Stoner-Wohlfarth modeli - Stoner–Wohlfarth model

Stoner-Wohlfarth modeli için yaygın olarak kullanılan modeldir mıknatıslanma ait tek alanlı ferromagnets . Bu manyetik histerezisin basit bir örneğidir ve manyetik depolama , biyomanyetizma , kaya manyetizması ve paleomanyetizmada küçük manyetik parçacıkların modellenmesi için kullanışlıdır .

Tarih

Stoner-Wohlfarth modeli, Edmund Clifton Stoner ve Erich Peter Wohlfarth tarafından geliştirildi ve 1948'de yayınlandı. Rastgele yönlendirilmiş mıknatısların entegre yanıtının sayısal bir hesaplamasını içeriyordu. Bu, bilgisayarlar yaygınlaşmadan önce yapıldığından, trigonometrik tablolara ve el hesaplamalarına başvurdular.

Açıklama

Şekil 1. Stoner–Wolhfarth modelinde kullanılan değişkenlerin gösterimi. Kesikli çizgi, parçacığın kolay eksenidir .

Stoner-Wohlfarth modelinde, mıknatıslanma ferromıknatıs içinde değişmez ve bir M vektörü ile temsil edilir . Bu vektör, H manyetik alanı değiştikçe döner . Manyetik alan yalnızca tek bir eksen boyunca değişir; skaler değeri h bir yönde pozitif ve zıt yönde negatiftir. Ferromıknatısın , anizotropi parametresi K _u olan tek eksenli bir manyetik anizotropiye sahip olduğu varsayılır . Manyetik alan değiştikçe, manyetizasyon, manyetik alan yönünü ve kolay ekseni içeren düzlemle sınırlıdır . Bu nedenle , manyetizasyon ve alan arasındaki açı olan tek bir açı φ ile temsil edilebilir (Şekil 1). Ayrıca alan ve kolay eksen arasındaki θ açısı da belirtilir .

denklemler

Sistemin enerjisi,

${\displaystyle E=K_{u}V\sin ^{2}\left(\varphi -\theta \sağ)-\mu _{0}M_{s}VH\cos \varphi ,\,}$

( 1 )

burada V mıknatıs hacmi, E _s olan manyetik doygunluk ve μ ₀ olan vakum geçirgenliği . İlk terim manyetik anizotropi ve ikincisi uygulanan alanla eşleşme enerjisidir (genellikle Zeeman enerjisi olarak adlandırılır).

Stoner ve Wohlfarth bu denklemi normalleştirdi:

${\displaystyle \eta ={\frac {E}{2K_{u}V}}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}\cos \left(2\sol (\varphi -\theta \sağ)\sağ)-h\cos \varphi ,\,}$

( 2 )

burada h = μ ₀ M _s H /2 K _u . Belirli bir manyetizasyon yönü, üzerindeki kuvvetler sıfır ise mekanik dengededir . Bu, enerjinin manyetizasyon yönüne göre birinci türevi sıfır olduğunda meydana gelir:

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial \varphi }}={\frac {1}{2}}\sin \left(2\left(\varphi -\theta \sağ)\sağ) +h\sin \varphi =0.\,}$

( 3 )

Bu yön, pozitif bir ikinci türevi olan minimum enerjide olduğunda, bozulmalara karşı kararlıdır:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial \varphi ^{2}}}=\cos \left(2\left(\varphi -\theta \sağ)\sağ)+h \cos \varphi >0.\,}$

( 4 )

Sıfır alanda, manyetizasyon kolay eksen ile hizalandığında manyetik anizotropi terimi en aza indirilir. Büyük bir alanda, manyetizasyon alana doğru yönlendirilir.

Histerezis döngüleri

Şekil 2. Stoner–Wolhfarth modelinin örnek bir çözümü. Hem h hem de m _h -1 ile +1 arasındadır . Düz kırmızı ve mavi eğriler minimum enerji, kesikli kırmızı ve mavi çizgiler minimum enerjidir. Üç dikey profil (ekler) için enerji profilleri dahildir.

