Tsiolkovsky roket denklemi - Tsiolkovsky rocket equation
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Tsiolkovsky_rocket_equation.svg/220px-Tsiolkovsky_rocket_equation.svg.png)
Bir serinin parçası |
astrodinamik |
---|
![]() |
Tsiolkovsky roket denklemi , klasik roket denklemi veya ideal bir roket denklemi bir temel prensibi takip araçların hareketini tanımlayan matematiksel bir denklem roket kullanarak kendisine ivme uygulayabileceğiniz bir cihaz: itme oranı yüksek bir kütlesinin bir bölümünü kovma tarafından dolayısıyla hız , momentumun korunumu nedeniyle hareket edebilir .
nerede:
- olan delta-v maksimum değişim - hız (hareket herhangi bir dış kuvvetin) düşürme eğilimini doğurur.
- itici gaz da dahil olmak üzere başlangıçtaki toplam kütle , yani ıslak kütledir.
- itici gazsız nihai toplam kütle, yani kuru kütledir.
-
bir etkin egzoz hızı :
- olduğu spesifik darbe süresi ölçülerindedir.
- bir standart yerçekimi .
- olan doğal logaritma fonksiyonu.
Tarih
Denklem, adını bağımsız olarak türeten ve 1903'teki çalışmasında yayınlayan Rus bilim adamı Konstantin Tsiolkovsky'den (Rusça: Константин Циолковский ) almıştır.
Denklem daha önce İngiliz matematikçi William Moore tarafından 1810'da türetilmiş ve daha sonra 1813'te ayrı bir kitapta yayınlanmıştı. Yetenekli bir bilim adamı olan bakan William Leitch de 1861'de bağımsız olarak roketçiliğin temellerini türetmişti.
Amerika'daki Robert Goddard , 1912'de olası uzay uçuşları için roket motorlarını geliştirmek için araştırmalarına başladığında bağımsız olarak denklemi geliştirdi. Avrupa'daki Hermann Oberth , uzay yolculuğunun fizibilitesini incelerken bağımsız olarak 1920 civarında denklemi türetti.
Roket denkleminin türetilmesi basit bir hesap alıştırması olsa da, Tsiolkovsky, roketlerin uzay yolculuğu için gerekli hızlara ulaşıp ulaşamayacağı sorusuna bunu uygulayan ilk kişi olarak onurlandırıldı .
türetme
En popüler türetme
Aşağıdaki sistemi göz önünde bulundurun:
Aşağıdaki türetmede "roket", "roket ve tüm yanmamış itici gaz" anlamına gelir.
Newton'un ikinci hareket yasası, dış kuvvetleri ( ) tüm sistemin (roket ve egzoz dahil) doğrusal momentumundaki değişimle aşağıdaki gibi ilişkilendirir:
roketin o andaki momentumu nerede :
ve roketin momentumu ve o andaki tükenmiş kütle :
ve gözlemciye göre nerede:
roketin o andaki hızı roketin o andaki hızı zaman içinde egzoza eklenen (ve roket tarafından kaybedilen) kütlenin hızıdır. roketin o andaki kütlesi roketin o andaki kütlesi
Egzoz hızı gözlemci çerçevesindeki roket çerçeve içinde egzoz hızı ile ilgili (egzoz hız negatif yönde olduğu için)
Çözüm verimleri:
ve kullanarak , pozitif bir sonuç çıkarmak kütlede bir azalma ile sonuçlandığından,
Eğer dış kuvvetler yoksa ( doğrusal momentumun korunumu ) ve
Sabit olduğunu varsayarsak , bu aşağıdaki gibi entegre edilebilir:
Bu daha sonra verim
Veya eşdeğer olarak
- veya
veya
burada bir itici gaz, dahil olmak üzere ilk toplam kütle son kütle ve roket göre roket egzoz hızına ( belirli bir dürtü ya da çarparak, zaman içinde ölçüldüğünde ağırlık -on-toprak hızlanma).
Değer , harcanan itici gazın toplam çalışma kütlesidir .
( delta v ) roket motoru kullanılarak üretilen ivmenin büyüklüğünün zaman içindeki entegrasyonudur (dış kuvvetler olmasaydı gerçek ivme ne olurdu). Boş uzayda, hız yönünde ivme olması durumunda bu, hızın artmasıdır. Ters yönde bir hızlanma (yavaşlama) durumunda ise hızın azalmasıdır. Elbette yerçekimi ve sürükleme de aracı hızlandırır ve aracın yaşadığı hızdaki değişimi ekleyebilir veya çıkarabilirler. Dolayısıyla delta-v her zaman aracın hızındaki veya hızındaki gerçek değişiklik olmayabilir.
