Stirling'in yaklaşımı - Stirling's approximation

Faktöriyel ile Stirling'in yaklaşımının karşılaştırılması

Gelen matematik , Stirling yaklaşımı (ya da Stirling formülü ) yaklaşık bir faktöriyel . n'nin küçük değerleri için bile doğru sonuçlara yol açan iyi bir yaklaşımdır . Adını James Stirling'den almıştır , ancak ilk olarak Abraham de Moivre tarafından ifade edilmiştir .

Uygulamalarda tipik olarak kullanılan formülün versiyonu,

${\displaystyle \ln(n!)=n\ln n-n+O(\ln n)}$

( büyük O notasyonunda as ) veya logaritmanın tabanını değiştirerek (örneğin, karşılaştırmalı sıralama için en kötü durum alt sınırında ), ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \log _{2}(n!)=n\log _{2}nn\log _{2}e+O(\log _{2}n).}$

O (ln n ) hata teriminde sabitin belirtilmesi 1/2ln(2 πn ) , daha kesin formülü verir:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\sağ)^{n},}$

burada ~ işareti, iki miktarın asimptotik olduğu anlamına gelir : n sonsuza eğilim gösterirken, oranları 1'e eğilim gösterir.

türetme

Kabaca söylemek gerekirse, Stirling formülünün en basit versiyonu, toplamın yaklaşık olarak hesaplanmasıyla hızlı bir şekilde elde edilebilir.

${\displaystyle \ln(n!)=\sum _{j=1}^{n}\ln j}$

bir ile integrali :

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\ln j\yaklaşık \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n +1.}$

Tam formül, hatasının kesin tahminleriyle birlikte aşağıdaki gibi türetilebilir. Yaklaşmak yerine n ! , doğal logaritması dikkate alınır , çünkü bu yavaş değişen bir fonksiyondur :

${\displaystyle \ln(n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.}$

Bu denklemin sağ tarafı eksi

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\ln 1+\ln n)={\tfrac {1}{2}}\ln n}$

integralin yamuk kuralına göre yaklaşımıdır

${\displaystyle \ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln n\yaklaşık \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n \ln n-n+1,}$

ve bu yaklaşımdaki hata Euler-Maclaurin formülüyle verilir :

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln n&={\tfrac {1}{2}}\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln(n-1)+{\tfrac {1}{2}}\ln n\\&=n\ln n-n+1+\sum _{k=2}^{m }{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\sağ )+R_{m,n},\end{hizalı}}}$

burada B _k bir Bernoulli sayısıdır ve R _{m , n} Euler-Maclaurin formülünde kalan terimdir. Bunu bulmak için sınırları al

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln(n!)-n\ln n+n-{\tfrac {1}{2}}\ln n\sağ)=1-\ toplam _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R_{ m,n}.}$

Bu limiti y olarak belirtin . Geri kalan kısım için R, _{m , n,} içinde Euler-MacLaurin formül tatmin

${\displaystyle R_{m,n}=\lim _{n\to \infty }R_{m,n}+O\sol({\frac {1}{n^{m}}}\sağ),}$

burada büyük O gösterimi verimleri onun logaritmik yaklaşım yukarıdaki formül denklemleri birleştiren kullanılır:

${\displaystyle \ln(n!)=n\ln \left({\frac {n}{e}}\sağ)+{\tfrac {1}{2}}\ln n+y+\sum _{k =2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\sol({\frac {1 }{n^{m}}}\sağ).}$

Her iki tarafın üstelini alarak ve herhangi bir pozitif m tamsayısını seçerek , bilinmeyen bir e ^y niceliğini içeren bir formül elde edilir . İçin m = 1 olarak , formül

${\displaystyle n!=e^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\sağ)^{n}\left(1+O\left({\frac) {1}{n}}\sağ)\sağ).}$

e ^y miktarı , n'nin sonsuza gitme eğiliminde olduğu için her iki taraftaki limit alınarak ve e ^y = √ 2 π olduğunu gösteren Wallis'in çarpımı kullanılarak bulunabilir . Bu nedenle, Stirling'in formülü elde edilir:

