Stokes sürüklenmesi - Stokes drift
Akışkan dinamiğinde saf bir dalga hareketi için , Stokes sürüklenme hızı , akışkan akışıyla birlikte hareket eden belirli bir akışkan parselini takip ederken elde edilen ortalama hızdır . Örneğin , su dalgalarının serbest yüzeyinde yüzen bir parçacık , dalga yayılımı yönünde net bir Stokes sürüklenme hızı yaşar .
Daha genel olarak, Stokes sürüklenme hızı arasındaki fark ortalama Lagrange akış hızı , bir akışkan parselin ve ortalama Euler akış hızı arasında sıvı , sabit bir pozisyonda. Bu doğrusal olmayan fenomen almıştır George Gabriel Stokes bu sürüklenmenin ifadeleri türetilmiş, onun 1847 çalışma içinde su dalgaları .
Stokes sürüklenme önceden belirlenen bir zaman miktarı (genellikle bir sonra son konumlarda farktır dalga süresi bir açıklama türetilen), Lagrange ve Euler koordinatlar . Lagrange tanımındaki son konum , zaman aralığı boyunca belirli bir sıvı parseli izlenerek elde edilir. Euler tanımındaki karşılık gelen son konum , aynı zaman aralığında sabit bir konumdaki akış hızının -Lagrange tanımındaki başlangıç konumuna eşit- entegre edilmesiyle elde edilir .
Stokes sürüklenme hızı, düşünülen zaman aralığına bölünen Stokes sürüklenmesine eşittir. Stokes sürüklenme hızına genellikle Stokes kayması denir. Stokes kayması, uzayda homojen olmayan tüm salınımlı akış durumlarında meydana gelebilir . Örneğin su dalgaları , gelgitler ve atmosferik dalgalar .
Gelen Lagrange açıklama , sıvı parseller başlangıç pozisyonlarından çok sürüklenebilir. Sonuç olarak, belirli bir sabit konuma atfedilebilecek ortalama bir Lagrange hızının ve Stokes sürüklenme hızının açık tanımı hiçbir şekilde önemsiz bir iş değildir. Bununla birlikte, böyle bir açık tanım, 1978'de Andrews ve McIntyre'ın Genelleştirilmiş Lagrange Ortalaması (GLM) teorisi tarafından sağlanmaktadır .
Stokes kayması, her türlü materyal ve organizmanın salınımlı akışlarla kütle transferi için önemlidir . Ayrıca Stokes kayması, Langmuir sirkülasyonlarının oluşması için önemlidir . İçin doğrusal olmayan ve periyodik su dalgaları, Stokes'a doğru sonuçlar hesaplanır ve tablo halinde sunulmaktadır sürüklenmesini.
matematiksel açıklama
Lagrange hareket ile bir sıvı parselin konum vektörü x = ξ ( α , t) Euler koordinatlarda ile verilir:
burada ∂ Karsılık / ∂t olan kısmi türev arasında Karsılık ( a , t) ile ilgili olarak , t , ve
- ξ ( α ,t) bir akışkan parselininLagrange konum vektörüdür ,
- u ( x ,t) Euler hızıdır ,
- X bir konum vektörü içinde Euler koordinat sistemi ,
- α olduğu konum vektörü içinde Lagrange'ına koordinat sistemi ,
- t olduğu zaman .
Çoğu zaman, Lagrange koordinatları α , ilk t = t 0 anında Euler koordinatları x ile çakışacak şekilde seçilir :
Ancak sıvı paketlerini etiketlemenin başka yolları da mümkündür.
Eğer ortalama bir miktarda değeri bir Overbar ile gösterilen, daha sonra ortalama Euler hız vektörü ® E ve ortalama Lagrange hız vektörü ® L gibidir:
Çalışmanın konusuna bağlı olarak ortalamanın farklı tanımları kullanılabilir, bkz. ergodik teori :
- zaman ortalaması,
- uzay ortalaması,
- topluluk ortalaması ve
- faz ortalaması.
Stokes sürüklenme hızı ū S , ortalama Eulerian hızı ile ortalama Lagrange hızı arasındaki fark olarak tanımlanır:
Pek çok durumda, eşleme bir Euler pozisyon ortalama miktarlarda x tekabül eden bir Lagrange konumun için α formları bir sorun olabilir. α etiketli bir sıvı parseli birçok farklı Euler pozisyonu x'in bir yolu boyunca hareket ettiğinden, α'yı benzersiz bir x'e atamak mümkün değildir . Ortalama Lagrange ve Eulerian miktarları arasındaki açık bir haritalama için matematiksel olarak sağlam bir temel , Andrews ve McIntyre'ın (1978) Genelleştirilmiş Lagrange Ortalaması (GLM) teorisi tarafından sağlanmaktadır .