Diğer türevler
dürtü tabanlı
Denklem aynı zamanda kütle üzerindeki kuvvet (itme) biçimindeki ivmenin temel integralinden de türetilebilir. Delta-v denklemini aşağıdaki gibi temsil ederek:
burada T itmedir, ilk (ıslak) kütledir ve ilk kütle eksi son (kuru) kütledir,
ve itme kuvvetinin ilgili tek kuvvet olduğunu varsayarak, zaman içinde ortaya çıkan bir kuvvetin integralinin toplam itme olduğunu fark ederek,
İntegral şu şekilde bulunur:
Kütledeki değişim üzerindeki darbenin, kendisi egzoz hızına eşdeğer olan itici kütle akış hızı (p) üzerindeki kuvvete eşdeğer olduğunu fark ederek,
integral şuna eşitlenebilir
Hızlanma tabanlı
Üzerine hiçbir kuvvet uygulanmadan uzayda hareketsiz duran bir roket hayal edin ( Newton'un Birinci Hareket Yasası ). Roket, motoru çalıştırıldığı andan itibaren (saat 0'a ayarlı) gaz kütlesini sabit bir kütle akış hızında ( R (kg/s) ve rokete göre egzoz hızında v e (m/s) dışarı atar . Bu , roketi iten, R × v e'ye eşit sabit bir F kuvveti yaratır . Roket sabit bir kuvvete tabidir, ancak toplam kütlesi gaz çıkardığı için düzenli olarak azalmaktadır. Göre Newton'un İkinci Kanunu , her zaman en hızlanma t kendi tahrik kuvveti F mevcut kütlesi bölü m :
Şimdi, roketin başlangıçta sahip olduğu yakıt kütlesi m 0 – m f'ye eşittir . Sabit kütle akış hızı R için bu nedenle tüm bu yakıtı yakmak için T = (m 0 – m f )/R zaman alacaktır . Zaman göre denklemin her iki entegre 0 için T (ve bu not , R = dm / dt sağ ikame sağlar) elde ederiz
Sonlu kütle "pelet" sınır dışı etme sınırı
Roket denklemi aynı zamanda, yakıtını pelet formunda ardışık olarak dışarı atan bir roket için hız değişiminin sınırlayıcı durumu olarak da türetilebilir, örneğin, birim yakıt kütlesi başına kazanılan mekanik enerji ile verilecek şekilde, efektif bir egzoz hızı ile .
Roketin kütle merkezi çerçevesinde, bir kütle pelet hızla fırlatılırsa ve roketin kalan kütlesi ise, roketin ve peletin kinetik enerjisini artırmak için dönüştürülen enerji miktarı
- .
Fırlatmadan hemen önce roketin çerçevesinde momentum korunumunu kullanarak , bulduğumuz
- .
Izin gemide ilk yakıt kütle fraksiyonu ve olmak roket ilk yakıt makyaj kütlesi. Toplam yakıt kütlesini, her bir kütlenin ayrı peletlerine bölün . Peletleri fırlattıktan sonra roketin kalan kütlesi daha sonra . Peletleri çıkardıktan sonraki genel hız değişimi , toplam
Paydadaki son terimin büyük olduğuna ve verilmesi ihmal edilebileceğine dikkat edin.
- nerede ve .
Olarak , bu Riemann toplamı belirli integralini olur
- , roketin kalan kütlesi olduğundan .
Özel görelilik
Eğer özel görelilik dikkate alınır, aşağıdaki denklem için elde edilebilir göreli roket ile, yine (tüm reaksiyon kütlesi sürdükten sonra ve bir geri kalan kütlesi düşük olan roketin son hız bekletildikten olarak) referans atalet çerçevesi burada (geri kalan kütle olarak yakıt dahil olmak üzere geri kalan başlayan roket ve başlangıçta) bekletildikten ışık hızı vakum içinde:
Yazma olarak bu denklemi sağlar olarak yeniden düzenlenmesi
Daha sonra, özdeşliği (burada "exp" üstel işlevi ifade eder ; ayrıca bkz. Doğal logaritma ve ayrıca Logaritmik özdeşliklerdeki "güç" özdeşliği ) ve özdeşliği ( bkz. Hiperbolik işlev ) kullanarak, bu şuna eşdeğerdir:
denklemin terimleri
Delta- v
Delta- V (kelimenin tam anlamıyla " değişim olarak hız ") olarak simgelenen Δ v ve belirgin delta vee kullanılan, uzay aracı uçuş dinamiği bir ölçüsü olduğu impuls örneğin aşağıdakilerden başlatılması gibi bir manevra yapmak için gerekli olan, ya da açılış ile bir gezegen veya ay veya uzayda bir yörünge manevrası . Hız birimlerine sahip bir skalerdir . Bu bağlamda kullanıldığı şekliyle, aracın hızındaki fiziksel değişim ile aynı şey değildir .