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\sağ)^{n}\left(1+O\left({\frac {1) }{n}}\sağ)\sağ)}$

alternatif türetme

n için alternatif bir formül ! kullanılarak gama fonksiyonu olan

${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\,{\rm {d}}x.}$

(parçalar tarafından tekrarlanan entegrasyondan görülebileceği gibi). Değişkenleri yeniden yazma ve değiştirme x = ny , biri elde edilir

${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty}e^{n\ln xx}\,{\rm {d}}x=e^{n\ln n}n\int _{0 }^{\infty }e^{n(\ln yy)}\,{\rm {d}}y.}$

Laplace'ın yöntemini uygulamak ,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty}e^{n(\ln yy)}\,{\rm {d}}y\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n} }}e^{-n},}$

hangi Stirling'in formülünü kurtarır:

${\displaystyle n!\sim e^{n\ln n}n{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}={\sqrt {2\pi n}}\ sol({\frac {n}{e}}\sağ)^{n}.}$

Aslında, Laplace'ın yöntemi kullanılarak daha fazla düzeltme de elde edilebilir. Örneğin, Laplace'ın yöntem verimlerini kullanarak iki mertebeden genişlemeyi hesaplamak ( küçük-o notasyonu kullanarak )

${\displaystyle \int _{0}^{\infty}e^{n(\ln yy)}\,{\rm {d}}y={\sqrt {\frac {2\pi }{n}} }e^{-n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+o\left({\frac {1}{n}}\sağ)\sağ)}$

ve Stirling'in formülünü iki sıraya verir:

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\sağ)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n} }+o\sol({\frac {1}{n}}\sağ)\sağ).}$

Bu yöntemin karmaşık bir analiz versiyonu, Cauchy'nin integral formülüyle hesaplanan üstel fonksiyonun Taylor katsayısı olarak düşünülmelidir . ${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}$${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|z|=r}{\frac {e^{z}} {z^{n+1}}}\,\mathrm {d} z.}$

Bu çizgi integrali daha sonra , uygun bir karşı yarıçap seçimi ile eyer noktası yöntemi kullanılarak yaklaşıklanabilir . Eyer noktasına yakın integralin baskın kısmı daha sonra gerçek bir integral ve Laplace yöntemi ile yaklaştırılırken, integralin kalan kısmı bir hata terimi vermek üzere yukarıda sınırlandırılabilir. ${\görüntüleme stili r=r_{n}}$

Yakınsama hızı ve hata tahminleri

0 ila 5 terim için kesilmiş bir Stirling serisi ile n arasındaki bağıl hata . Eğrilerdeki kıvrımlar, kesik serinin Γ( n + 1) ile çakıştığı noktaları temsil eder .

Stirling'in formülü aslında aşağıdaki seriye ilk yaklaşımdır (şimdi Stirling serisi olarak adlandırılmaktadır ):

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\sağ)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n) }}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \sağ).}$

Bu serideki katsayılar için açık bir formül G. Nemes tarafından verilmiştir. Bu bölümde, ilk grafik bağıl hata genel n , yukarıda listelenen bütün 5 dönem boyunca 1 için.

Kesilmiş bir Stirling serisindeki bağıl hata ile kullanılan terim sayısı arasındaki fark

Olarak N → ∞ , kesilmiş seri hatası asimptotik ilk ihmal terime eşittir. Bu asimptotik genişlemeye bir örnektir . Yakınsak bir dizi değildir ; n'nin herhangi bir özel değeri için , serinin doğruluğu artıran ve sonrasında doğruluk kötüleşen çok sayıda terim vardır. Bu, daha fazla sayıda terim için serideki terim sayısına göre bağıl hatayı gösteren bir sonraki grafikte gösterilmektedir. Daha kesin olarak, S ( n , t ) Stirling serisinden t'ye n'de değerlendirilen terim olsun  . Grafikler gösteriyor

${\displaystyle \left|\ln \sol({\frac {S(n,t)}{n!}}\sağ)\sağ|,}$

ki, küçük olduğunda, esasen göreli hatadır.

