Klik grafiği - Clique graph
Olarak grafik teorisi , bir klik grafik bir bölgesinin yönsüz grafik G bir grafiktir K ( G yapısını ifade etmektedir) cliques içinde G .
Klik grafikleri en azından 1968 kadar erken bir tarihte tartışıldı ve 1971'de klik grafiklerinin bir karakterizasyonu verildi.
Resmi tanımlama
Bir klik bir grafik G bir dizi X, köşeler G belirgin tepe noktaları her çifti bu özelliği ile , X bitişik olan G . Bir grafik maksimal bir klik G, bir klik olan X, köşeler G bir klik olduğu şekilde, Y, bir köşe G tümünü içeren X ve en az bir başka tepe noktasına.
Bir G grafiği verildiğinde , onun klik grafiği K ( G ) şöyle bir grafiktir:
- her bir köşe K ( G ) 'in bir maksimal klik temsil G ; ve
- iki köşe K ( G ) bitişik olduğunda altında yatan klikler G ortak olan en az bir tepe payı.
Klik grafik K ( G ) ayrıca şu şekilde karakterize edilebilir kesişme grafik maksimal cliques G .
karakterizasyon
Bir grafik H klik grafiktir K ( G koleksiyonu vardır, ancak ve ancak bir grafiğin) C de cliques H birliği kapakları tüm kenarları H , öyle ki, C , bir oluşturur Helly ailesi . Eğer, bu araçlar S bir alt kümesidir C arasında her iki üyesi olduğu özelliği ile S boş olmayan bir kesişim, daha sonra S kendisi de boş olmayan bir kavşak sahip olmalıdır. Bununla birlikte, C'deki klikler mutlaka maksimum klikler olmak zorunda değildir.
Zaman , H = K ( G ), bir aile Cı bu tür imal edilebilir ki burada her bir klik C bir tepe kısmına tekabül v olarak G , ve klikler oluşur G ihtiva hac . Bu kliklerin hepsinin kesişme noktalarında v vardır, bu nedenle H'de bir klik oluştururlar . Bu şekilde oluşturulan C ailesi Helly özelliğine sahiptir, çünkü ikili boş olmayan kesişmelere sahip herhangi bir C alt ailesi, alt ailenin kesişimine ait olan bir maksimum kliğe genişletilebilen G'deki bir kliğe karşılık gelmelidir .
Tersine, H , bir Helly ailesi vardır C tüm kenarlarını kaplayan cliques, H , o zaman klik grafiktir K ( G bir grafiktir için) G köşeleriyse ayrık birleşimi köşeler H ve unsurları C . Bu G grafiği , C'deki boş olmayan kesişimli her bir klik çifti için ve H'nin bir tepe noktasının her bir çifti ve C'de onu içeren bir klik için bir kenara sahiptir . Bununla birlikte, tepe nokta çiftleri bağlayan herhangi kenarlar içermeyen H . Bu G grafiğindeki maksimal kliklerin her biri , onu içeren C'deki tüm kliklerle birlikte H'nin bir tepe noktasından oluşur ve kesişim grafikleri H ile eşbiçimlidir .
Bununla birlikte, bu karakterizasyon verimli algoritmalara yol açmaz: belirli bir grafiğin bir klik grafiği olup olmadığını tanıma sorunu NP-tamamlanmıştır .