Her bir açı için İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin kolay eksen ve bu alanda, denklem (arasında 3 ), iki çözüm eğrileri oluşan bir çözüm vardır. Bu eğrileri φ'yi değiştirerek ve h için çözerek çözmek önemsizdir . İçin bir eğri cp arasında 0 ve tt ve başka bir cp arasında tt ve 2 tt ; φ = 0 ve π'deki çözümler h = ±∞'ye karşılık gelir .

Alan yönündeki manyetizasyon M _s cos φ olduğundan , bu eğriler genellikle m _h vs. h normalleştirilmiş biçiminde çizilir , burada m _h = cos φ alan yönündeki manyetizasyonun bileşenidir. Şekil 2'de bir örnek gösterilmiştir. Düz kırmızı ve mavi eğriler, kararlı mıknatıslanma yönlerini birbirine bağlar. −1/2 ≤ h ≤ 1/2 alanları için iki eğri örtüşür ve iki sabit yön vardır. Bu histerezisin meydana geldiği bölgedir . Üç enerji profili dahildir (ekler). Kırmızı ve mavi yıldızlar, minimum enerjiye karşılık gelen kararlı mıknatıslanma yönleridir. Dikey kesikli çizgilerin kırmızı ve mavi kesikli çizgileri kestiği yerde, manyetizasyon yönleri maksimum enerjidir ve durumlar arasındaki enerji bariyerlerini belirler .

Sıradan bir manyetik histerezis ölçümünde, h büyük bir pozitif değerde başlar ve büyük bir negatif değere düşürülür. Mıknatıslanma yönü mavi eğride başlar. En h = 0.5 kırmızı eğri görünür, ancak için h > 0 daha yakın manyetik alanın yönüne çünkü mavi durum daha düşük bir enerjiye sahiptir. Alan negatif olduğunda, kırmızı durum daha düşük enerjiye sahiptir, ancak manyetizasyon, arada bir enerji bariyeri olduğu için hemen bu yeni yöne atlayamaz (eklere bakın). At h = -0.5 , ancak, enerji bariyeri kaybolur ve daha negatif mavi devlet artık yok alanları. Bu nedenle kırmızı duruma atlamalıdır. Bu sıçramadan sonra, alan h = 0,5'i geçene kadar mıknatıslanma kırmızı eğri üzerinde kalır , burada mavi eğriye atlar. Genellikle sadece histerezis döngüsü çizilir; enerji maksimumları, yalnızca termal dalgalanmaların etkisi hesaplandığında ilgilenir .

Stoner-Wohlfarth modeli, manyetik histerezisin klasik bir örneğidir. Halka, (a göre simetriktir 180 ^° kökenli etrafında dönme) ve meydana atlar h = ± h _s , s _ler olarak bilinen anahtarlama alanı . Tüm histerezis ± h _s'de meydana gelir .

Alan yönüne bağımlılık

Şekil 3. Alan ve kolay eksen arasındaki farklı açılar ( θ ) için Stoner–Wolhfarth modeli tarafından tahmin edilen bazı histerezis döngüleri .

Histerezis döngüsünün şekli, manyetik alan ile kolay eksen arasındaki açıya güçlü bir şekilde bağlıdır (Şekil 3). İkisi paralelse ( θ = 0 ), histerezis döngüsü en büyük noktasındadır ( normalleştirilmiş birimlerde m _h = h _s = 1 ile). Mıknatıslanma alana paralel başlar ve kararsız hale gelene ve ters yöne atlayana kadar dönmez. Genel olarak, açı ne kadar büyük olursa, o kadar çok tersinir dönüş meydana gelir. θ = 90 ^{° '} nin diğer ucunda , alan kolay eksene dik olduğunda, atlama olmaz. Mıknatıslanma sürekli olarak bir yönden diğerine döner (yine de iki dönüş yönü seçeneği vardır).

Belirli bir θ açısı için anahtarlama alanı, çözümün minimum enerjiden (∂ ² η /∂ φ ² > 0) maksimum enerjiye (∂ ² η /∂ φ ² < 0) geçiş yaptığı noktadır . Böylece, denklem ( 3 ) ∂ ² η /∂ φ ² = 0 ile birlikte çözülerek doğrudan hesaplanabilir . Çözüm şudur

${\displaystyle h_{s}={\frac {\sol(1-t^{2}+t^{4}\sağ)^{1/2}}{1+t^{2}}},\ ,}$

( 5 )

nerede

${\displaystyle t=\tan ^{1/3}\theta.\,}$

( 6 )

Normalleştirilmiş birimlerde, 0,5 ≤ h _s ≤ 1 .

