Zaman-frekans analizi - Time–frequency analysis

Gelen sinyal işleme , zaman-frekans analizi bu teknikleri içermesi çalışma zaman ve frekans hem de bir sinyal aynı zamanda, çeşitli kullanılarak zaman-frekans temsilleri . 1 boyutlu bir sinyali (etki alanı gerçek çizgi olan gerçek veya karmaşık değerli bir fonksiyon) ve bazı dönüşümleri (alanı gerçek hat olan, orijinalden bir dönüşüm yoluyla elde edilen başka bir fonksiyon) görüntülemek yerine, zaman frekansı analiz iki boyutlu bir sinyali inceler - etki alanı iki boyutlu gerçek düzlem olan ve sinyalden bir zaman-frekans dönüşümü yoluyla elde edilen bir fonksiyon.

Bu çalışmanın matematiksel motivasyonu, fonksiyonların ve dönüşüm temsillerinin sıkı bir şekilde bağlantılı olması ve ayrı ayrı değil, iki boyutlu bir nesne olarak birlikte çalışılarak daha iyi anlaşılabilmesidir. Basit bir örnek, Fourier dönüşümünün 4 katlı periyodikliğinin - ve iki katlı Fourier dönüşümünün yönü tersine çevirmesi gerçeği - Fourier dönüşümünü ilişkili zaman-frekans düzleminde 90 ° dönüş olarak düşünerek yorumlanabilir: 4 dönüşler özdeşliği verir ve bu tür 2 dönüşler basitçe yönü tersine çevirir ( orijinden yansıma ).

Zaman-frekans analizi için pratik motivasyon, klasik Fourier analizinin , sinyallerin zaman içinde sonsuz veya periyodik olduğunu varsayması ve pratikte birçok sinyalin kısa süreli olduğunu ve büyük ölçüde süreleri boyunca değiştiğini varsaymasıdır. Örneğin, geleneksel müzik aletleri sonsuz süreli sinüzoidler üretmez, bunun yerine bir saldırı ile başlar, sonra yavaş yavaş bozulur. Bu, zaman-frekans analizini motive eden geleneksel yöntemlerle zayıf bir şekilde temsil edilir.

Zaman-frekans analizinin en temel biçimlerinden biri, kısa süreli Fourier dönüşümüdür (STFT), ancak özellikle dalgacıklar olmak üzere daha karmaşık teknikler geliştirilmiştir .

Motivasyon

Gelen sinyal işleme , zaman-frekans analizi karakterize ve bu şekilde alınan istatistiki zaman bakımından değişiklik gösteren sinyaller, manipüle etmek için kullanılan teknikler ve yöntemler bir organdır geçici sinyallerin.

Sinyal frekansı özelliklerinin zamanla değiştiği durumlar için Fourier analizinin bir genellemesi ve iyileştirmesidir . Konuşma, müzik, görüntüler ve tıbbi sinyaller gibi pek çok ilgili sinyal değişen frekans özelliklerine sahip olduğundan, zaman-frekans analizi geniş bir uygulama alanına sahiptir.

Fourier dönüşümünün tekniği, yavaş büyüyen yerel olarak entegre edilebilir herhangi bir sinyalin frekans spektrumunu elde etmek için genişletilebilirken , bu yaklaşım, sinyalin tüm zaman boyunca davranışının tam bir tanımını gerektirir. Aslında, (spektral) frekans alanındaki noktaların, tüm zaman alanındaki bilgileri birbirine karıştırdığı düşünülebilir. Matematiksel olarak zarif olsa da, böyle bir teknik belirsiz gelecekteki davranışa sahip bir sinyali analiz etmek için uygun değildir. Örneğin, sıfır olmayan entropi elde etmek için herhangi bir telekomünikasyon sisteminde bir dereceye kadar belirsiz gelecek davranışı önceden varsaymak gerekir (eğer biri diğer kişinin ne öğreneceğini söyleyeceğini zaten biliyorsa).

Zaman alanında tam bir karakterizasyona ihtiyaç duymadan bir frekans temsilinin gücünü kullanmak için, önce sinyali hem zaman hem de frekans alanlarında eşzamanlı olarak temsil eden sinyalin bir zaman-frekans dağılımı elde edilir. Böyle bir gösterimde, frekans alanı yalnızca sinyalin geçici olarak yerelleştirilmiş bir versiyonunun davranışını yansıtacaktır. Bu, bileşen frekansları zaman içinde değişen sinyaller hakkında mantıklı konuşmayı sağlar.

