Transfer fonksiyonu matrisi - Transfer function matrix

Olarak kontrol sistemi teorisi ve mühendislik, bir çeşitli dallarında transfer fonksiyonu matris , ya da sadece taşıma matrisi bir genellemedir transfer fonksiyonlarının bir tek girişli tek çıkış (SISO) için sistem çok-girişli ve çok sayıda çıkış (MIMO) sistemleri . Matris olarak girişlerine sisteminin çıktılarının ilişkindir. Doğrusal zamanla değişmeyen (LTI) sistemler için özellikle kullanışlı bir yapıdır çünkü s-düzlemi cinsinden ifade edilebilir .

Bazı sistemlerde, özellikle tamamen pasif bileşenlerden oluşan sistemlerde, hangi değişkenlerin girdi, hangilerinin çıktı olduğu belirsiz olabilir. Elektrik mühendisliğinde, ortak bir şema, hangi giriş veya çıkış olduğuna bakılmaksızın tüm voltaj değişkenlerini bir tarafta ve tüm akım değişkenlerini diğer tarafta toplamaktır. Bu, transfer matrisinin tüm elemanlarının empedans birimlerinde olmasıyla sonuçlanır . Empedans kavramı (ve dolayısıyla empedans matrisleri), analoji yoluyla, özellikle mekanik ve akustik olmak üzere diğer enerji alanlarına ödünç alınmıştır.

Birçok kontrol sistemi birkaç farklı enerji alanını kapsar. Bu, karışık birimlerdeki elemanlara sahip transfer matrislerini gerektirir. Bu, hem alanlar arasında bağlantı kuran dönüştürücüleri tanımlamak hem de sistemi bir bütün olarak tanımlamak için gereklidir. Matris, sistemdeki enerji akışlarını uygun şekilde modelleyecekse, buna izin vermek için uyumlu değişkenler seçilmelidir.

Genel

m çıkışlı ve n girişli bir MIMO sistemi, bir m × n matrisi ile temsil edilir . Matristeki her giriş, bir çıktıyı bir girdiyle ilişkilendiren bir transfer fonksiyonu biçimindedir. Örneğin, üç girişli, iki çıkışlı bir sistem için şöyle yazılabilir:

burada u , n girişler, y m, çıkışları, ve g milyon transfer fonksiyonları vardır. Bu, matris operatör notasyonunda daha özlü bir şekilde şu şekilde yazılabilir:

burada Y , çıktıların bir sütun vektörüdür , G , transfer fonksiyonlarının bir matrisidir ve U , girdilerin bir sütun vektörüdür.

Çoğu durumda, söz konusu sistem doğrusal zamanla değişmeyen (LTI) bir sistemdir. Bu gibi durumlarda, transfer matrisini değişkenlerin Laplace dönüşümü ( sürekli zaman değişkenleri durumunda ) veya z dönüşümü ( ayrık zamanlı değişkenler durumunda ) cinsinden ifade etmek uygundur . Bu, örneğin yazı ile belirtilebilir,

burada değişkenler ve matris açısından olduğuna işaret s , kompleks frekans değişken s düzlem oldukça zaman daha Laplace dönüşümlerinin kaynaklanan. Bu makaledeki örneklerin tümünün bu biçimde olduğu varsayılmıştır, ancak bu, kısa olması için açıkça belirtilmemiştir. Ayrık kez sistemleri s değiştirilir z z-dönüşümü ile ilgili, ancak bu bir sonraki analiz için bir fark yaratmaz. Matris, uygun bir rasyonel matris olduğunda , yani tüm elemanları uygun rasyonel fonksiyonlar olduğunda özellikle yararlıdır . Bu durumda durum-uzay gösterimi uygulanabilir.

Sistem mühendisliğinde, genel sistem transfer matrisi G ( s ) iki parçaya ayrıştırılır: kontrol edilen sistemi temsil eden H ( s ) ve kontrol sistemini temsil eden C ( s ) . C ( s ) G ( s )' nin girdilerini ve H ( s )' nin çıktılarını girdi olarak alır . C ( s )' nin çıktıları, H ( s ) için girdileri oluşturur .

