Süper logaritma - Super-logarithm

In matematik , süper logaritma iki ters işlevlerinden biridir tetrasyon . Tıpkı üs alma iki ters fonksiyonlar, sahip kökleri ve logaritma , tetrasyon iki ters işlevlere sahiptir süper kökleri ve süper logaritma. Süper logaritma yorumlama birkaç yolu vardır:

• As Abel işlevinin ait üstel fonksiyonlar ,
• Ters fonksiyonu olarak tetrasyon yüksekliğine göre,
• Robert Munafo en bir genelleme olarak çok sayıda sınıf sisteminin ,

Pozitif tam sayı değerleri için, baz- süper-logaritma e bir kaç kez eşdeğerdir logaritma gereken yinelemeli 1 elde etmek için ( Rasgele logaritma ). Ancak, bu negatif değerler için doğru değildir ve bu nedenle tam bir tanım olarak kabul edilemez. Süper logaritma kesin tanımı entegre olmayan kesin bir tanımına bağlıdır tetrasyon (yani, için y olmayan bir tamsayı). Entegre olmayan tanımı konusunda fikir birliği bulunmamaktadır tetrasyon ve böylece tam sayı olmayan süper-logaritma net bir uzlaşı aynı şekilde orada aralığında . ${\ Displaystyle {^ {y} x}}$

Tanımlar

Yazılı süper logaritma, tarafından örtülü olarak tanımlanır ${\ Displaystyle \ operatorname {zorlanmak} _ {b} (z),}$

${\ Displaystyle \ operatorname {zorlanmak} _ {b} (b ^ {z}) = \ operatorname {zorlanmak} _ {b} (z) + 1}$ ve

${\ Displaystyle \ operatorname {zorlanmak} _ {b} (1) = 0}.$

Bu tanım, süper logaritma yalnızca tamsayı çıkışına sahip olabilir ifade eder, ve bu sadece formun girişler için tanımlandığı bu böyle devam eder. Reel sayılar için bu seyrek kümesinden süper logaritmanın etki alanını genişletmek amacıyla, çeşitli yaklaşımlar takip edilmiştir. Bunlar genellikle yazara yazar değişir, yukarıda sıralananlar, ek olarak üçüncü bir gereksinim bulunmaktadır. Şöyle Bu yaklaşımlar şunlardır: ${\ Displaystyle B, B ^ {B}, b ^ {b ^ {b}}}$

• Rubstov ve ROMERIO doğrusal yaklaşım yaklaşım
• Andrew Robbins tarafından kuadratik yaklaşım yaklaşım,
• George Szekeres tarafından düzenli Abel fonksiyon yaklaşımı,
• Peter Walker ve tarafından tekrarlı fonksiyonel yaklaşım
• Doğal matris Peter Walker tarafından yaklaşım, daha sonra Andrew Robbins tarafından genelleştirilmiş.

Yaklaşımlar

Genellikle, özel fonksiyonlar sadece değişken gerçek değerlerinin (ler) için değil, kompleks düzlem, ve diferansiyel ve / veya entegre temsil yanı sıra yakınsak ve asimptotik seri açılımlar tanımlanır. Oysa böyle bir beyan için mevcuttur zorlanmak fonksiyonu. Bununla birlikte, aşağıdaki basit yaklaşımlar önerilmiştir.

Doğrusal yaklaşım

süper logaritmik olarak doğrusal tahmindir:

${\ Displaystyle \ operatorname {zorlanmak} _ {b} (Z) \ yaklaşık {\ başlar {olgu} \ operatorname {zorlanmak} _ {b} (b ^ {z}) - 1-{\ metni {}} Z \ leq 0 \\ - 1 + z {\ metni {} ise} 0 <z \ leq 1 \\\ operatorname {zorlanmak} _ {b} (\ log _ {b} (z)) + 1 {\ metni {halinde }} 1 <z \\\ uç {olgu}}}$

bir lineer "kritik" parçası ile bir parçalı tanımlı fonksiyonudur. Bu işlev için tüm gerçek süreklidir özelliğine sahip z ( sürekli). Bu yaklaşım ilk tanıyan yazarlar bunun içinde olmasa da, Rubstov ve Romerio vardı onların kağıt , bu bulunabilir kendi algoritması kendi yazılım prototip kullanılır. Doğrusal yaklaşım için tetrasyon Diğer yandan, örneğin, daha önce bilinen olmuştu, Ioannis Galidakis . Bu, lineer yaklaşım doğal bir tersi olan tetrasyon . ${\ Displaystyle Cı ^ {0}}$