Örneğin , aşağıdaki işlevi küresel olarak frekans alanına dönüştürmek için temperlenmiş dağılımlar kullanmak yerine, bu yöntemleri zamanla değişen bir frekansa sahip bir sinyal olarak tanımlamak için bunun yerine kullanılabilir.

{\ displaystyle x (t) = {\ {vakalar} \ cos (\ pi t); & t <10 \\\ cos (3 \ pi t); & 10 \ leq t <20 \\\ cos (2 \ pi t); & t> 20 \ end {vakalar}}}

Böyle bir gösterim oluşturulduktan sonra, sinyalden bilgi çıkarmak, sinyali gürültüden veya parazit yapan sinyallerden vb. Ayırmak için sinyale zaman-frekans analizinde başka teknikler uygulanabilir.

Zaman-frekans dağılım fonksiyonları

Formülasyonlar

Geçerli bir zaman-frekans dağılım fonksiyonunu formüle etmenin birkaç farklı yolu vardır, bu da aşağıdakiler gibi birkaç iyi bilinen zaman-frekans dağılımına neden olur:

Kısa süreli Fourier dönüşümü ( Gabor dönüşümü dahil ),
Dalgacık dönüşümü ,
Çift doğrusal zaman-frekans dağıtım işlevi ( Wigner dağıtım işlevi veya WDF),
Değiştirilmiş Wigner dağılım fonksiyonu , Gabor – Wigner dağılım fonksiyonu ve benzeri (bkz. Gabor – Wigner dönüşümü ).
Hilbert-Huang dönüşümü

Zaman-frekans dağılımının geçmişi ve gelişim motivasyonu hakkında daha fazla bilgi Zaman-frekans gösterimi girişinde bulunabilir .

İdeal TF dağıtım işlevi

Bir zaman-frekans dağılım işlevi ideal olarak aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Analiz edilmesini ve yorumlanmasını kolaylaştırmak için hem zaman hem de frekansta yüksek çözünürlük .
Gerçek bileşenlerin yapay nesnelerden veya gürültüden kaynaklanmasını önlemek için çapraz terim yok .
Bu tür yöntemlerin gerçek hayattaki uygulamalardan yararlanmasını sağlamak için istenen matematiksel özelliklerin bir listesi .
Zaman-frekans düzleminde bir sinyali temsil etmek ve işlemek için gereken zamanı sağlamak için daha düşük hesaplama karmaşıklığı gerçek zamanlı uygulamalara izin verir.

Aşağıda, bazı seçilmiş zaman-frekans dağılım fonksiyonlarının kısa bir karşılaştırması bulunmaktadır.

	Netlik	Çapraz dönem	İyi matematiksel özellikler	Hesaplama karmaşıklığı
Gabor dönüşümü	En kötü	Hayır	En kötü	Düşük
Wigner dağıtım işlevi	En iyi	Evet	En iyi	Yüksek
Gabor-Wigner dağılım işlevi	İyi	Neredeyse elendi	İyi	Yüksek
Koni şeklindeki dağıtım işlevi	İyi	Hayır (zamanla elendi)	İyi	Orta (yinelemeli olarak tanımlanmışsa)

Sinyalleri iyi analiz etmek için uygun bir zaman-frekans dağılım fonksiyonu seçmek önemlidir. Hangi zaman-frekans dağılımı işlevinin kullanılması gerektiği, uygulama listesinin gözden geçirilmesiyle gösterildiği gibi, dikkate alınan uygulamaya bağlıdır. Bazı sinyaller için elde edilen Wigner dağılım fonksiyonunun (WDF) yüksek netliği, formülasyonunda bulunan oto-korelasyon fonksiyonundan kaynaklanmaktadır; ancak, ikincisi aynı zamanda çapraz vadeli soruna da neden olur. Bu nedenle, tek terimli bir sinyali analiz etmek istiyorsak, WDF'yi kullanmak en iyi yaklaşım olabilir; sinyal birden çok bileşenden oluşuyorsa, Gabor dönüşümü, Gabor-Wigner dağılımı veya Değiştirilmiş B-Dağılım fonksiyonları gibi diğer bazı yöntemler daha iyi seçenekler olabilir.