Elektriksel sistemler

Elektrik sistemlerinde, giriş ve çıkış değişkenleri arasındaki ayrımın genellikle belirsiz olduğu bir durumdur. Duruma ve bakış açısına bağlı olarak ikisi de olabilir. Bu gibi durumlarda liman (enerjinin bir sistemden diğerine aktarıldığı yer) kavramı girdi ve çıktıdan daha faydalı olabilir. Her bir port ( p ) için iki değişken tanımlamak gelenekseldir : üzerindeki voltaj ( V p ) ve ona giren akım ( I p ). Örneğin, iki kapılı bir ağın transfer matrisi aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

burada z mn empedans parametreleri veya z -parametreleri olarak adlandırılır . Empedans birimlerinde oldukları ve bağlantı noktası akımlarını bir bağlantı noktası voltajıyla ilişkilendirdikleri için bu adla anılırlar . İki kapılı ağlar için transfer matrislerinin tanımlanmasının tek yolu z parametreleri değildir. Belirli sistem ağı topolojileri için her birinin avantajları olan gerilimleri ve akımları ilişkilendiren altı temel matris vardır. Bununla birlikte, bunlardan yalnızca ikisi, iki bağlantı noktasının ötesine, isteğe bağlı sayıda bağlantı noktasına genişletilebilir. Bu ikisi z -parametreleri ve bunların tersi, kabul parametreleri veya y -parametreleridir.

Gerilim bölücü devre

Bağlantı noktası voltajları ile akımlar ve girişler ve çıkışlar arasındaki ilişkiyi anlamak için basit voltaj bölücü devresini düşünün. Sadece giriş geriliminin ( V 1 ) uygulanmasından kaynaklanan çıkış gerilimini ( V 2 ) dikkate almak istersek , transfer fonksiyonu şu şekilde ifade edilebilir:

1 × 1 transfer matrisinin önemsiz durumu olarak kabul edilebilir. İfade, bağlantı noktası 2'den çıkan akım yoksa çıkış voltajını doğru bir şekilde tahmin eder, ancak yük arttıkça giderek daha yanlış olur. Bununla birlikte, devreyi tersten kullanmaya, port 2'de bir voltaj ile sürmeye çalışırsak ve port 1'de ortaya çıkan voltajı hesaplarsak, port 1'de yük olmasa bile ifade tamamen yanlış sonuç verir. port 1, port 2'de uygulanandan daha fazla, bunun gibi tamamen dirençli bir devre ile imkansız. Devrenin davranışını doğru bir şekilde tahmin etmek için, transfer matrisinin yaptığı gibi, portlara giren veya çıkan akımlar da dikkate alınmalıdır. Gerilim bölücü devresi için empedans matrisi,

bu, tüm giriş ve çıkış koşulları altındaki davranışını tam olarak açıklar.

At mikrodalga frekanslarında, liman gerilimleri ve akımları dayanılarak transfer matrisleri hiçbiri pratikte kullanımı uygundur. Gerilimin doğrudan ölçülmesi zor, akım imkansıza yakındır ve ölçüm tekniğinin gerektirdiği açık devreler ve kısa devreler herhangi bir doğrulukla elde edilemez. İçin dalga kılavuzu uygulamaları, devre voltajı ve akımı tamamen anlamsızdır. Bunun yerine farklı türde değişkenler kullanan transfer matrisleri kullanılır. Bunlar , mikrodalga bandında dağıtılmış eleman devrelerinde kullanılan iletim hattı teknolojisinde kolaylıkla ölçülen bir porta iletilen ve bir porttan yansıtılan güçlerdir . Bu tür parametrelerin en iyi bilinen ve yaygın olarak kullanılanı saçılma parametreleri veya s parametreleridir.

Mekanik ve diğer sistemler

Bu döner köprüyü işleten eski Gianella Köprüsü'nün kontrol kabininde bir dişli treni . Dişli trenleri iki portludur.

Empedans kavramı mekanik alana ve diğer alanlara mekanik-elektrik analojisi yoluyla genişletilebilir , dolayısıyla empedans parametreleri ve 2 bağlantı noktalı ağ parametrelerinin diğer biçimleri de mekanik alana genişletilebilir. Bunu yapmak için, bir efor değişkeni ve bir akış değişkeni , sırasıyla voltaj ve akımın analogları yapılır. Altında mekanik sistemler için çeviri bu değişkenler kuvvet ve hız , sırasıyla.