Holmes gibi Yazarlar süper logaritma bilgisayar kayan nokta aritmetik sonraki evrimi için epey olacağını kabul ediyoruz, ancak bu amaç için, fonksiyon sonsuz türevlenebilir olması gerekmez. Bu nedenle, çok sayıda teslim etmek amacıyla, doğrusal yaklaşım yaklaşım yeterli sürekliliği sağlar ( reel sayılar tüm süper logaritmik bir ölçekte temsil edilebilir sağlamak için süreklilik). ${\ Displaystyle Cı ^ {0}}$

İkinci dereceden yaklaşım

Kuadratik yaklaşımı süper logaritmanın şudur:

${\ Displaystyle \ operatorname {zorlanmak} _ {b} (Z) \ yaklaşık {\ başlar {olgu} \ operatorname {zorlanmak} _ {b} (b ^ {z}) - 1-{\ metni {}} Z \ leq 0 \\ - 1 + {\ frac {2 \ log (b)} {1 + \ log (b)}} z + {\ frac {1- \ log (b)} {1 + \ log (b)} } z ^ {2} ve {\ metni {ise}} 0 <z \ leq 1 \\\ operatorname {zorlanmak} _ {b} (\ log _ {b} (z)) + 1 {\ metni {ise} } 1 <z \ ucu {durumlarda}}}$

bu ikinci dereceden bir "kritik" parçası ile bir parçalı tanımlı fonksiyonudur. Bu işlev için tüm gerçek sürekli ve türevlenebilen bir özelliği z ( sürekli). Bu yaklaşım yayınlayan ilk yazar Andrew Robbins oldu bu yazıda . ${\ Displaystyle Cı ^ {1}}$

Temel matematik işlemleri önceden çözme büyük miktarda gerektirmeden, süper logaritma üzerinde gerçekleştirilebilir için süper logaritmanın Bu sürüm verir. Bu yöntemi kullanarak, süper Logaritma ve özellikleri temel soruşturma tetrasyon hesaplamalı yükü küçük bir miktarı ile gerçekleştirilebilir.

Abel işlevine Yaklaşımlar

Abel fonksiyonu Abel fonksiyonel denklemi yerine herhangi fonksiyonudur:

${\ Displaystyle A_ {f} (f (x)) = A_ {f} (x) + 1}$

Bir Abel işlevi göz önüne alındığında, başka bir çözüm herhangi bir sabit eklenmesi ile elde edilebilir . Bu nedenle, süper-logaritma ile tanımlanır verilen ve yaklaşımlar arasında farklı üçüncü özel özellik, üstel fonksiyon Abel fonksiyonu benzersiz belirlenebilir. ${\ Displaystyle A_ {f} (x)},$${\ Displaystyle A '_ {f} (x) = A_ {f} (x) + c}$${\ Displaystyle \ operatorname {zorlanmak} _ {b} (1) = 0}$

Özellikleri

süper logaritma tatmin olan diğer denklemler:

${\ Displaystyle \ operatorname {zorlanmak} _ {b} (z) = \ operatorname {zorlanmak} _ {b} (\ log _ {b} (z)) + 1}$

${\ Displaystyle \ operatorname {zorlanmak} _ {b} (Z)> - 2}$Tüm gerçek z

Muhtemelen, aşağıdaki solüsyon süper logaritma olarak ifade edilmiş olan matematiksel sorunun ilk örneğidir:

Yönlendirilmiş grafikler göz önünde N düğümünden düğümleri ve yönlendirilmiş bu yolu i düğüm j , ancak ve ancak mevcut tüm bu yolları uzunluğu en fazla ise k kenarları, daha sonra kenarların minimum toplam sayısıdır, ${\ Displaystyle i> j.}$

${\ Displaystyle \ Teta (N ^ {2})}$ için ${\ Displaystyle k = 1}$

${\ Displaystyle \ Teta (N log N \)}$ için ${\ Displaystyle k = 2}$

${\ Displaystyle \ Teta (N \ log \ log K)}$ için ${\ Displaystyle k = 3}$

${\ Displaystyle \ Teta (K \ operatorname {zorlanmak} K)}$için ve${\ Displaystyle k = 4}$${\ Displaystyle k = 5}$

(MI Grinchuk, 1986; vakalar vb süper süper logaritma, süper süper süper logaritma gerektirir)${\ Displaystyle k> 5}$

tetrasyon tersi olarak Süper logaritma

${\ Displaystyle f = {\ rm {zorlanmak}} _ {\ rm {e}} (z)}$ Karmaşık z düzleminde.

