (B_ {i}, B_ {j} \ sağ) \\\ operatör adı {Cov} \ left (h_ {r}, h_ {s} \ sağ) = & \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ kısmi h_ {r}} {\ kısmi B_ {i}}} \ sağ) \ left ({\ frac {\ kısmi h_ {s}} {\ kısmi B_ {i}}} \ sağ) \ operatöradı { Var} \ left (B_ {i} \ sağ) + \ sum _ {i} \ sum _ {j \ neq i} \ left ({\ frac {\ kısmi h_ {r}} {\ kısmi B_ {i}} } \ sağ) \ left ({\ frac {\ kısmi h_ {s}} {\ kısmi B_ {j}}} \ sağ) \ operatöradı {Cov} \ sol (B_ {i}, B_ {j} \ sağ) \ end {hizalı}}}

burada $h r$ olan R elemanı inci saat ( B ) ve B _i olan I inci eleman B .

İkinci dereceden delta yöntemi

Tüm $g ' (θ) = 0$ ö yöntem uygulanamaz. Bununla birlikte, $g ' ' (θ)$ varsa ve sıfır değilse, ikinci dereceden delta yöntemi uygulanabilir. Taylor açılımına göre, varyansın 4. momentine kadar dayanır . ${\ displaystyle {\ sqrt {n}} [g (X_ {n}) - g (\ theta)] = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {n}} [X_ {n} - \ teta] ^ {2} \ sol [g '' (\ theta) \ sağ] + o_ {p} (1)}$ ${\ displaystyle g \ sol (X_ {n} \ sağ)}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$

İkinci dereceden delta yöntemi, numune boyutu küçük olduğunda dağılımın daha doğru bir yaklaşımının gerçekleştirilmesinde de yararlıdır . . Örneğin , standart normal dağılım takip edildiğinde , standart bir normalin ağırlıklı toplamı ve serbestlik derecesi 1 olan bir ki-kare olarak yaklaşık olarak tahmin edilebilir. ${\ displaystyle g \ sol (X_ {n} \ sağ)}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n}} [g (X_ {n}) - g (\ theta)] = {\ sqrt {n}} [X_ {n} - \ theta] g '(\ theta) + { \ frac {1} {2}} {\ sqrt {n}} [X_ {n} - \ theta] ^ {2} g '' (\ theta) + o_ {p} (1)}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$ ${\ displaystyle g \ sol (X_ {n} \ sağ)}$

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

Oehlert, GW (1992). "Delta Yöntemi Üzerine Bir Not". Amerikan İstatistikçi . 46 (1): 27–29. doi : 10.1080 / 00031305.1992.10475842 . JSTOR 2684406 .
Wolter, Kirk M. (1985). "Taylor Serisi Yöntemleri" . Varyans Tahminine Giriş . New York: Springer. s. 221–247. ISBN 0-387-96119-4 .

Dış bağlantılar

Asmussen, Søren (2005). "Delta Yönteminin Bazı Uygulamaları" (PDF) . Ders notları . Aarhus Üniversitesi.
Feiveson, Alan H. "Delta yönteminin açıklaması" . Stata Corp.
Xu, Jun; Long, J. Scott (22 Ağustos 2005). "Öngörülen Olasılıklar, Oranlar ve Kesikli Değişiklikler için Güven Aralıklarını Oluşturmak için Delta Yöntemini Kullanma" (PDF) . Ders notları . Indiana Üniversitesi.

Languages

In other projects