Zayıf ölçüm - Weak measurement

Olarak kuantum mekaniği (ve hesaplama ve bilgi ), zayıf ölçümler bir tür kuantum ölçümü gözlemci ile sonuçlanır ortalama sistemi ile ilgili çok az bilgi edinme konularındaki, ama aynı zamanda çok az durum rahatsız eder. Busch'un teoreminden, sistem zorunlu olarak ölçüm tarafından bozulur. Literatürde zayıf ölçümler, keskin olmayan, bulanık, donuk, gürültülü, yaklaşık ve hassas ölçümler olarak da bilinir. Ek olarak, zayıf ölçümler genellikle farklı fakat ilişkili zayıf değer kavramıyla karıştırılır .

Tarih

Zayıf ölçümler ilk olarak kuantum sistemlerinin (yani kuantum filtreleme ve kuantum yörüngeleri ) zayıf sürekli ölçümleri bağlamında düşünülmüştür . Sürekli kuantum ölçümlerinin fiziği aşağıdaki gibidir. Bir kuantum sistemini araştırmak için bir ancilla, örneğin bir alan veya akım kullanmayı düşünün . Sistem ve prob arasındaki etkileşim, iki sistemi ilişkilendirir. Tipik olarak etkileşim, sistem ve yardımcı arasında yalnızca zayıf bir ilişki kurar. (Özellikle, etkileşim ünitesinin pertürbasyon teorisinde sadece birinci veya ikinci mertebeye genişletilmesi gerekir.) Ancilla ölçülerek ve daha sonra kuantum ölçüm teorisi kullanılarak, ölçüm sonuçlarına göre koşullandırılan sistemin durumu belirlenebilir. Güçlü bir ölçüm elde etmek için birçok ancilla birleştirilmeli ve ardından ölçülmelidir. Ancilla sürekliliğinin olduğu sınırda, ölçüm süreci zaman içinde sürekli hale gelir. Bu süreç ilk olarak şu kişiler tarafından tanımlanmıştır: Mensky; Belavkin ; Barchielli, Lanz, Prosperi; Barchielli; Mağaralar ; Mağaralar ve Milburn . Daha sonra Howard Carmichael ve Howard M. Wiseman da alana önemli katkılarda bulunmuştur.

Zayıf bir ölçüm kavramı genellikle Aharonov , Albert ve Vaidman'a yanlış atfedilir . Makalelerinde zayıf bir ölçüm örneğini ele alıyorlar (ve belki de "zayıf ölçüm" ifadesini kullanıyorlar) ve bunu , orada ilk kez tanımladıkları zayıf bir değer tanımını motive etmek için kullanıyorlar .

Matematik

Zayıf bir ölçümün evrensel olarak kabul edilmiş bir tanımı yoktur. Bir yaklaşım, zayıf bir ölçümü, Kraus operatörlerinin bir kısmının veya tamamının özdeşliğe yakın olduğu genelleştirilmiş bir ölçüm olarak ilan etmektir. Aşağıda ele alınan yaklaşım, iki sistemi zayıf bir şekilde etkileşime sokmak ve daha sonra bunlardan birini ölçmektir. Bu yaklaşımı detaylandırdıktan sonra örneklerle açıklayacağız.

Zayıf etkileşim ve yardımcı bağlantılı ölçüm

Kuantum durumunda başlayan bir sistem ve birleşik başlangıç ​​durumu olan durumda başlayan bir ancilla düşünün . Bu iki sistem , ters zaman birimlerine sahip olan "etkileşim gücü" nün olduğu zaman değişimlerini (birimlerde ) üreten Hamiltonian aracılığıyla etkileşime girer. Sabit bir etkileşim süresi varsayın ve bu küçük, öyle ki . Bir dizi genişleme in verir ${\ Displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle }$ ${\görüntüleme stili H=A\otimes B}$${\displaystyle U(t)=\exp[-ixtH]}$${\görüntüleme stili \hbar =1}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili t=\Delta t}$${\displaystyle \lambda =x\Delta t}$${\displaystyle \lambda ^{3}\yaklaşık 0}$${\görüntüleme stili U}$${\ Displaystyle \ lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=I\otimes Ii\lambda H-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}H^{2}+O(\lambda ^{3}) \\&\yaklaşık I\otimes Ii\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}.\end{aligned} }}$

Pertürbasyon teorisinde sadece üniteyi düşük bir mertebeye genişletmek gerekli olduğundan, buna zayıf bir etkileşim diyoruz. Ayrıca, ünitenin baskın olarak kimlik operatörü olduğu ve küçük olduğu gerçeği , etkileşimden sonraki durumun ilk durumdan kökten farklı olmadığını ima eder. Etkileşimden sonra sistemin birleşik durumu ${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle \lambda ^{2}}$

${\displaystyle |\Psi '\rangle =\left(I\otimes Ii\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{ 2}\sağ)|\Psi \rangle .}$

Şimdi, sistem hakkında bilgi edinmek için yardımcı eleman üzerinde bir ölçüm gerçekleştiriyoruz, bu, yardımcı bağlantılı bir ölçüm olarak bilinir. Ölçümleri şu şekilde bir temelde (ancilla sistemi üzerinde) ele alacağız . Her iki sistemdeki ölçümün eylemi, projektörlerin ortak durum üzerindeki eylemiyle tanımlanır . Gönderen kuantum ölçüm teorisi ölçümüdür sonra koşullu durumunu biliyoruz ${\displaystyle |q\range }$${\textstyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$${\displaystyle \Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|}$${\displaystyle |\Psi '\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi _{q}\rangle &={\frac {\Pi _{q}|\Psi '\rangle }{\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _ {q}|\Psi '\rangle }}}\\&={\frac {I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1 }{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }{\mathcal {N}}}|\psi \rangle \otimes |q\rangle ,\end{hizalanmış}}}$

dalga fonksiyonu için bir normalizasyon faktörü nerede . Ancilla sistem durumunun ölçümün sonucunu kaydettiğine dikkat edin. Nesne Hilbert uzayı sistemindeki bir operatördür ve Kraus operatörü olarak adlandırılır . ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2} A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$