Stirling'in serisini formda yazmak

${\displaystyle \ln(n!)\sim n\ln n-n+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi n)+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots ,}$

diziyi kesmedeki hatanın her zaman zıt işaretli olduğu ve en fazla ilk atlanan terimle aynı büyüklükte olduğu bilinmektedir.

Tüm pozitif tamsayılar için geçerli nedeniyle Robbins Daha kesin sınırları, n olan

${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\ n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}e^{\frac {1}{12n+1}}<n !<{\sqrt {2\pi }}\ n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}e^{\frac {1}{12n}}.}$

Gama fonksiyonu için Stirling formülü

Tüm pozitif tam sayılar için,

${\displaystyle n!=\Gama (n+1),}$

burada Γ gama fonksiyonunu gösterir .

Bununla birlikte, gama işlevi, faktöriyelden farklı olarak, pozitif olmayan tamsayılar dışındaki tüm karmaşık sayılar için daha geniş bir şekilde tanımlanır; bununla birlikte, Stirling'in formülü yine de uygulanabilir. Eğer Re ( z )> 0 , daha sonra

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\int _{0}^{ \infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{z}}\sağ)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t .}$

Parçalar tarafından tekrarlanan entegrasyon verir

${\displaystyle \ln \Gamma (z)\sim z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\sum _{n=1 }^{N-1}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}},}$

burada B _{, n} olup , n -inci Bernoulli sayısı (toplamın limiti, bu not , bu formül, sadece bir yani, yakınsak değildir asimptotik genleşme ). Formül, mutlak değerde yeterince büyük z için | argüman( z ) | < π − ε , burada ε pozitiftir, hata terimi O ( z ^{−2 N + 1} ) ile . Karşılık gelen yaklaşıklık şimdi yazılabilir: ${\ Displaystyle N\to \infty }$

${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\,{\left({\frac {z}{e}}\sağ)}^{z}\ sol(1+O\sol({\frac {1}{z}}\sağ)\sağ).}$

burada genişleme, Stirling'in n ! , n'nin z − 1 ile değiştirilmesi dışında .

Bu asimptotik genişlemenin bir başka uygulaması, sabit Re( z ) ile karmaşık z argümanı içindir . Örneğin, bakınız uygulanan Stirling formül Im ( z ) = t ait Riemann-Siegel teta fonksiyonu doğru üzerinde1/4+ o .

Hata sınırları

Herhangi bir pozitif tamsayı N için aşağıdaki gösterim tanıtılır:

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\sum \limits _{n= 1}^{N-1}{\frac {B_{2n}}{2n\sol({2n-1}\sağ)z^{2n-1}}}+R_{N}(z)}$

ve

${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\sol({\frac {z}{e}}\sağ)^{z}\sol({\ sum \limits _{n=0}^{N-1}{\frac {a_{n}}{z^{n}}}+{\widetilde {R}}_{N}(z)}\right ).}$

Sonra

${\displaystyle {\begin{hizalı}|R_{N}(z)|&\leq {\frac {|B_{2N}|}{2N(2N-1)|z|^{2N-1}}} {\begin{cases}1&{\text{ if }}|\arg z|\leq {\frac {\pi }{4}},\\|\csc(\arg z)|&{\text{ ise }}{\frac {\pi }{4}}<|\arg z|<{\frac {\pi }{2}},\\\sec ^{2N}\left({\tfrac {\arg z }{2}}\right)&{\text{ if }}|\arg z|<\pi ,\end{cases}}\\[6pt]\left|{\widetilde {R}}_{N} (z)\right|&\leq \left({\frac {\left|a_{N}\right|}{|z|^{N}}}+{\frac {\left|a_{N+1 }\right|}{|z|^{N+1}}}\right){\begin{cases}1&{\text{ if }}|\arg z|\leq {\frac {\pi }{4 }},\\|\csc(2\arg z)|&{\text{ if }}{\frac {\pi }{4}}<|\arg z|<{\frac {\pi }{2 }}.\end{durumlar}}\end{hizalanmış}}}$

Daha fazla bilgi ve diğer hata sınırları için belirtilen makalelere bakın.