Mekanik bir bileşenin davranışını bir transfer matrisi ile iki kapılı veya çok kapılı olarak ifade etmek faydalı bir şeydir, çünkü elektrik devreleri gibi, bileşen genellikle tersine çalıştırılabilir ve davranışı, yükteki yüklere bağlıdır. girdiler ve çıktılar. Örneğin, bir dişli takımı genellikle basitçe dişli oranı, bir SISO transfer fonksiyonu ile karakterize edilir. Ancak, dişli kutusu çıkış mili , MIMO analizi gerektiren giriş milini döndürmek için döndürülebilir. Bu örnekte efor ve akış değişkenleri sırasıyla tork T ve açısal hız ω'dir . z-parametreleri cinsinden transfer matrisi şöyle görünecektir:

Bununla birlikte, z-parametreleri, dişli dizilerini karakterize etmek için mutlaka en uygun olan değildir. Bir dişli takımı, bir elektrik transformatörünün analogudur ve h-parametreleri ( hibrit parametreler) transformatörleri daha iyi tanımlar çünkü bunlar doğrudan dönüş oranlarını (dişli oranlarının analogu) içerir. h-parametre formatında şanzıman transfer matrisi,

nerede
h 21 , çıkışta yük olmadan dişli takımının hız oranıdır,
h 12 , ideal bir dişli kutusu için ileri hız oranına eşit, giriş mili kenetlenmiş dişli takımının ters yön tork oranıdır,
h 11 , ideal bir dişli kutusu için çıkış milinde yük olmayan, sıfır olan giriş dönüş mekanik empedansıdır ve,
h 22 ,giriş mili kenetlenmiş durumdayken çıkış dönme mekanik kabulüdür .

Kayıpsız (sürtünme, distorsiyon vb.) ideal bir dişli takımı için bu, şunları basitleştirir:

burada , N vites oranıdır.

Dönüştürücüler ve aktüatörler

Her iki ucundaki mekanik-elektrik dönüştürücüleri göstermek için açılan bir mekanik filtre

Birden fazla enerji alanından oluşan bir sistemde, farklı alanlarda bağlantı noktalarına sahip bileşenleri işleyebilen transfer matrisleri gereklidir. Gelen robotik ve mekatronik , aktüatörler gereklidir. Bunlar genellikle , örneğin elektrik alanındaki kontrol sisteminden gelen sinyalleri mekanik alandaki harekete dönüştüren bir dönüştürücüden oluşur . Kontrol sistemi ayrıca hareketi algılayan ve hareketin bir geri besleme döngüsü aracılığıyla düzgün bir şekilde kontrol edilebilmesi için başka bir dönüştürücü aracılığıyla elektrik alanına geri dönüştüren sensörler gerektirir . Sistemdeki diğer sensörler, optik, ses, termal, sıvı akışı ve kimyasal gibi diğer enerji alanlarını elektrik sinyallerine dönüştüren dönüştürücüler olabilir. Diğer bir uygulama, her iki yönde elektriksel ve mekanik alanlar arasında dönüştürücüler gerektiren mekanik filtreler alanıdır .

Basit bir örnek, bir elektronik kontrolör tarafından çalıştırılan bir elektromanyetik elektromekanik aktüatördür. Bu, elektrik alanında bir giriş portuna ve mekanik alanda bir çıkış portuna sahip bir dönüştürücü gerektirir. Bu, bir SISO transfer fonksiyonu ile basit bir şekilde temsil edilebilir, ancak daha önce belirtilenlere benzer sebeplerden dolayı, iki girişli, iki çıkışlı bir MIMO transfer matrisi ile daha doğru bir gösterim elde edilir. z-parametrelerinde, bu şu şekli alır,

burada F , aktüatöre uygulanan kuvvettir ve v , aktüatörün sonuçtaki hızıdır. Buradaki empedans parametreleri, birimlerin bir karışımıdır; z 11 bir elektrik empedansıdır, z 22 mekanik bir empedanstır ve diğer ikisi hibrit birimler karışımındaki transempedanslardır .

akustik sistemler

Akustik sistemler , akışkanlar dinamiğinin bir alt kümesidir ve her iki alanda da birincil giriş ve çıkış değişkenleri, sesin katı bileşenlerden geçmesi durumu dışında , basınç , P ve hacimsel akış hızı , Q'dur . İkinci durumda, mekaniğin birincil değişkenleri olan kuvvet ve hız daha uygundur. İki bağlantı akustik bileşeninin bir örneği, bir bir filtre gibi a susturucu , bir de bir egzoz sistemi . Bunun bir transfer matrisi gösterimi şöyle görünebilir,