Örnek olarak, lokalize olmayan Fourier analizinden gelen büyüklükler sinyalleri ayırt edemez:

{\ displaystyle x_ {1} (t) = {\ başlar {vakalar} \ cos (\ pi t); & t <10 \\\ cos (3 \ pi t); & 10 \ leq t <20 \\\ cos ( 2 \ pi t); & t> 20 \ end {durum}}}

{\ displaystyle x_ {2} (t) = {\ başlar {vakalar} \ cos (\ pi t); & t <10 \\\ cos (2 \ pi t); & 10 \ leq t <20 \\\ cos ( 3 \ pi t); & t> 20 \ end {durum}}}

Ancak zaman-frekans analizi yapabilir.

Başvurular

Aşağıdaki uygulamalar sadece zaman-frekans dağıtım işlevlerine değil, aynı zamanda sinyal için bazı işlemlere de ihtiyaç duyar. Lineer dönüşüm kanonik (LCT) gerçekten yararlıdır. LCT'lere göre, bir sinyalin zaman-frekans düzlemindeki şekli ve konumu, olmasını istediğimiz keyfi biçimde olabilir. Örneğin, LCT'ler zaman-frekans dağılımını herhangi bir konuma kaydırabilir, düzlem üzerindeki alanını değiştirmeden yatay ve dikey yönde genişletebilir, kesebilir (veya bükebilir) ve döndürebilir ( Kesirli Fourier dönüşümü ). Bu güçlü işlem, LCT, zaman-frekans dağılımlarını analiz etmeyi ve uygulamayı daha esnek hale getirir.

Anlık frekans tahmini

Anlık frekansın tanımı, faz değişiminin zaman hızıdır veya

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ frac {d} {dt}} \ phi (t),}

burada bir anlık faz bir sinyalin. Görüntü yeterince netse anlık frekansı doğrudan zaman-frekans düzleminden bilebiliriz. Yüksek netlik kritik olduğu için, onu analiz etmek için genellikle WDF kullanırız. ${\ displaystyle \ phi (t)}$

TF filtreleme ve sinyal ayrıştırma

Filtre tasarımının amacı, bir sinyalin istenmeyen bileşenini ortadan kaldırmaktır. Geleneksel olarak, aşağıda gösterildiği gibi, zaman alanında veya frekans alanında tek tek filtreleyebiliriz.

Yukarıda bahsedilen filtreleme yöntemleri, zaman alanında veya frekans alanında çakışabilen her sinyal için iyi çalışamaz. Zaman-frekans dağılım fonksiyonunu kullanarak, Öklid zaman-frekans alanında veya kesirli alanda, kesirli Fourier dönüşümünü kullanarak filtreleme yapabiliriz . Aşağıda bir örnek gösterilmiştir.

Zaman-frekans analizinde filtre tasarımı her zaman birden çok bileşenden oluşan sinyallerle ilgilenir, bu nedenle çapraz dönem nedeniyle WDF kullanılamaz. Gabor dönüşümü, Gabor-Wigner dağılım fonksiyonu veya Cohen'in sınıf dağılım fonksiyonu daha iyi seçimler olabilir.

Sinyal ayrıştırma kavramı, bir sinyaldeki bir bileşeni diğerlerinden ayırma ihtiyacı ile ilgilidir; bu, bir filtre tasarım aşaması gerektiren bir filtreleme işlemi ile elde edilebilir. Bu tür filtreleme geleneksel olarak zaman alanında veya frekans alanında yapılır; bununla birlikte, bu tür bileşenler hem zaman alanında hem de frekans alanında üst üste gelebildiğinden, çok bileşenli sabit olmayan sinyaller durumunda bu mümkün olmayabilir; sonuç olarak, bileşen ayrımı ve dolayısıyla bir sinyal ayrıştırması elde etmenin tek olası yolu bir zaman-frekans filtresi uygulamaktır.