Kraus operatörleri ile ilgili olarak, birleşik sistemin ölçüm sonrası durumu şu şekildedir:

${\displaystyle |\Psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\hançer }M_{q}| \psi \rangle }}}\otimes |q\rangle .}$

Nesneler , POVM olarak adlandırılanın öğeleridir ve bunlara karşılık gelen olasılıkların toplamının bir olması için uymaları gerekir : . Ancilla sistemi artık birincil sistemle ilişkili olmadığından, sadece ölçümün sonucunu kaydediyor, onu takip edebiliyoruz . Bunu yapmak, yalnızca birincil sistemin koşullu durumunu verir: ${\displaystyle E_{q}=M_{q}^{\hançer }M_{q}}$${\textstyle \sum _{q}E_{q}=I}$${\textstyle \sum _{q}\Pr(q|\psi )=\sum _{q}\langle \psi |E_{q}|\psi \rangle =1}$

${\displaystyle |\psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\hançer }M_{q}| \psi \rangle }}},}$

hala ölçümün sonucuna göre etiketliyoruz . Gerçekten de, bu düşünceler bir kuantum yörüngesinin türetilmesine izin verir . ${\görüntüleme stili q}$

Örnek Kraus operatörleri

Barchielli, Lanz, Prosperi tarafından verilen Gauss Kraus operatörlerinin kanonik örneğini kullanacağız; ve Mağaralar ve Milburn. Her iki sistemdeki konum ve momentumun olağan Kanonik komütasyon ilişkisine sahip olduğu yeri alın . Gauss dağılımına sahip olmak için ancilla'nın ilk dalga fonksiyonunu alın ${\displaystyle H=x\otimes p}$ ${\görüntüleme stili [x,p]=i}$

${\displaystyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/ (4\sigma ^{2})]|q'\rangle .}$

Ancilla'nın konum dalga fonksiyonu,

${\displaystyle \Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^ {2}/(4\sigma ^{2})].}$

Kraus operatörleri (yukarıdaki tartışmaya kıyasla, biz belirledik ) ${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&=\langle q|\exp[-ix\otimes p]|\Phi \rangle \\&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-(qx)^{2}/(4\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

karşılık gelen POVM elemanları ise

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}E(q)&=M_{q}^{\hançer }M_{q}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2 }}}}\exp[-(qx)^{2}/(2\sigma ^{2})],\end{hizalı}}}$

hangi itaat . Literatürde genellikle alternatif bir temsil görülür. Konum operatörünün spektral gösterimini kullanarak yazabiliriz. ${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dx'\exp[-( q-x')^{2}/(4\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|,\\E(q)&={\frac {1}{\sqrt {2 \pi \sigma ^{2}}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(2\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'| .\end{hizalanmış}}}$

Dikkat edin . Yani, belirli bir limitte bu operatörler güçlü bir konum ölçümü ile sınırlandırırlar; diğer değerler için ölçüme sonlu-kuvvet diyoruz; ve olarak , ölçümün zayıf olduğunu söylüyoruz. ${\textstyle \lim _{\sigma \to 0}E(q)=|x=q\rangle \langle x=q|}$${\görüntüleme stili \sigma }$${\ Displaystyle \ sigma \ to \infty }$

Bilgi-kazanç-bozulma değiş tokuşu

Yukarıda belirtildiği gibi, Busch'un teoremi bedava öğle yemeğini engeller: Kargaşa olmadan bilgi kazanımı olamaz. Bununla birlikte, bilgi kazancı ve rahatsızlık arasındaki değiş tokuş, Fuchs ve Peres dahil olmak üzere birçok yazar tarafından karakterize edilmiştir ; Fuchs; Fuchs ve Jacobs; ve Banaszek.

Son zamanlarda bilgi-kazanç-bozukluk değiş tokuş ilişkisi, "nazik-ölçme lemması" olarak adlandırılan bağlamda incelenmiştir.

Uygulamalar

İlk günlerden beri, zayıf ölçümün birincil kullanımının, kuantum sistemlerinin geri besleme kontrolü veya uyarlanabilir ölçümleri için olacağı açıktı. Aslında bu, Belavkin'in çalışmalarının çoğunu motive etti ve açık bir örnek Caves ve Milburn tarafından verildi. Uyarlanabilir zayıf ölçümlerin erken bir uygulaması, deneysel olarak gerçekleştirilmiş olan Dolinar alıcısınınkiydi. Zayıf ölçümlerin bir başka ilginç uygulaması, diğer genelleştirilmiş ölçümleri sentezlemek için zayıf ölçümlerin ardından üniter, muhtemelen zayıf ölçüm sonucuna bağlı olarak kullanılmasıdır. Wiseman ve Milburn'ün kitabı, modern gelişmelerin çoğu için iyi bir referanstır.

daha fazla okuma

• Brun'ın makalesi
• Jacobs ve Steck'in makalesi
• Kuantum Ölçüm Teorisi ve Uygulamaları, K. Jacobs (Cambridge Press, 2014) ISBN  9781107025486
• Kuantum Ölçümü ve Kontrolü, HM Wiseman ve GJ Milburn (Cambridge Press, 2009)
• Tamir ve Cohen'in makalesi

Referanslar