Anahtarlama alanı çözümünü temsil etmenin alternatif bir yolu, h vektör alanını bir h _|| bileşenine bölmektir. = h cos θ kolay eksene paraleldir ve bir bileşen h _⊥ = h sin θ diktir. Sonra

${\displaystyle h_{\paralel }^{2/3}+h_{\perp }^{2/3}=1.\,}$

( 7 )

Bileşenler birbirine karşı çizilirse, sonuç bir Stoner-Wohlfarth astroididir . Bu astroide geometrik bir yapı uygulanarak bir manyetik histerezis döngüsü hesaplanabilir.

Homojen, izotropik sistemler için tahminler

histerezis

Şekil 4. Aynı parçacıklara sahip bir izotropik numune için ana histerezis döngüsü. Manyetizasyon ve alan normalleştirilir ( m _h = M _H / M _s , h = H /2 K _u ). Orijinden başlayan eğri, ilk manyetizasyon eğrisidir. Çift oklar, tersine çevrilebilir değişikliği, tek bir ok ise geri döndürülemez değişikliği temsil eder.

Stoner ve Wohlfarth , rastgele yönlendirilmiş, özdeş parçacıklardan oluşan bir izotropik sistem için ana histerezis döngüsünü hesapladı . Hesaplamanın sonucu Şekil 4'te verilmiştir. 0,5 < | h | < 1 , geri dönüşümlü değişiklik (çift oklar) başka bir yerde. Normalleştirilmiş doyma kalıcılığı m _rs ve zorlayıcılık h _c şekilde gösterilmiştir. Merkezdeki eğri , ilk manyetizasyon eğrisidir . Bu, bir alan uygulamadan önce demanyetize edilirse numunenin davranışını simüle eder. Demanyetizasyonun, her parçacığı, kolay eksene paralel iki yönden herhangi birinde eşit bir manyetize olma olasılığıyla bıraktığı varsayılır. Böylece, ana döngünün üst ve alt dallarının ortalamasıdır.

izotermal kalıntı

Şekil 5. Rastgele yönlendirilmiş, özdeş parçacıklardan oluşan bir izotropik sistem için üç tür izotermal kalıntı . Remanences olan m _ir , izotermal kalıcı mıknatıslanma; m _af , alternatif alan demanyetizasyon kalıntısı; ve m _df , dc demanyetizasyon kalıntısı.

Rastgele yönlendirilmiş, özdeş parçacıklar için bazı kalıntı hesaplamaları Şekil 5'te gösterilmiştir. İzotermal kalıcı mıknatıslanma (IRM), numunenin manyetikliği giderildikten ve ardından bir alan uygulandıktan sonra elde edilir. Eğrisi m _IR ( h ) alanının bir fonksiyonu olarak normalize artık mıknatıslanmayı gösterir. Tüm anahtarlama alanları 0,5'ten büyük olduğundan h = 0,5'e kadar hiçbir değişiklik olmaz . Bu alana kadar, manyetizasyondaki değişiklikler tersine çevrilebilir. Mıknatıslanma , en büyük anahtarlama alanı olan h = 1'de doygunluğa ulaşır .

Diğer iki artıklık türü, bir doygunluk izotermal kalıntısının (SIRM) manyetikliğinin giderilmesini içerir, böylece normalleştirilmiş birimlerde 1'den başlarlar . Yine, alan 0,5'e ulaşana kadar artıklığa hiçbir şey olmaz . m _dc'nin sıfıra ulaştığı alana artıklığın zorlayıcılığı denir .