Örnekleme teorisi

Tarafından Nyquist-Shannon örnekleme teoremi , onsuz noktaları numune minimum sayıda olduğu sonucuna varabiliriz yumuşatma bir sinyalinin zaman-frekans dağılımının alanına eşdeğerdir. (Bu aslında sadece bir yaklaşımdır, çünkü herhangi bir sinyalin TF alanı sonsuzdur.) Aşağıda, örnekleme teorisini zaman-frekans dağılımı ile birleştirmeden önce ve sonra bir örnek verilmiştir:

Zaman-frekans dağılımını uyguladıktan sonra örnekleme noktalarının sayısının azaldığı dikkat çekicidir.

WDF'yi kullandığımızda, dönemler arası problem (girişim olarak da adlandırılır) ortaya çıkabilir. Öte yandan, Gabor dönüşümünün kullanılması , temsilin netliğinde ve okunabilirliğinde bir iyileşmeye neden olur, bu nedenle yorumunu ve pratik problemlere uygulanmasını geliştirir.

Sonuç olarak, örnekleme eğiliminde olduğumuz sinyal tek bileşenden oluştuğunda, WDF'yi kullanırız; ancak sinyal birden fazla bileşenden oluşuyorsa, Gabor dönüşümü, Gabor-Wigner dağıtım işlevi veya diğer azaltılmış girişim TFD'leri kullanılarak daha iyi sonuçlar elde edilebilir.

Bakshi-düşük teoremi bu formalizes ve gerektiği zaman-frekans numunelerin en az sayıda bağlanmış bir sağlar.

Modülasyon ve çoklama

Geleneksel olarak, modülasyon ve çoklama işlemi , ayrı ayrı zamanda veya frekansta yoğunlaşır. Zaman-frekans dağılımından yararlanarak, modüle etmeyi ve çoğullamayı daha verimli hale getirebiliriz. Tek yapmamız gereken zaman-frekans düzlemini doldurmak. Aşağıda bir örnek sunuyoruz.

Üstteki örnekte gösterildiği gibi, WDF'yi kullanmak akıllıca değildir çünkü ciddi çapraz dönem problemi, çoğullamayı ve modüle etmeyi zorlaştırır.

Elektromanyetik dalga yayılımı

Elektromanyetik dalgayı 2'ye 1 matris şeklinde temsil edebiliriz

{\ displaystyle {\ başlar {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}},}

bu zaman-frekans düzlemine benzer. Elektromanyetik dalga serbest uzayda yayıldığında, Fresnel kırınımı meydana gelir. 2'ye 1 matris ile çalışabiliriz

{\ displaystyle {\ başlangıç ​​{bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}}

tarafından LCT parametre matrisle

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda z \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}},}

burada z yayılma mesafesi ve dalga boyudur. Elektromanyetik dalga küresel bir mercekten geçtiğinde veya bir disk tarafından yansıtıldığında, parametre matrisi ${\ displaystyle \ lambda}$

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 ve 0 \\ - {\ frac {1} {\ lambda f}} ve 1 \ end {bmatrix}}}

ve

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 ve 0 \\ {\ frac {1} {\ lambda R}} ve 1 \ end {bmatrix}}}

sırasıyla, burada ƒ lensin odak uzunluğu ve R diskin yarıçapıdır. Bu ilgili sonuçlar aşağıdaki kaynaklardan elde edilebilir:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}.}

Optik, akustik ve biyotıp

Işık elektromanyetik bir dalgadır, bu nedenle zaman-frekans analizi, genel elektromanyetik dalga yayılımında olduğu gibi optikler için de geçerlidir.

Benzer şekilde, frekans bileşenlerinin zaman içinde ani değişikliklere uğraması ve dolayısıyla tüm sürelerini kapsayan tek bir frekans bileşen analizi ile iyi bir şekilde temsil edilmemesi, akustik sinyallerin bir özelliğidir.

Akustik sinyaller, insan gönderen ve alıcı arasındaki iletişimde konuşma olarak kullanıldığından, teknik iletişim sistemlerindeki gecikmesiz iletimleri çok önemlidir, bu da Gabor dönüşümü gibi daha basit TFD'lerin kullanımını bu sinyalleri gerçek olarak analiz etmeye uygun hale getirir. hesaplama karmaşıklığını azaltarak zaman.