Burada, T mn iletim parametreleri, aynı zamanda şu şekilde bilinmektedir ABCD-parametreler . Bileşen, z-parametreleri tarafından kolayca tanımlanabilir, ancak iletim parametrelerinin, birinin çıkışının bir diğerinin giriş portuna kademeli olarak bağlanan iki portlu bir sistemle uğraşırken matematiksel bir avantajı vardır. Bu gibi durumlarda, genel iletim parametreleri, basitçe, bileşen bileşenlerin iletim parametre matrislerinin matris çarpımı ile bulunur.

Uyumlu değişkenler

Bir su borusundaki bir valfi kontrol eden bir pnömatik kremayer ve pinyon aktüatörü. Aktüatör, pnömatik alandan mekanik alana dönüşen iki bağlantı noktalı bir cihazdır. Valfin kendisi ile birlikte üç yollu bir sistem içerir; valfin pnömatik kontrol portu ve sıvı akışı giriş ve çıkış su borusu portları.

Farklı enerji alanlarından karışık değişkenlerle çalışırken, hangi değişkenlerin benzer olarak kabul edileceğine dikkat edilmelidir. Seçim, analizin neyi başarmayı amaçladığına bağlıdır. Tüm sistem boyunca enerji akışlarını doğru bir şekilde modellemek isteniyorsa, bir enerji alanındaki ürünü güç olan bir çift değişken (güç eşlenik değişkenleri), diğer alanlardaki güç eşlenik değişkenleriyle eşlenmelidir. Güç eşlenik değişkenleri benzersiz değildir, bu nedenle sistem genelinde aynı değişken eşlemesini kullanmaya özen gösterilmelidir.

Ortak bir eşleme (bu makaledeki bazı örneklerde kullanılır), her etki alanındaki efor değişkenlerini (bir eylemi başlatanlar) birlikte eşler ve her etki alanındaki akış değişkenlerini (bir eylemin özelliği olanlar) birlikte eşler. Her bir efor ve akış değişkeni çifti güç eşleniğidir. Bu sistem, empedans analojisi olarak bilinir, çünkü her alandaki eforun akış değişkenine oranı, elektrik empedansına benzerdir.

Aynı değişkenler üzerinde kullanımda olan iki güç eşlenik sistemi daha vardır. Mobilite benzetme elektrik akımı yerine gerilime mekanik kuvvet eşler. Bu benzetme, mekanik filtre tasarımcıları tarafından ve sıklıkla ses elektroniğinde de yaygın olarak kullanılmaktadır. Eşleme, etki alanları arasında ağ topolojilerini koruma avantajına sahiptir, ancak empedansların eşlenmesini sağlamaz. Olarak ya da güç konjugat değişkenleri Trent analoji sınıfları arasında değişken ya da yoluyla değişken bir sisteminin bir elemanı boyunca veya içinden hareket bağlı olarak. Bu, akışkan akış alanı (akustik alanı dahil) durumu dışında, büyük ölçüde hareketlilik analojisiyle aynı sonuca varır. Burada basınç, akım yerine (mobilite analojisinde olduğu gibi) gerilime benzer (empedans analojisinde olduğu gibi) yapılır. Ancak, mekanik etki gücü olan bir kuvvet uygulandığından akımına analog ile bir nesne.

Güç eşlenik çiftlerini kullanmayan yaygın olarak kullanılan bazı analojiler vardır. Sensörler için enerji akışlarını doğru modellemek o kadar önemli olmayabilir. Sensörler genellikle sisteme çok az miktarda enerji çeker. Ölçmek için uygun olan değişkenleri, özellikle sensörün algıladığı değişkenleri seçmek daha faydalı olabilir. Örneğin, termal direnç analojisinde, termal direnç, elektrik direncine benzer olarak kabul edilir, bu da sırasıyla sıcaklık farkı ve termal güç eşlemesinin voltaj ve akımla sonuçlanmasıyla sonuçlanır. Sıcaklık farkının güç eşleniği termal güç değil, doğrudan ölçülemeyen bir şey olan entropi akış hızıdır. Aynı türden başka bir benzetme, manyetik alanda meydana gelir. Bu, manyetik isteksizliği elektrik direncine eşler ve uyumlu değişkenler için gerektiği gibi manyetik akı değişim hızı yerine akıma manyetik akı eşlemesi ile sonuçlanır .