Delta- v , roket motorları gibi reaksiyon motorları tarafından üretilir ve birim kütle başına itme kuvveti ve yanma süresi ile orantılıdır ve roket denklemi aracılığıyla verilen manevra için gereken itici gaz kütlesini belirlemek için kullanılır .
Çoklu manevralar için delta- v doğrusal olarak toplanır.
Gezegenlerarası misyonları delta için v genellikle üzerinde çizilmiştir porkchop arsa hangi görüntüler gerekli misyon delta v lansman tarihinden bir fonksiyonu olarak.
kütle kesri
Olarak uzay mühendisliği , itici kütle fraksiyonu genellikle aracın performansını bir ölçüsü olarak kullanılan hedefi, ulaşmaz, bir aracın kütlesi kısmıdır. Başka bir deyişle, itici kütle oranı, itici kütle ile aracın ilk kütlesi arasındaki orandır. Bir uzay gemisinde, varış noktası genellikle bir yörünge iken, uçaklar için iniş yeridir. Daha yüksek bir kütle oranı, bir tasarımda daha az ağırlığı temsil eder. İlgili diğer bir ölçü, yük olan ilk ağırlığın kesri olan yük oranıdır.
Etkili egzoz hızı
Efektif egzoz hızı genellikle belirli bir dürtü olarak belirtilir ve birbirleriyle şu şekilde ilişkilidir:
nerede
- saniye cinsinden özgül dürtüdür,
- m/s cinsinden ölçülen özgül darbe, m/s cinsinden ölçülen etkin egzoz hızıyla aynıdır (veya g, ft/sn 2 ise ft/sn ),
- bir standart ağırlık , 9,80665 m / s 2 (içerisinde Imperial birimi 32,174 s / ft 2 ).
uygulanabilirlik
Roket denklemi, roket uçuş fiziğinin temellerini tek bir kısa denklemde yakalar. Aynı zamanda, etkin egzoz hızı sabit olduğunda roket benzeri reaksiyon araçları için de geçerlidir ve etkin egzoz hızı değiştiğinde toplanabilir veya entegre edilebilir. Roket denklemi sadece roket motorundan gelen tepki kuvvetini hesaba katar; aerodinamik veya yerçekimi kuvvetleri gibi bir rokete etki edebilecek diğer kuvvetleri içermez . Bu nedenle, atmosferi olan bir gezegenden fırlatma (veya bu gezegene güçle iniş) için itici yakıt gereksinimini hesaplamak için kullanıldığında, bu kuvvetlerin etkileri delta-V gereksinimine dahil edilmelidir (aşağıdaki Örneklere bakın). "Roket denkleminin zorbalığı" olarak adlandırılan şeyde, roketin taşıyabileceği yük miktarının bir sınırı vardır , çünkü daha yüksek miktarlarda itici gaz toplam ağırlığı artırır ve dolayısıyla yakıt tüketimini de artırır. Denklem, aerobraking , silah fırlatma , uzay asansörleri , fırlatma döngüleri , ipli tahrik veya hafif yelkenler gibi roket dışı sistemler için geçerli değildir .
Roket denklemi, belirli bir yeni yörüngeye geçmek veya belirli bir itici gazın yanması sonucunda yeni yörüngeyi bulmak için ne kadar itici gaz gerektiğini belirlemek için yörünge manevralarına uygulanabilir . Yörünge manevralarına başvururken , itici gazın boşaltıldığı ve anında delta-v'nin uygulandığı itici bir manevra varsayılır . Bu varsayım, orta yol düzeltmeleri ve yörünge yerleştirme manevraları gibi kısa süreli yanıklar için nispeten doğrudur. Yanma süresi arttıkça, manevra süresi boyunca yerçekiminin araç üzerindeki etkisinden dolayı sonuç daha az doğrudur. Elektrikli tahrik gibi düşük itişli, uzun süreli tahrik için, yörünge hareketini tahmin etmek için uzay aracının durum vektörünün yayılmasına ve itmenin entegrasyonuna dayanan daha karmaşık analizler kullanılır.