Stirling formülünün yakınsak bir versiyonu

Thomas Bayes , Kraliyet Cemiyeti tarafından 1763'te John Canton'a yayınlanan bir mektupta , Stirling'in formülünün yakınsak bir dizi vermediğini gösterdi . Stirling formülünün yakınsak bir versiyonunu elde etmek, Raabe formülünü değerlendirmeyi gerektirir :

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{x}}\sağ)}{e^{2\pi t}-1} }\,{\rm {d}}t=\ln \Gamma (x)-x\ln x+x-{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{x} }.}$

Bunu yapmanın bir yolu, yakınsak bir dizi ters çevrilmiş yükselen üsler aracılığıyladır . Eğer

${\displaystyle z^{\bar {n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1),}$

sonra

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{x}}\sağ)}{e^{2\pi t}-1} }\,{\rm {d}}t=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(x+1)^{\bar {n}}}} ,}$

nerede

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}x^{\bar {n}}\left(x-{\tfrac {1}{2 }}\sağ)\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {k|s(n,k) |}{(k+1)(k+2)}},}$

burada s ( n ,  k ) birinci türden Stirling sayılarını gösterir . Bundan Stirling'in serisinin bir versiyonu elde edilir.

${\displaystyle {\begin{hizalı}\ln \Gamma (x)&=x\ln x-x+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{x}}+{ \frac {1}{12(x+1)}}+{\frac {1}{12(x+1)(x+2)}}+\\&\quad +{\frac {59}{360 (x+1)(x+2)(x+3)}}+{\frac {29}{60(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}}+\ cdots,\end{hizalanmış}}}$

Re( x ) > 0 olduğunda yakınsar .

Hesap makineleri için uygun sürümler

yaklaşıklık

${\displaystyle \Gamma (z)\yaklaşık {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac { 1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\sağ)^{z}}$

ve eşdeğer formu

${\displaystyle 2\ln \Gamma (z)\yaklaşık \ln(2\pi )-\ln z+z\left(2\ln z+\ln \left(z\sinh {\frac {1}{z}) }+{\frac {1}{810z^{6}}}\sağ)-2\sağ)}$

Stirling'in genişletilmiş formülünü yeniden düzenleyerek ve sonuçtaki kuvvet serileri ile hiperbolik sinüs fonksiyonunun Taylor serisi açılımı arasındaki bir çakışmayı gözlemleyerek elde edilebilir . Bu yaklaşım, gerçek kısmı 8'den büyük olan z için 8'den fazla ondalık basamak için iyidir. Robert H. Windschitl, 2002'de sınırlı program veya kayıt belleği olan hesap makinelerinde gama fonksiyonunun adil doğrulukla hesaplanması için bunu önerdi.

Gergő Nemes, 2007'de Windschitl yaklaşımıyla aynı sayıda tam basamak veren ancak çok daha basit bir yaklaşım önerdi:

${\displaystyle \Gamma (z)\yaklaşık {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {1}{e}}\left(z+{\frac {1}{) 12z-{\frac {1}{10z}}}}\sağ)\sağ)^{z},}$

Veya eşdeğer olarak,

${\displaystyle \ln \Gamma (z)\yaklaşık {\tfrac {1}{2}}\left(\ln(2\pi )-\ln z\right)+z\left(\ln \left(z+) {\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\sağ)-1\sağ).}$

