Bethe ansatz - Bethe ansatz

Olarak fizik , Bethe Ansatz bir olan Ansatz bazı tek boyutlu kuantum çok vücut modelini tam dalga fonksiyonlarını bulmak için,. Tek boyutlu antiferromanyetik Heisenberg modeli Hamiltonian'ın tam özdeğerlerini ve özvektörlerini bulmak için 1931'de Hans Bethe tarafından icat edildi . O zamandan beri yöntem bir boyutta diğer modellere genişletildi: (anizotropik) Heisenberg zinciri (XXZ modeli), Lieb-Liniger etkileşimli Bose gazı , Hubbard modeli , Kondo modeli , Anderson kirlilik modeli , Richardson modeli vb. .

Tartışma

Çok cisimli kuantum mekaniği çerçevesinde , Bethe ansatz tarafından çözülebilen modeller, serbest fermiyon modelleri ile karşılaştırılabilir. Serbest bir modelin dinamiğinin tek cisim indirgenebilir olduğu söylenebilir: fermiyonlar ( bozonlar ) için çok cisimli dalga fonksiyonu , tek cisimli dalga fonksiyonlarının simetrik olmayan (simetrikleştirilmiş) ürünüdür. Bethe ansatz tarafından çözülebilen modeller özgür değildir: iki gövdeli sektör, genel olarak momentuma bağlı olan önemsiz olmayan bir saçılma matrisine sahiptir.

Öte yandan, Bethe ansatz tarafından çözülebilen modellerin dinamiği iki gövdeli indirgenebilirdir: çok gövdeli saçılma matrisi, iki gövdeli saçılma matrislerinin bir ürünüdür. Çok cisimli çarpışmalar, iki cisimli çarpışmaların bir dizisi olarak meydana gelir ve çok cisimli dalga fonksiyonu, yalnızca iki cisimli dalga fonksiyonlarından elemanları içeren bir biçimde temsil edilebilir. Çok cisimli saçılma matrisi, ikili saçılma matrislerinin çarpımına eşittir.

Çok cisimli bir dalga fonksiyonu için Bethe ansatz'ın genel formu şu şekildedir:

${\displaystyle \Psi _{M}(j_{1},\cdots ,j_{M})=\prod _{M\geq a>b\geq 1}{\text{sgn}}(j_{a} -j_{b})\sum _{P\in P_{M}}(-1)^{[P]}e^{i\sum _{a=1}^{M}k_{P_{a} }j_{a}+{\frac {i}{2}}\sum _{M\geq a>b\geq 1}\mathrm {sgn} (j_{a}-j_{b})\phi (k_ {P_{a}},k_{P_{b}})}}$

ki burada parçacıkların sayısı konumları, tamsayılar tüm permütasyon grubu olduğu , bir (yarı-) momentum inci parçacık, bir dağıtma faz kayması fonksiyonu ve bir işaret işlevi . Bu form evrenseldir (en azından iç içe olmayan sistemler için), momentum ve saçılma fonksiyonları modele bağlıdır. ${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle j_{a},a=1,\cdots M}$${\görüntüleme stili P_{M}}$${\ Displaystyle 1,\cdots ,M}$${\görüntüleme stili k_{a}}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili\phi }$${\displaystyle \mathrm {sgn} }$

Yang-Baxter denklemi inşaat tutarlılığını garanti eder. Pauli ilkesi modelleri bile etkileşim modelleri için, Bethe Ansatz tarafından çözülebilir için geçerlidir bozonlar .

Temel durum bir Fermi küresi . Periyodik sınır koşulları , Bethe ansatz denklemlerine yol açar. Logaritmik biçimde Bethe ansatz denklemleri Yang eylemiyle üretilebilir . Bethe dalga fonksiyonunun normunun karesi, Yang eyleminin ikinci türevlerinin matrisinin determinantına eşittir. Yakın zamanda geliştirilen cebirsel Bethe ansatz , temel ilerlemeye yol açtı ve şunu belirtti:

Kuantum ters saçılma yöntemi ... iyi gelişmiş yöntemi ... doğrusal olmayan evrim denklemlerinin geniş sınıf çözülmesi gereken izin verdi. Bethe ansatz'ın cebirsel doğasını açıklar.

Sözde sd modelinin (1980'de PB Wiegmann tarafından ve bağımsız olarak N. Andrei tarafından, yine 1980'de) ve Anderson modelinin (1981'de PB Wiegmann tarafından ve 1981'de N. Kawakami ve A. Okiji tarafından) kesin çözümleri. ayrıca her ikisi de Bethe ansatz'a dayanmaktadır. Bu iki modelin de kesin çözümlere uygun çok kanallı genellemeleri vardır (N. Andrei ve C. Destri ve CJ Bolech ve N. Andrei tarafından). Son zamanlarda Bethe ansatz tarafından çözülebilen birkaç model, katı hallerde ve optik kafeslerde deneysel olarak gerçekleştirilmiştir. Bu deneylerin teorik açıklamasında önemli bir rol Jean-Sébastien Caux ve Alexei Tsvelik tarafından oynandı.