Tarih

Lineer cebirsel denklemlerin matris gösterimi bir süredir bilinmektedir. 1907'de Poincare , bir dönüştürücüyü elektriksel değişkenleri (voltaj ve akım) mekanik değişkenlerle (kuvvet ve hız) ilişkilendiren bir çift denklem olarak tanımlayan ilk kişiydi . 1921'de Wegel, bu denklemleri elektriksel empedans kadar mekanik empedans cinsinden ifade eden ilk kişiydi.

Bir MIMO kontrol sistemini temsil etmek için transfer matrislerinin ilk kullanımı 1950'de Boksenbom ve Hood tarafından yapıldı, ancak yalnızca Ulusal Havacılık Danışma Komitesi için çalıştıkları gaz türbini motorlarının özel durumu için . Cruickshank, 1955'te daha sağlam bir temel sağladı, ancak tam bir genelleme yoktu. 1956'da Kavanagh, sistem ve kontrol arasındaki matris ilişkisini kurarak ve kontrol altındaki sistemin önceden belirlenmiş bir davranışını sağlayabilecek bir kontrol sisteminin gerçekleştirilebilirliği için kriterler sağlayarak ilk tamamen genel tedaviyi verdi.

Ayrıca bakınız

Referanslar

bibliyografya

  • Bessai, Horst, MIMO Sinyalleri ve Sistemleri , Springer, 2006 ISBN  038727457X .
  • Bakshi, AV; Bakshi, UA, Ağ Teorisi , Teknik Yayınlar, 2008 ISBN  8184314027 .
  • Boksenbom, Aaron S.; Hood, Richard, "Karmaşık motor tiplerinin analizini kontrol etmek için uygulanan genel cebirsel yöntem" , NACA Raporu 980, 1950.
  • Busch-Vishniac, Ilene J., Elektromekanik Sensörler ve Aktüatörler , Springer, 1999 ISBN  038798495X .
  • Chen, Wai Kai, The Electrical Engineering Handbook , Academic Press, 2004 ISBN  0080477488 .
  • Choma, John, Elektrik Ağları: Teori ve Analiz , Wiley, 1985 ISBN  0471085286 .
  • Cruickshank, AJO, "Kontrol sistemi denklemlerinin matris formülasyonu", The Matrix and Tensor Quarterly , cilt. 5, hayır. 3, s. 76, 1955.
  • Iyer, TSKV, Devre Teorisi , Tata McGraw-Hill Education, 1985 ISBN  0074516817 .
  • Kavanagh, RJ, "Çok değişkenli kontrol sistemlerine matris yöntemlerinin uygulanması" , Franklin Enstitüsü Dergisi , cilt. 262, is. 5, s. 349-367, Kasım 1956.
  • Koenig, Herman Edward; Blackwell, William A., Elektromekanik Sistem Teorisi , McGraw-Hill, 1961 OCLC  564134
  • Levine, William S., Kontrol El Kitabı , CRC Press, 1996 ISBN  0849385709 .
  • Nguyen, Cam, Radyo Frekansı Entegre Devre Mühendisliği , Wiley, 2015 ISBN  1118936485 .
  • Olsen A., "Transformatörlerin h-Parametreleriyle Karakterizasyonu" , IEEE İşlemleri Devre Teorisi , cilt. 13, is. 2, s. 239–240, Haziran 1966.
  • Pierce, Allan D. Akustik: Fiziksel İlkelerine ve Uygulamalarına Giriş , Amerika Akustik Topluluğu, 1989 ISBN  0883186128 .
  • Poincare, H., "Etude du récepteur téléphonique" , Eclairage Electrique , cilt. 50, s. 221-372, 1907.
  • Wegel, RL, "Telefon alıcılarına ve benzer yapılara uygulanan manyeto-mekanik sistemler teorisi" , Journal of the American Institute of Electrical Engineers , cilt. 40, s. 791-802, 1921.
  • Yang, Won Y.; Lee, Seung C., MATLAB ve PSpice ile Devre Sistemleri , Wiley 2008, ISBN  0470822406 .