Olarak tetrasyon (ya da süper-üstel) , en azından bazı değerler için, bir analitik fonksiyon olduğundan şüphelenilen , ters fonksiyon da analitik olabilir. Davranışı bu şekilde tanımlanan, kompleks düzlem durum için Şekil 1 'de çizilmiştir . Zorlanmak fonksiyonlarının sanal bileşenlerinin gerçek ve tam sayı değerleri tam sayı değerleri tabakalarının kalın çizgilerle gösterilmektedir. Varlığı ve tekliği halinde analitik uzantısı arasında tetrasyon için asimptotik yaklaşım durumuna göre sağlanan sabit noktaları ve arasında kompleks düzlemin üst ve alt kısımlarında, daha sonra ters fonksiyonu da benzersiz olmalıdır. Bu tür bir işlev gerçek eksen de gerçektir. İki sahip dal noktalarını de ve . Bu da sınır değerini yaklaşımları (kesimler arasındaki tüm şerit, şekilde pembe çizgi ile gösterilmiştir), gerçek eksen negatif kısım yakın ve yavaş yavaş gerçek pozitif ekseni boyunca yukarı doğru büyür. Gerçek eksen türev pozitif olduğu için, zorlanmak hayali bölümü, tıpkı gerçek eksenin altında, tıpkı gerçek eksen üzerinde pozitif ve negatif kalmaktadır. Varlığı, tekliği ve genellemeler tartışma altındadır.${\ Displaystyle ~ {\ rm {sexp}} _ {b} (z) ~}$${\ Displaystyle ~ b ~}$${\ Displaystyle {\ rm {zorlanmak}} _ {b} = {\ rm {sexp}} _ {b} ^ {- 1}}$${\ Displaystyle ~ {\ rm {zorlanmak}} _ {b} (z) ~}$${\ Displaystyle ~ z ~}$${\ Displaystyle ~ b = e ~}$ ${\ Displaystyle L \ yaklaşık 0.318 + 1.337 {\! ~ {\ Rm {i}}}}$${\ Displaystyle L ^ {*} \ yaklaşık 0,318-1,337 {\! ~ {\ Rm {i}}}}$${\ Displaystyle L = \ ln (L)}$${\ Displaystyle ~ z = L ~}$${\ Displaystyle ~ z = L ^ {*}}$${\ Displaystyle -2}$

Ayrıca bakınız

• Rasgele logaritma
• tetrasyon

Referanslar

• Ioannis Galidakis, Matematik , çevrimiçi yayınlanan (Kasım 2007 erişilir).
• W. Neville Holmes, Kompozit Aritmetik: Yeni Bir Standard Önerisi , IEEE Computer Society Press, cilt. 30, no. 3, s. 65-73, 1997.
• Robert Munafo, MROB en büyük Numaraları çevrimiçi yayınlanan (Nov 2007 erişilir).
• CA Rubtsov ve GF Romerio, Ackermann Fonksiyonu ve Yeni Aritmetik Operasyonu çevrimiçi yayınlanan (Nov 2007 erişilir).
• Andrew Robbins, tetrasyon Analitik Parçalı Yayım ve Süper logaritmasının Çözme , (Kasım 2007 erişilir) yayınlanan çevrimiçi.
• George Szekeres, Abel denklemi ve düzenli büyüme : varyasyonlar Abel, Deney tarafından bir tema üzerine. Matematik. Cilt 7, Sayı 2 (1998), 85-100.
• Peter Walker Sonsuz Diferensiyellenebilen Genelleştirilmiş Logaritmik ve Üstel Fonksiyonlar , Hesaplama, Cilt Matematik. 57, No. 196 (Ekim 1991), s. 723-733.

Dış bağlantılar

• Rubstov ve Romerio, Hyper-operasyonlar Konu 1
• Rubstov ve Romerio, Hyper-operasyonlar Konu 2