Srinivasa Ramanujan ( Ramanujan 1988 ) tarafından belirtilen gama fonksiyonu için alternatif bir yaklaşım şöyledir:

${\displaystyle \Gamma (1+x)\yaklaşık {\sqrt {\pi }}\sol({\frac {x}{e}}\sağ)^{x}\sol(8x^{3}+4x) ^{2}+x+{\frac {1}{30}}\sağ)^{\frac {1}{6}}}$

için x ≥ 0 . ln n ! için eşdeğer yaklaşım asimptotik hatası var1/1400 , n ³ ve tarafından verilir

${\displaystyle \ln n!\yaklaşık n\ln n-n+{\tfrac {1}{6}}\ln(8n^{3}+4n^{2}+n+{\tfrac {1}{30} })+{\tfrac {1}{2}}\ln \pi .}$

Yaklaşım, eşleştirilmiş üst ve alt sınırlar verilerek kesin hale getirilebilir; böyle bir eşitsizlik

${\displaystyle {\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\sağ)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\frac) {1}{100}}\sağ)^{1/6}<\Gama (1+x)<{\sqrt {\pi }}\sol({\frac {x}{e}}\sağ)^ {x}\sol(8x^{3}+4x^{2}+x+{\frac {1}{30}}\sağ)^{1/6}.}$

Binom dağılımındaki merkezi etkinin tahmin edilmesi

Bilgisayar biliminde, özellikle rasgele algoritmalar bağlamında, uzunluğu iki olan rasgele bit vektörleri oluşturmak yaygındır. Bu bit vektörlerini üreten ve tüketen birçok algoritma, üretilen bit vektörlerinin popülasyon sayısına veya bu tür iki vektör arasındaki Manhattan mesafesine duyarlıdır . Çoğu zaman özellikle ilgi çekici olan, bir n- bitlik vektörün popülasyon sayısının tam olarak olduğu "adil" vektörlerin yoğunluğudur . Olasılığına Bu miktarlar, ötelemeli o para atmak bir kravat oyununa çalışmalar yol üzerinde. ${\görüntüleme stili n/2}$

Stirling'in binom dağılımının merkezi ve maksimal binom katsayısına yaklaşımı , bir tamsayı için biçimini aldığı yeri özellikle güzel bir şekilde basitleştirir . Burada , desibel zayıflamasında son biçimi türeterek, merkezi nüfus sayımı yoğunluğunun 'ye kıyasla nasıl azaldığıyla ilgileniyoruz : ${\displaystyle {n \n/2'yi seçin}}$${\görüntüleme stili n}$${\ Displaystyle 4^{k}}$${\görüntüleme stili k}$${\ Displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log _{2}{n \choose n/2}-n&=-k-{\frac {\log _{2}(\pi )-1}{2}} +O(\log _{2}n)\\&\yaklaşık -k-0.3257481\\&\yaklaşık -k-{\frac {1}{3}}\\&\yaklaşık \mathbf {3k+1} ~~\mathrm {dB} ~({\text{zayıflama}})\end{hizalı}}}$

Bu basit yaklaşım şaşırtıcı bir doğruluk sergiliyor:

${\displaystyle {\begin{aligned}10\log _{10}(2^{-1024}{1024 \select 512})&\yaklaşık -16.033159~~~{\begin{cases}k&=5\\n =4^{k}&=1024\\3k+1&=\mathbf {16} \\\end{durumlar}}\\10\log _{10}(2^{-1048576}{1048576 \choose 524288} )&\yaklaşık -31.083600~~~{\begin{durumlar}k&=10\\n=4^{k}&=1048576\\3k+1&=\mathbf {31} \\\end{durumlar}}\ bitiş{hizalı}}}$

İkili azalma, dB'ye bölündüğünde elde edilir . ${\displaystyle 10\log(2)/\log(10)\yaklaşık 3.0103\yaklaşık 3}$

Doğrudan kesirli bir tahmin olarak:

