Zaman türevi - Time derivative

Bir zaman türevi a, türevi ile ilgili olarak bir fonksiyonun zaman genellikle fonksiyonunun değerinin değişme oranı olarak yorumlanabilir. Zamanı belirten değişken genellikle olarak yazılır .

gösterim

Zaman türevini belirtmek için çeşitli gösterimler kullanılır. Normal ( Leibniz'in ) notasyonuna ek olarak ,

Özellikle fizikte kullanılan çok yaygın bir kısa el gösterimi 'nokta üstü'dür. IE

(Buna Newton gösterimi denir )

Daha yüksek zaman türevleri de kullanılır: zamana göre ikinci türev şu şekilde yazılır:

karşılık gelen kısaltması ile .

Bir genelleme olarak, bir vektörün zamana göre türevi şöyle der:

bileşenleri orijinal vektörün bileşenlerinin türevleri olan vektör olarak tanımlanır. Yani,

Fizikte kullanım

Zaman türevleri fizikte anahtar bir kavramdır . Örneğin, bir değiştirme konumuna , zaman türevi olan bir hız ve zamana göre ikinci türevi , onun bir hızlanma . Hatta bazen daha yüksek türevler de kullanılır: pozisyonun zamana göre üçüncü türevi pislik olarak bilinir . Hareket grafiklerini ve türevlerini görün .

Fizikte çok sayıda temel denklem, niceliklerin birinci veya ikinci kez türevlerini içerir. Bilimdeki diğer birçok temel nicelik, birbirinin zaman türevleridir:

ve benzeri.

Fizikte yaygın bir olay, hız veya yer değiştirme gibi bir vektörün zamana göre türevidir . Böyle bir türevle uğraşırken, hem büyüklük hem de yönelim zamana bağlı olabilir.

Örnek: dairesel hareket

Kartezyen koordinatlar ( x , y ) ve kutupsal koordinatlar ( r , θ ) arasındaki ilişki .

Örneğin, dairesel bir yolda hareket eden bir parçacığı düşünün. Konumu , şekilde tanımlandığı gibi açı, θ ve radyal mesafe, r ile ilgili yer değiştirme vektörü tarafından verilir :

Bu örnek için, θ = t olduğunu varsayıyoruz . Bu nedenle, herhangi bir t anındaki yer değiştirme (konum) şu şekilde verilir:

Bu form, Şekil tarafından tarif edilen hareket r ( t ), yarıçaplı bir daire içinde r , çünkü büyüklük ve R ( t ) ile verilir

kullanılarak trigonometrik kimlik sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 1 ve her zamanki Öklid nokta ürünü.

Yer değiştirme için bu formla, şimdi hız bulunur. Yer değiştirme vektörünün zamana göre türevi hız vektörüdür. Genel olarak, bir vektörün türevi, her biri orijinal vektörün karşılık gelen bileşeninin türevi olan bileşenlerden oluşan bir vektördür. Böylece, bu durumda, hız vektörü:

Bu nedenle, konumun büyüklüğü (yani yolun yarıçapı) sabit olmasına rağmen parçacığın hızı sıfır değildir. Nokta çarpım kullanılarak oluşturulabileceği gibi, hız yer değiştirmeye dik olarak yönlendirilir :

İvme daha sonra hızın zamana göre türevidir:

İvme içe doğru, dönme eksenine doğru yönlendirilir. Konum vektörünün zıttı ve hız vektörüne diktir. Bu içe dönük ivmeye merkezcil ivme denir .

diferansiyel geometride

Olarak diferansiyel geometri , miktarları genellikle yerel göre ifade edilmiştir bildirdiğinden olarak , , burada i boyutların sayısı üzerine değişmektedir. Bu şekilde ifade edilen bir vektörün bileşenleri, Einstein toplama kuralına başvurularak , ifadede gösterildiği gibi, zıt değişkenli bir tensör olarak dönüşür . Bir yörünge boyunca bu bileşenlerin zaman türevlerini hesaplamak istersek , elimizde , yeni bir operatör tanımlayabiliriz, değişmeyen türev , ters değişkenli tensörleri döndürmeye devam edecek:

burada (ile olmak j koordine inci) yerel bildirdiğinden olarak hızın bileşenlerini çeker ve vardır Christoffel sembolleri koordinat sistemi için. Notasyonda t'ye açık bağımlılığın bastırıldığına dikkat edin. O zaman şunu yazabiliriz:

Hem de:

Kovaryant türev açısından , , elimizde:

ekonomide kullanım

Gelen ekonomi , çeşitli ekonomik değişkenlerin evrim birçok teorik modeller olarak inşa edilmiş sürekli zaman ve dolayısıyla istihdam süresi türevleri. Bir durum, bir stok değişkeni ve onun zaman türevi olan bir akış değişkenini içerir . Örnekler şunları içerir:

Bazen bir akış değişkeninin zamana göre türevi bir modelde görünebilir:

  • Çıktının büyüme oranı, çıktı akışının çıktının kendisine bölünmesinin zamana göre türevidir.
  • İşgücünün büyüme oranı , iş gücünün kendisine bölünmesiyle elde edilen emek gücünün zamana göre türevidir.

Ve bazen, yukarıdaki örneklerin aksine, para birimi cinsinden ölçülmeyen bir değişkenin zamana göre türevi görünür:

Ayrıca bakınız

Referanslar