Frekans analizi hızı bir sınırlama değilse, belirli bir TFD seçilmeden önce iyi tanımlanmış kriterlerle ayrıntılı bir özellik karşılaştırması yapılmalıdır. Diğer bir yaklaşım, verilere uyarlanmış sinyale bağımlı bir TFD tanımlamaktır. Biyotıpta , elektromiyografi (EMG), elektroensefalografi (EEG), elektrokardiyogram (EKG) veya otoakustik emisyonları (OAE'ler) analiz etmek için zaman-frekans dağılımı kullanılabilir .

Tarih

Zaman-frekans analizindeki ilk çalışmalar , Alfréd Haar'ın Haar dalgacıklarında (1909) görülebilir , ancak bunlar sinyal işlemeye önemli ölçüde uygulanmamıştır. Dalgacıkların erken bir formu olan Gabor atomları (1947) ve değiştirilmiş kısa süreli Fourier dönüşümü olan Gabor dönüşümü gibi daha önemli çalışmalar Dennis Gabor tarafından üstlenildi . Wigner-ville dağılımı (bir sinyal işleme bağlamında Ville 1948) birbirinden temel bir adımdır.

Özellikle 1930'larda ve 1940'larda, erken zaman-frekans analizi kuantum mekaniğiyle uyumlu olarak gelişti (Wigner, 1932'de kuantum mekaniğinde Wigner-Ville dağılımını geliştirdi ve Gabor, kuantum mekaniğinden etkilendi - bkz. Gabor atomu ); bu, Heisenberg belirsizlik ilkesinde (kuantum mekaniği) ve Gabor sınırında (zaman-frekans analizi) olduğu gibi konum-momentum düzleminin ve zaman-frekans düzleminin paylaşılan matematiğine yansır ve sonuçta her ikisi de semplektik bir yapıyı yansıtır .

Zaman-frekans analizi için erken bir pratik motivasyon, radarın geliştirilmesiydi - bkz. Belirsizlik fonksiyonu .

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ L. Cohen, "Zaman – Frekans Analizi," Prentice-Hall , New York, 1995. ISBN 978-0135945322
^ E. Sejdić, I. Djurović, J. Jiang, "Enerji konsantrasyonu kullanarak zaman-frekans özelliği gösterimi: Son gelişmelerin özeti," Digital Signal Processing, cilt. 19, hayır. 1, sayfa 153-183, Ocak 2009.
^ P. Flandrin, "Zaman-frekans / Zaman Ölçeği Analizi," Dalgacık Analizi ve Uygulamaları , Cilt. 10 Academic Press , San Diego, 1999.
^ Şafi, İmran; Ahmad, Jamil; Şah, Syed İsmail; Kashif, FM (2009-06-09). "İyi Çözünürlük ve Konsantre Zaman-Frekans Dağılımları Elde Etme Teknikleri: Bir Gözden Geçirme" . Sinyal İşlemede Gelişmeler Üzerine EURASIP Dergisi . 2009 (1): 673539. doi : 10.1155 / 2009/673539 . ISSN 1687-6180 .
^ A. Papandreou-Suppappola, Zaman-Frekans Sinyal İşlemede Uygulamalar (CRC Press, Boca Raton, Fla., 2002)

[1] L. Cohen, "Zaman – Frekans Analizi," Prentice-Hall , New York, 1995. ISBN 978-0135945322

[2] E. Sejdić, I. Djurović, J. Jiang, "Enerji konsantrasyonu kullanarak zaman-frekans özelliği gösterimi: Son gelişmelerin özeti," Digital Signal Processing, cilt. 19, hayır. 1, sayfa 153-183, Ocak 2009.

[3] P. Flandrin, "Zaman-frekans / Zaman Ölçeği Analizi," Dalgacık Analizi ve Uygulamaları , Cilt. 10 Academic Press , San Diego, 1999.

[4] Şafi, İmran; Ahmad, Jamil; Şah, Syed İsmail; Kashif, FM (2009-06-09). "İyi Çözünürlük ve Konsantre Zaman-Frekans Dağılımları Elde Etme Teknikleri: Bir Gözden Geçirme" . Sinyal İşlemede Gelişmeler Üzerine EURASIP Dergisi . 2009 (1): 673539. doi : 10.1155 / 2009/673539 . ISSN 1687-6180 .

[5] A. Papandreou-Suppappola, Zaman-Frekans Sinyal İşlemede Uygulamalar (CRC Press, Boca Raton, Fla., 2002)

Languages

In other projects