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \seç n/2}/2^{n}&=2^{{\frac {1-\log _{2}(\pi )}{2}}- k}+O(n)\\&\yaklaşık {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}~2^{-k}\\&\yaklaşık 0.7978846~2^{-k}\\& \yaklaşık \mathbf {{\frac {4}{5}}2^{-k}} \end{hizalı}}}$

Bir kez daha, her iki örnek de kolayca %1'in üzerinde bir doğruluk sergiliyor:

${\displaystyle {\begin{aligned}{256 \choose 128}2^{-256}&\yaklaşık 20.072619^{-1}~~~{\begin{cases}k&=4\\n=4^{k }&=256\\{\frac {4}{5}}\times {\frac {1}{2^{4}}}&=\mathbf {20} ^{-1}\\\end{durumlar }}\\{1048576 \choose 524288}2^{-1048576}&\yaklaşık 1283.3940^{-1}~~~{\begin{kasalar}k&=10\\n=4^{k}&=1048576\ \{\frac {4}{5}}\times {\frac {1}{2^{10}}}&=\mathbf {1280} ^{-1}\end{cases}}\end{aligned} }}$

Tekrarlanan bir yazı tura olarak yorumlandığında, bir milyondan biraz fazla yazı tura (bir milyon ikili) içeren bir oturumun yaklaşık 1300'ünde berabere bitme şansı vardır.

Bu yaklaşımların her ikisi de (biri log uzayında, diğeri lineer uzayda), pek çok yazılım geliştiricisinin tahmini zihinsel tahmin standartlarına göre istisnai bir doğrulukla zihinsel olarak elde etmesi için yeterince basittir.

Binom dağılımı , büyük için normal dağılıma çok yakındır , bu nedenle Stirling'in yaklaşımına dayanan bu tahminler , aşağıdaki dağılım için belirtildiği gibi, büyük ve için olasılık kütle fonksiyonunun tepe değeriyle de ilgilidir : . ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili p=0.5}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {N}}(np,\,np(1-p))}$

Tarih

Formül ilk olarak Abraham de Moivre tarafından formda keşfedildi.

${\displaystyle n!\sim [{\rm {sabit}}]\cdot n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}.}$

De Moivre, sabitin doğal logaritması için yaklaşık bir rasyonel sayı ifadesi verdi. Stirling'in katkısı, sabitin tam olarak . ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$

Ayrıca bakınız

• Lanczos yaklaşımı
• Spouge'un yaklaşımı

Notlar

Referanslar

• Olver, FWJ; Olde Daalhuis, AB; Lozier, DW; Schneider, BI; Boisvert, RF; Clark, CW; Miller, BR & Saunders, BV, NIST Digital Library of Mathematical Functions , Sürüm 1.0.13, 2016-09-16
• Abramowitz, M. & Stegun, I. (2002), Handbook of Mathematical Functions
• Nemes, G. (2010), "Gama fonksiyonu için yeni asimptotik açılım", Archiv der Mathematik , 95 (2): 161–169, doi : 10.1007/s00013-010-0146-9
• Paris, RB & Kaminski, D. (2001), Asimptotikler ve Mellin-Barnes İntegralleri , New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79001-7
• Whittaker, ET & Watson, GN (1996), Modern Analizde Bir Kurs (4. baskı), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2
• Dan Romik, Stirling'in n! için Yaklaşımı: Nihai Kısa Kanıt? , The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 6 (Haziran – Tem., 2000), 556–557.
• Y.-C. Li, Gama Fonksiyonunun ve Stirling Formülünün Özdeşliği Üzerine Bir Not , Gerçek Analiz Değişimi, Cilt. 32(1), 2006/2007, s. 267–272.

Dış bağlantılar

• "Stirling_formula" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Peter Luschny, faktöriyel fonksiyon n için yaklaşıklık formülleri!
• Weisstein, Eric W. "Stirling'in Yaklaşımı" . Matematik Dünyası .
• Stirling'in yaklaşımı en PlanetMath .