Alt İşlev - Subfunctor
In kategori teorisi , bir kolu matematik , bir subfunctor özel bir türüdür funktor bir bir analog olan alt kümesi .
Tanım
Let C bir olmak kategori ve izin F bir kontravaryant funktor olmak C için setler kategorisinde ayarlayın . Bir kontravaryant funktor G den C için Set a, subfunctor arasında F , eğer
- Tüm için nesneleri c arasında C , G ( c ) ⊆ F ( c ), ve
- Tüm oklar için f : c '→ c arasında C , G, ( f )' dir sınırlama bölgesinin F ( f için) G ( c ).
Bu ilişki genellikle G ⊆ F olarak yazılır .
Örneğin, 1 tek nesneli ve tek oklu kategori olsun. Bir funktor F : 1 → Set eşsiz nesne haritalar 1 Bazı kümesine S ve eşsiz kimlik ok 1 kimlik işlevi 1'e S üzerinde S . Bir subfunctor G arasında F eşsiz nesne haritalar 1 bir alt kümesi için , T arasında S ve kimlik fonksiyonu 1 özgü kimlik ok haritalar T ile T . 1 T'nin 1 S ile T arasındaki sınırlama olduğuna dikkat edin . Sonuç olarak, F'nin alt işlevleri, S'nin alt kümelerine karşılık gelir .
Uyarılar
Genel olarak alt işlevler, alt kümelerin genel sürümleri gibidir. Örneğin, bir hayal, bazı kategori nesneleri C bir topolojik uzayın açık kümeler benzer olması, o andan itibaren bir kontravaryant funktor C kümelerinin kategorisine kümesi değerli verir presheaf üzerinde C olduğunu, bu setleri ilişkilendiren nesnelere C okları ile uyumlu bir şekilde C . Bir alt işlev daha sonra her kümeye bir alt kümeyi yine uyumlu bir şekilde ilişkilendirir.
Alt işlevlerin en önemli örnekleri, Hom işlevinin alt işlevleridir . Let c kategori bir amacı olarak C ve funktor dikkate Hom (-, c ) . Bu functor , C'nin c ′ nesnesini alır ve tüm c ′ → c morfizmalarını geri verir . Hom (-, c ) ' nin bir alt işlevi , morfizmlerin yalnızca bazılarını geri verir. Böyle bir alt işlev, elek olarak adlandırılır ve genellikle Grothendieck topolojilerini tanımlarken kullanılır .
Alt işlevlerini aç
Alt işlevler, halkalı uzaylar kategorisindeki temsil edilebilir işlevlerin inşasında da kullanılır . Let F setleri kategorisine halkalı alanların kategorisinden bir kontravaryant funktoru olabilir ve izin G ⊆ F . Bu dahil etme morfizminin G → F açık daldırmalarla temsil edilebildiğini varsayalım , yani herhangi bir gösterilebilir işlev Hom (-, X ) ve herhangi bir morfizm Hom (-, X ) → F için , fiberleştirilmiş ürün G × F Hom (-, X ) temsil edilebilir bir fonksiyondur Hom (-, Y ) ve Yoneda lemması tarafından tanımlanan Y → X morfizmi açık bir daldırmadır. Sonra G bir adlandırılan açık subfunctor arasında F . Eğer F Temsil açık subfunctors kaplıdır, o zaman, belirli koşullar altında, o gösterilebilir F sunulabilen. Bu, halkalı alanların inşası için faydalı bir tekniktir. Özellikle planlara uygulayan Alexander Grothendieck tarafından keşfedildi ve yoğun bir şekilde kullanıldı . Resmi bir ifade ve kanıt için bkz. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique , cilt. 1, 2. baskı, bölüm 0, bölüm 4.5.