Özdeş, rastgele yönlendirilmiş parçacıklar için tahmin edilen histerezis parametreleri

Parametre	tahmin
${\displaystyle M_{rs}/M_{s}}$	${\görüntüleme stili 0,5}$
${\displaystyle H_{c}/2K_{u}}$	${\ Displaystyle 0.479}$
${\displaystyle H_{cr}/2K_{u}}$	${\görüntüleme stili 0,524}$
${\displaystyle \chi _{0}/2K_{u}}$	${\ Displaystyle 2/3}$
${\displaystyle H_{cr}/H_{c}}$	${\görüntüleme stili 1.09}$

Bu hesaplama ile tahmin edilen bazı manyetik histerezis parametreleri yandaki tabloda gösterilmiştir. Yukarıdaki denklemlerde kullanılan normalleştirilmiş nicelikler, normal ölçülen nicelikler cinsinden ifade edilmiştir. H _cr parametresi , artıklığın zorlayıcılığıdır ve χ ₀ , başlangıç ​​duyarlılığıdır ( manyetisizleştirilmiş bir örneğin manyetik duyarlılığı ).

Daha genel sistemler

Yukarıdaki hesaplamalar özdeş parçacıklar içindir. Gerçek bir örnekte manyetik anizotropi parametresi K _u her parçacık için farklı olacaktır. Bu, M _rs / M _s oranını değiştirmez , ancak döngünün genel şeklini değiştirir. Döngünün şeklini karakterize etmek için sıklıkla kullanılan bir parametre, aynı parçacıklara sahip bir numune için 1,09 olan ve aynı değilse daha büyük olan H _cr / H _c oranıdır . Çizimleri M _rs / M _s karşı H _cr / H _c yaygın olarak kullanılır kaya manyetik alan duruma (bir ölçüsü olarak , tek alan ya da çok alanlı manyetik mineral bakımından).

Wohlfarth ilişkileri

Wohlfarth, herhangi bir Stoner-Wohlfarth parçacıkları sistemi için geçerli olan kalıntılar arasındaki ilişkileri tanımladı:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}M_{af}(H)&=M_{rs}-M_{ir}(H)\\M_{df}(H)&=M_{rs}-2M_{ir} (H)\end{hizalanmış}}.\,}$

( 8 )

Bu Wohlfarth ilişkileri , IRM'yi doygunluk kalıntısının demanyetizasyonu ile karşılaştırır. Wohlfarth ayrıca doygun olmayan bir IRM'nin elde edilmesi ile manyetikliğinin giderilmesini karşılaştıran daha genel ilişkiler tanımladı.

Wohlfarth ilişkileri, bir kalıntının diğerine karşı doğrusal çizimleri ile temsil edilebilir. Bu Henkel grafikleri genellikle gerçek örneklerin ölçülen artıklık eğrilerini görüntülemek ve Stoner-Wohlfarth teorisinin bunlara uygulanıp uygulanmadığını belirlemek için kullanılır.

Modelin uzantıları

Stoner-Wohlfarth modeli, kısmen çok basit olduğu için yararlıdır, ancak çoğu zaman bir mıknatısın gerçek manyetik özelliklerini temsil etmekte yetersiz kalır. Genişletilmesinin birkaç yolu vardır:

• Manyetik anizotropinin genelleştirilmesi : Histerezis döngüleri, saf kübik manyetokristal anizotropiye sahip partiküllerin yanı sıra kübik ve tek eksenli anizotropi karışımları için hesaplanmıştır .
• Termal dalgalanmaların eklenmesi : Termal dalgalanmalar, sistemdeki histerezisi azaltarak kararlı durumlar arasında geçişleri mümkün kılar. Pfeiffer, Stoner-Wohlfarth modeline termal dalgalanmaların etkisini ekledi. Bu, histerezisi manyetik parçacığın boyutuna bağlı hale getirir. Parçacık boyutu (ve sıçramalar arasındaki süre ) azaldıkça, sonunda süperparamanyetizmaya geçer .
• Parçacık etkileşimlerinin eklenmesi: Mıknatıslar arasındaki manyetostatik veya değişim bağlantısı, manyetik özellikler üzerinde büyük bir etkiye sahip olabilir. Mıknatıslar bir zincirdeyse, Stoner-Wohlfarth parçacıkları gibi davranarak uyum içinde hareket edebilirler. Bu etki görülür magnetozom ait magnetotactic bakteriler . Diğer düzenlemelerde, etkileşimler histerezisi azaltabilir.
• Düzgün olmayan manyetizasyona genelleme: Bu, mikromanyetiklerin alanıdır .

Ayrıca bakınız

• Stoner-Wohlfarth astroid

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar

• Stoner-Wohlfarth manyetizasyonu tersine çevirme uygulaması