Örnek: Heisenberg antiferromanyetik zincir

Heisenberg antiferromanyetik zinciri Hamiltonyen ile tanımlanır (periyodik sınır koşulları varsayarak)

${\displaystyle H=J\sum _{j=1}^{N}\mathbf {S} _{j}\cdot \mathbf {S} _{j+1},\qquad \mathbf {S} _{ j+N}\equiv \mathbf {S} _{j}.}$

Bu model Bethe ansatz kullanılarak çözülebilir. Saçılma faz kayması fonksiyonu ile, ki burada impulsu, elverişli olarak reparametrized edilmiş açısından bir hızla . (Burada, periyodik) sınır koşulları, Bethe denklemlerini zorunlu kılar.${\displaystyle \phi (k_{a}(\lambda _{a}),k_{b}(\lambda _{b}))=\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _ {b})}$${\displaystyle \theta _{n}(\lambda )\equiv 2\arctan {\frac {2\lambda }{n}}}$${\displaystyle k(\lambda )=\pi -2\arctan 2\lambda }$ ${\ Displaystyle \ lambda }$

${\displaystyle \sol[{\frac {\lambda _{a}+i/2}{\lambda _{a}-i/2}}\sağ]^{N}=\prod _{b\neq a }^{M}{\frac {\lambda _{a}-\lambda _{b}+i}{\lambda _{a}-\lambda _{b}-i}},\qquad a=1, ...,M}$

veya daha uygun olarak logaritmik biçimde

${\displaystyle \theta _{1}(\lambda _{a})-{\frac {1}{N}}\sum _{b=1}^{M}\theta _{2}(\lambda _ {a}-\lambda _{b})=2\pi {\frac {I_{a}}{N}}}$

kuantum sayılarının çift için farklı yarı-tek tamsayılar, tek için tamsayılar ( tanımlanmış mod ile ) olduğu yerlerde. ${\görüntüleme stili I_{j}}$${\görüntüleme stili NM}$${\görüntüleme stili NM}$${\görüntüleme stili I_{j}}$${\görüntüleme stili (N)}$

kronoloji

• 1928: Werner Heisenberg modelini yayınladı.
• 1930: Felix Bloch , Heisenberg zinciri için Schrödinger denkleminin çözümlerinin sayısını yanlış sayan aşırı basitleştirilmiş bir ansatz önerir.
• 1931: Hans Bethe doğru ansatz'ı önerir ve doğru sayıda özfonksiyon verdiğini dikkatlice gösterir.
• 1938: Lamek Hulthén  [ de ] , Heisenberg modelinin tam temel durum enerjisini elde etti.
• 1958: Raymond Lee Orbach , Heisenberg modelini anizotropik etkileşimlerle çözmek için Bethe ansatz'ı kullanır.
• 1962: J. des Cloizeaux ve JJ Pearson, Heisenberg antiferromagnetinin (spinon dağılım ilişkisi) doğru spektrumunu elde ederek, bunun Anderson'ın spin-dalga teorisi tahminlerinden farklı olduğunu gösterdi (sabit ön faktör farklıdır).
• 1963: Elliott H. Lieb ve Werner Liniger , 1d δ fonksiyonu etkileşimli Bose gazının (şimdi Lieb-Liniger modeli olarak bilinir) kesin çözümünü sunar . Lieb, spektrumu inceler ve iki temel uyarı türü tanımlar.
• 1964: Robert B. Griffiths , sıfır sıcaklıkta Heisenberg modelinin manyetizasyon eğrisini elde etti.
• 1966: CN Yang ve CP Yang , Heisenberg zincirinin temel durumunun Bethe ansatz tarafından verildiğini kesin olarak kanıtladı. ve içindeki özellikleri ve uygulamaları incelerler.
• 1967: CN Yang, Lieb ve Liniger'in Bose gazı ile etkileşen δ-fonksiyonu çözümünü dalga fonksiyonunun keyfi permütasyon simetrisine genelleştirir ve iç içe Bethe ansatz'ı doğurur.
• 1968 Elliott H. Lieb ve FY Wu , 1d Hubbard modelini çözdü.
• 1969: CN Yang ve CP Yang , termodinamik Bethe ansatz'ın (TBA) temelini sağlayan Lieb-Liniger modelinin termodinamiğini elde etti.

Referanslar

Dış bağlantılar

• Bethe Ansatz'a Giriş