İşaret işlevi - Sign function

İşaret işlevi y = sgn x

Gelen matematik , işaret işlevi veya sinyalnum fonksiyonu (dan sinyalnum , Latince "işareti" için) olan tek bir matematiksel fonksiyon özler işaret a reel sayı . Matematiksel ifadelerde işaret işlevi genellikle sgn olarak temsil edilir . Sinüs işleviyle karıştırılmaması için bu işleve genellikle işaret işlevi denir.

Tanım

Gerçek sayı x'in işaret fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır:

${\displaystyle \operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text {if }}x>0.\end{durumlar}}}$

Özellikler

İşaret işlevi x = 0'da sürekli değildir .

Herhangi bir gerçek sayı, mutlak değerinin ve işaret fonksiyonunun ürünü olarak ifade edilebilir :

${\displaystyle x=|x|\operatöradı {sgn} x.}$

O zaman bu izler x 0'a eşit değildir Elimizdeki

${\displaystyle \operatöradı {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.}$

Benzer şekilde, herhangi bir gerçek sayı x için ,

${\displaystyle |x|=x\operatöradı {sgn} x.}$

Şunu da tespit edebiliriz:

${\displaystyle \operatöradı {sgn} x^{n}=(\operatöradı {sgn} x)^{n}.}$

İşaret fonksiyonu, mutlak değer fonksiyonunun sıfırdaki belirsizliğe kadar (ancak dahil değil) türevidir . Daha resmi olarak, entegrasyon teorisinde zayıf bir türevdir ve dışbükey fonksiyon teorisinde 0'daki mutlak değerin alt diferansiyeli [-1, 1] aralığıdır, işaret fonksiyonunu "doldurur" (mutlak değerin alt diferansiyeli 0'da tek değerli değil). Not elde edilen güç x olağan türevine benzer 0 olduğunda , x . Sayılar birbirini götürür ve geriye sadece x'in işareti kalır .

${\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}=\operatöradı {sgn} x{\mbox{ for }}x\neq 0\,.}$

Sinyalnum fonksiyonu her Bu bilinen anlamda 0 ° türevlenebilir değildir 0 ° C'de hariç 0 türevi ile türevlenebilir, ancak farklılaşmanın genel kavramı altında dağıtım teorisi , sinyalnum fonksiyonun türevi iki katıdır Dirac delta fonksiyonu , burada kimlik kullanılarak gösterilebilir

${\displaystyle \operatöradı {sgn} x=2H(x)-1\,,}$

burada H ( x ) , standart H (0) = kullanılarak Heaviside adım fonksiyonudur 1/2formalizm. Bu özdeşliği kullanarak dağılım türevini türetmek kolaydır:

${\displaystyle {\frac {d\operatöradı {sgn} x}{dx}}=2{\frac {dH(x)}{dx}}=2\delta (x)\,.}$

Fourier dönüşümü olan sinyalnum fonksiyonunun

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(\operatöradı {sgn} x)e^{-ikx}dx=\mathrm {pv} {\frac {2}{ik}}}$,

nerede s. v. Cauchy ana değeri anlamına gelir .

Signum, Iverson parantez notasyonu kullanılarak da yazılabilir:

${\displaystyle \operatöradı {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.}$

Signum, kat ve mutlak değer fonksiyonları kullanılarak da yazılabilir :

${\displaystyle \operatöradı {sgn} x={\Biggl \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }-{\Biggl \lfloor }{\frac {-x} {|-x|+1}}{\Biggr \rfloor }\,.}$

For k »1 , işaret fonksiyonunun düzgün tahmindir

${\displaystyle \operatöradı {sgn} x\yaklaşık \tanh kx\,.}$

Başka bir yaklaşım

${\displaystyle \operatöradı {sgn} x\yaklaşık {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}\,.}$

ε → 0 olarak keskinleşen ; bunun √ x ² + ε ^2'nin türevi olduğuna dikkat edin . Bu, yukarıda için eşit tam olmasından esinlenerek Tüm sıfırdan farklı X ise ε = 0 ve örneğin bir işaret işlevi daha yüksek boyutlu analogları (basit genelleme avantajı, kısmi türevleri √ x ² + y ² ).

Bkz. Heaviside adım fonksiyonu – Analitik yaklaşımlar .

karmaşık işaret

Signum işlevi karmaşık sayılara şu şekilde genelleştirilebilir :

${\displaystyle \operatöradı {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}$

z = 0 dışında herhangi bir karmaşık sayı z için . Belirli kompleks numarası sinyalnum z olduğu nokta ile ilgili birim çember ait kompleks düzlemde en yakın z . Daha sonra, z ≠ 0 için ,

${\displaystyle \operatöradı {sgn} z=e^{i\arg z}\,,}$

burada Arg olan kompleks argüman fonksiyon .

Simetri nedenleriyle ve bunu gerçekler üzerinde işaret fonksiyonunun uygun bir genellemesi olarak tutmak için, z = 0 için genellikle tanımlanan karmaşık alanda da :

${\displaystyle \operatöradı {sgn}(0+0i)=0}$

Gerçek ve karmaşık ifadeler için işaret fonksiyonunun bir başka genellemesi, şu şekilde tanımlanan csgn'dir :

${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re } (z)<0,\\\operatöradı {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{durumlar}}}$

burada Re ( Z ) gerçek bir parçasıdır z ve Im ( z ) hayali bir parçasıdır z .

Daha sonra ( z ≠ 0 için ) elde ederiz :

${\displaystyle \operatöradı {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}$

Genelleştirilmiş işaret işlevi

Gerçek değerlerinin de x , bir tanımlamak mümkündür genelleştirilmiş işlev , sinyalnum fonksiyonunun -version ε ( x ) bu şekilde ε ( X ) ² = 1 , her yerde, nokta da dahil olmak üzere x = 0 farklı olarak, SGN , bunun için ( işaret 0) ² = 0 . Bu genelleştirilmiş işaret , genelleştirilmiş fonksiyonların cebirinin oluşturulmasına izin verir , ancak böyle bir genellemenin bedeli, değişmeliliğin kaybıdır . Özellikle, genelleştirilmiş signum, Dirac delta işleviyle ters gidip gelir.

${\displaystyle \varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0~;}$

ayrıca, ε ( x ) x = 0'da değerlendirilemez ; ve ε özel adı, onu sgn işlevinden ayırt etmek için gereklidir . ( ε (0) tanımlı değil, sgn 0 = 0 .)

Ayrıca bakınız

• Mutlak değer
• ağırlık fonksiyonu
• negatif sayı
• dikdörtgen fonksiyon
• Sigmoid işlevi ( Sert sigmoid )
• Adım fonksiyonu ( Parçalı sabit fonksiyon )
• Üç yollu karşılaştırma
• sıfır geçiş

Notlar