Basamak fonksiyonu - Step function

Matematikte, bir fonksiyon üzerinde gerçek sayılar bir denir adım fonksiyonu (veya merdiven işlevi bir şekilde yazılabilir ise) sonlu lineer kombinasyonu ait gösterge fonksiyonları arasında aralıklarla . Gayri resmi olarak konuşursak, bir adım işlevi, yalnızca sonlu sayıda parçaya sahip parçalı sabit bir işlevdir .

Adım fonksiyonu örneği (kırmızı grafik). Bu özel adım fonksiyonu sağ-süreklidir .

Tanım ve ilk sonuçlar

Bir fonksiyon şu şekilde yazılabilirse adım fonksiyonu olarak adlandırılır .

, tüm gerçek sayılar için

nerede , gerçek sayılar vardır aralıkları vardır ve bir gösterge işlevi arasında :

Bu tanımda, aralıkların aşağıdaki iki özelliğe sahip olduğu varsayılabilir:

  1. Aralıklar ikili olarak ayrıktır : için
  2. Sendika aralıklarla tüm gerçek çizgisidir:

Aslında, başlangıçta durum böyle değilse, bu varsayımların geçerli olduğu farklı bir aralık kümesi seçilebilir. Örneğin, adım fonksiyonu

olarak yazılabilir

Tanımdaki farklılıklar

Bazen, aralıkların sağa açık olması veya tekli olmasına izin verilmesi gerekir. Aralıkların toplanmasının sonlu olması gerektiği koşulu, özellikle okul matematiğinde, yine de yerel olarak sonlu olması gerekse de, parçalı sabit fonksiyonların tanımıyla sonuçlanacak şekilde, genellikle bırakılır.

Örnekler

Birim basamak basamak fonksiyonu sıkça kullanılan aşama fonksiyonudur.
  • Bir sabit fonksiyon , bir basamak fonksiyonu önemsiz bir örneğidir. O zaman sadece bir aralık var,
  • İşaret işlev SGN ( x ) negatif sayılar için -1, pozitif sayılar için + 1, ve en basit sabit olmayan aşama fonksiyonudur.
  • Birim basamak fonksiyonu H ( x ), pozitif sayı için negatif sayılar için 0 ve 1 olduğu, bir kayma ve aralık ölçeği (kadar işaret işlevine denktir ). Bazı deney arkasında matematiksel bir kavramdır sinyalleri gibi belirlemek için kullanılanlar gibi, adım yanıt a dinamik sistem .
Dikdörtgen fonksiyonu , aşağıdaki basit basamak fonksiyonu.

Örnek olmayan

  • Tam sayı kısmı bu aralıkların sonsuz sayıda yana fonksiyonu, bu maddenin tanımına göre bir basamak fonksiyonu değildir. Bununla birlikte, bazı yazarlar, sonsuz sayıda aralıklı adım fonksiyonları da tanımlar.

Özellikleri

  • İki adımlı fonksiyonun toplamı ve çarpımı yine bir adım fonksiyonudur. Bir adım fonksiyonunun bir sayı ile çarpımı da bir adım fonksiyonudur. Böylece adım fonksiyonları gerçek sayılar üzerinde bir cebir oluşturur .
  • Bir adım işlevi yalnızca sonlu sayıda değer alır. Aralıklar halinde yönelik adım fonksiyonunun yukarıdaki tanımında ayrık ve onların sendikası sonra, gerçek bir çizgidir herkes için
  • Belirli integral bir basamak fonksiyonu olan fonksiyonu doğrusal parçalı .
  • Lebesgue integrali bir basamak fonksiyonunun olduğu yerde aralığının uzunluğu ve tüm aralıkları olduğu varsayılır sonlu uzunluğa sahiptir. Aslında, bu eşitlik (tanım olarak görülüyor) Lebesgue integralini oluşturmanın ilk adımı olabilir.
  • Bir ayrık rastgele değişken bazen olarak tanımlanır rastgele değişkenin olan kümülatif dağılım fonksiyonu parçalı sabittir. Bu durumda, yerel olarak bir adım işlevidir (küresel olarak, sonsuz sayıda adıma sahip olabilir). Bununla birlikte, genellikle, yalnızca sayılabilir sayıda olası değeri olan herhangi bir rastgele değişken, ayrı bir rastgele değişken olarak adlandırılır, bu durumda bunların kümülatif dağılım işlevi, sonlu bir bölgede sonsuz sayıda aralık birikebileceğinden, yerel olarak bir adım işlevi değildir.

Ayrıca bakınız

Referanslar