Örnekler
Saniyede 4,500 metre (15,000 ft/s) ve 9,700 metre/saniye (32,000 ft/s) bir egzoz hızı varsayın ( yerçekimi ve aerodinamik sürtünmenin üstesinden gelmek dahil, Dünya'dan LEO'ya ).
- Tek aşamalı yörüngeye roket: = 0.884, bu nedenle başlangıçtaki toplam kütlenin %88,4'ü itici olmalıdır. Kalan %11,6 motorlar, tank ve faydalı yük içindir.
- Yörüngeye iki aşamalı : birinci aşamanın saniyede 5.000 metre (16.000 ft/sn) sağlaması gerektiğini varsayalım ; = 0.671, bu nedenle ilk toplam kütlenin %67.1'i ilk aşamaya sevk edilmelidir. Kalan kütle %32.9'dur. İlk aşamanın imha edilmesinden sonra, bu %32.9'a eşit bir kütle kalır, eksi ilk aşamanın tank ve motorlarının kütlesi. Bunun ilk toplam kütlenin %8'i olduğunu varsayalım, ardından %24,9'u kalır. İkinci aşama, saniyede 4.700 metre (15.000 ft/sn); = 0,648, bu nedenle kalan kütlenin %64,8'i itici olmalıdır, bu orijinal toplam kütlenin %16.2'sidir ve ikinci aşamanın tank ve motorları, faydalı yük ve bir uzay mekiği durumunda %8,7 kalır , ayrıca yörünge aracı. Böylece orijinal fırlatma kütlesinin %16.7'si birlikte tüm motorlar, tanklar ve faydalı yük için kullanılabilir.
Aşamalar
Roket aşamalarının sıralı olarak itilmesi durumunda , denklem her aşama için geçerlidir; burada her aşama için denklemdeki ilk kütle, önceki aşamayı attıktan sonra roketin toplam kütlesidir ve denklemdeki son kütle, toplam kütledir. roketin ilgili aşamayı atmadan hemen önce. Her aşama için özgül dürtü farklı olabilir.
Örneğin, bir roketin kütlesinin %80'i birinci kademenin yakıtı ve %10'u birinci kademenin kuru kütlesi ve %10'u kalan roket ise, o zaman
Üç benzer, ardından her aşama için aynı olan daha küçük aşamalarla ,
ve yük %10 × %10 × %10 = ilk kütlenin %0,1'idir.
Yine %0.1 taşıma yüküne sahip karşılaştırılabilir bir SSTO roketi, yakıt tankları ve motorlar için %11,1 ve yakıt için % 88,8'lik bir kütleye sahip olabilir. Bu
Yeni bir kademenin motoru, bir önceki kademe atılmadan önce ateşlenirse ve aynı anda çalışan motorlar farklı bir özgül dürtüye sahipse (sık sık katı roket güçlendiricilerde ve sıvı yakıt kademesinde olduğu gibi), durum daha karmaşıktır.
Yaygın yanlış anlamalar
Değişken kütleli bir sistem olarak bakıldığında , bir roket Newton'un ikinci hareket yasasıyla doğrudan analiz edilemez çünkü yasa yalnızca sabit kütleli sistemler için geçerlidir. Tsiolkovsky roket denkleminin göreli kuvvet denklemine benzemesi kafa karışıklığına neden olabilir . Bu formülü roketin değişen kütlesi olarak kullanmak , Tsiolkovsky roket denklemini türetiyor gibi görünüyor, ancak bu türetme doğru değil. Etkili egzoz hızının bu formülde bile görünmediğine dikkat edin .
Ayrıca bakınız
- Delta-v bütçesi
- Kütle oranı
- Bir yerçekimi kuyusunda delta-v uygulayan Oberth etkisi , son hızı arttırır
- göreli roket
- yörüngelerin tersine çevrilebilirliği
- uzay aracı tahriki
- Değişken kütleli sistemler
- çalışma kütlesi
- Robert Goddard , dikey uçuşta yerçekimi ve sürükleme terimlerini ekledi