Örnek: Tek boyutlu sıkıştırılabilir bir akış
Sürekli bir ortamda herhangi bir doğada tek renkli bir dalga olarak Euler hızı için: parçacık konumu için - küçük bir parametre olarak - pertürbasyon teorisi ile kolayca elde edilir
Burada son terim Stokes sürüklenme hızını tanımlar
Örnek: Derin su dalgaları
İçin formüle edilmiştir sürüklenme Stokes su dalgaları tarafından George Gabriel Stokes Basitlik için 1847'de, bir durumda , sonsuz Derin su ile, kabul edilen doğrusal dalga yayılımının a sinüsoidal dalga serbest yüzeyinden bir sıvı tabakanın:
nerede
- η olan yükseklik arasında serbest yüzeyi içinde Z , doğrultusu (metre)
- a dalga genliğidir (metre),
- k ise dalga sayısı : k = 2π / λ ( radyan metre başına),
- ω olan açısal frekans : ω = 2π / T ( radyan başına saniye ),
- x yatay koordinat ve dalga yayılma yönüdür (metre),
- z , pozitif z yönü akışkan katmanından (metre) dışarıyı gösteren dikey koordinattır ,
- λ olan dalga boyu (m), ve
- T bir dalga süresi ( saniye ).
Aşağıda elde edildiği gibi, derin su dalgaları için Stokes sürüklenme hızının yatay bileşeni ū S ( z ) yaklaşık olarak:
Görülebileceği gibi, Stokes sürüklenme hızı ū S , dalga genliği a açısından doğrusal olmayan bir niceliktir . Bundan başka, Stokes sürüklenme hızı derinliği ile üstel olarak azalır: çeyrek dalga boyunun bir derinlikte, z = -¼ λ , bu ortalama en değerinin% 4 ilgili serbest yüzeyi , z = 0 .
türetme
Dalgaların sonsuz küçük genliğe sahip olduğu ve serbest yüzeyin ortalama z = 0 seviyesi etrafında salınım yaptığı varsayılmaktadır . Dalgalar ile, yer çekimi etkisi altında yaymak sürekli hızlanma vektörü ile ağırlık (negatif olarak aşağıya doğru z yönünde). Ayrıca akışkanın sabit kütle yoğunluğu ile viskoz ve sıkıştırılamaz olduğu varsayılır . Sıvı akışı bir irrotasyonel . Sonsuz derinlikte, akışkan olmak alınır kalanı .
Şimdi akış , Laplace denklemini sağlayan bir hız potansiyeli φ ile temsil edilebilir ve
Bu özdeğer problemi için önemsiz olmayan çözümlere sahip olmak için , dalga boyu ve dalga periyodu keyfi olarak seçilmeyebilir, ancak derin su dağılım ilişkisini sağlamalıdır :
ile gr ivme ile ağırlık olarak ( m / s 2 ). Lineer teori çerçevesinde , Lagrange konumunun ξ yatay ve dikey bileşenleri, sırasıyla ξ x ve ξ z :
Yatay bileşen ® S Stokes sürüklenme hızının bir kullanılarak tahmin edilmektedir Taylor açılımı yaklaşık x Euler yatay hız bileşeninin U X = ∂ξ x / ∂t pozisyonunda Karsılık :
Ayrıca bakınız
Referanslar
Tarihi
- EKLE Craik (2005). "Su dalgası teorisi üzerine George Gabriel Stokes". Akışkanlar Mekaniğinin Yıllık İncelemesi . 37 (1): 23–42. Bibcode : 2005AnRFM..37...23C . doi : 10.1146/annurev.fluid.37.061903.175836 .
-
GG Stokes (1847). "Salınım dalgaları teorisi Üzerine". Cambridge Felsefe Derneği'nin İşlemleri . 8 : 441–455.
Yeniden basıldı: GG Stokes (1880). Matematiksel ve Fiziksel Kağıtlar, Cilt I . Cambridge Üniversitesi Yayınları. s. 197–229.
Diğer
- DG Andrews ve ME McIntyre (1978). "Bir Lagrange ortalama akışı üzerinde doğrusal olmayan dalgaların kesin bir teorisi". Akışkanlar Mekaniği Dergisi . 89 (4): 609-646. Bibcode : 1978JFM....89..609A . doi : 10.1017/S0022112078002773 .
- EKLE Craik (1985). Dalga etkileşimleri ve akışkan akışları . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-521-36829-2.
- MS Longuet-Higgins (1953). "Su dalgalarında toplu taşıma". Royal Society A'nın Felsefi İşlemleri . 245 (903): 535-581. Bibcode : 1953RSPTA.245..535L . doi : 10.1098/rsta.1953.0006 .
- Phillips, OM (1977). Yukarı okyanusun dinamikleri (2. baskı). Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-521-29801-8.
- G. Falkoviç (2011). Akışkanlar Mekaniği (Fizikçiler için kısa bir kurs) . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-1-107-00575-4.
- Kubota, M. (1994). "Kuzey Hawaii'nin yüzen deniz enkazının birikmesi için bir mekanizma". Fiziksel Oşinografi Dergisi . 24 (5): 1059–1064. Bibcode : 1994JPO....24.1059K . doi : 10.1175/1520-0485(1994)024<1059:AMFTAO>2.0.CO;2 .