Yıldız çokgen - Star polygon
{5/2} |
|5/2| |
Düzenli bir yıldız beşgeni , {5/2}, beş köşe köşesine ve kesişen kenarlara sahipken, içbükey ongen , |5/2|, on kenara ve beş köşeden oluşan iki takıma sahiptir. Birincisi, yıldız çokyüzlü ve yıldız düzgün döşeme tanımlarında kullanılırken , ikincisi bazen düzlemsel döşemelerde kullanılır. | |
Küçük yıldız şeklinde dodekahedron |
mozaikleme |
İn geometrisi , bir yıldız çokgen olmayan bir tür konveks çokgen ve decagon en yaygın olarak bir türü. Düzenli yıldız çokgenleri derinlemesine incelenmiştir; genel olarak yıldız çokgenler resmi olarak tanımlanmamış gibi görünürken, bazı önemli poligonlar düzenli basit ve yıldız çokgenler üzerindeki kesme işlemleriyle ortaya çıkabilir.
Branko Grünbaum tarafından kullanılan iki ana tanımlamaları tespit Johannes Kepler , olan bir normal yıldız çokgenler ile kenarları kesen yeni köşeleri oluşturmaz, ve ikinci olarak, basit isotoxal içbükey çokgen .
İlk kullanım, pentagram gibi çokgenlerin yanı sıra heksagram gibi bileşik şekilleri de içeren poligramlarda yer alır .
Kaplumbağa grafiklerinde kullanılan yıldız çokgenin bir tanımı, spirolaterallerde olduğu gibi 2 veya daha fazla dönüşe ( dönüş sayısı ve yoğunluğu ) sahip bir çokgendir .
etimoloji
Yıldız çokgen adları , penta- gibi bir sayısal önek ile Yunanca -gram son ekini birleştirir (bu durumda pentagram kelimesini oluşturur ). Ön ek normalde bir Yunan kardinaldir , ancak başka önekleri kullanan eşanlamlılar da mevcuttur. Örneğin, bir dokuz sivri çokgen veya enneagram da bilinir nonagram kullanılarak, sıra nona gelen Latince . -Gram gelen son ek türemiştir γραμμή ( gram bir çizgi anlamına gelmektedir).
Düzenli yıldız çokgen
{5/2} |
{7/2} |
{7/3} ... |
"Düzenli yıldız çokgen", kendi kendini kesen, eşkenar bir eşkenar çokgendir .
Düzenli bir yıldız çokgeni, Schläfli sembolü { p / q } ile gösterilir; burada p (köşe sayısı) ve q ( yoğunluk ) göreceli olarak asaldır (hiçbir çarpanı paylaşmazlar) ve q ≥ 2. Bir çokgenin yoğunluğu, ayrıca tüm köşelerin dönüş açılarının toplamının 360°'ye bölümü olan dönüş numarası olarak da adlandırılır .
Simetri grubu {arasında N / k } olup iki düzlemli grubu D , n 2 seviyesinde n bağımsız olarak, k .
Düzenli yıldız çokgenleri ilk olarak Thomas Bradwardine ve daha sonra Johannes Kepler tarafından sistematik olarak incelenmiştir .
Köşe bağlantısı üzerinden inşaat
Basit, düzgün, p kenarlı bir çokgenin bir tepe noktası, bitişik olmayan başka bir tepe noktasına bağlanarak ve orijinal tepe noktasına tekrar ulaşılana kadar işleme devam edilerek düzgün yıldız çokgenler oluşturulabilir . Alternatif olarak, tam sayılar için p ve q , her bağlayarak inşa edilmiş olarak kabul edilebilir q üzerinden etmektedir inci s düzenli dairesel yerleştirme aralıklı noktalarda. Örneğin, düzgün bir beşgende, birinci tepe noktasından üçüncü tepe noktasına, üçüncü tepe noktasından beşinci tepe noktasına, beşinci tepe noktasından ikinci tepe noktasına, ikinci tepe noktasından bir çizgi çizilerek beş köşeli bir yıldız elde edilebilir. dördüncü tepe noktasına ve dördüncü tepe noktasından birinci tepe noktasına.
Eğer q yarısından daha büyük olan , p , o yapı aynı poligon neden olur p - q ; beşgenin her üçüncü köşesini birleştirmek, her ikinci köşeyi bağlamakla aynı sonucu verecektir. Bununla birlikte, tepe noktalarına ters yönde ulaşılacaktır, bu da retrograd çokgenler yüksek boyutlu politoplara dahil edildiğinde bir fark yaratır. Örneğin, bir prograd pentagramdan {5/2} oluşturulan bir antiprizma , bir pentagrammik antiprizma ile sonuçlanır ; retrograd bir "çapraz pentagram"dan {5/3} gelen benzer yapı, bir pentagrammik çapraz antiprizma ile sonuçlanır . Diğer bir örnek olan tetrahemihexahedron bir "çapraz üçgen" {3/2} olarak görülebilir, cuploid .
Dejenere düzenli yıldız çokgenler
Eğer p ve q asal değilse, çakışan köşeler ve kenarlar ile dejenere bir çokgen ortaya çıkar. Örneğin {6/2} bir üçgen olarak görünecek, ancak 1-6'lık iki köşe kümesiyle etiketlenebilir. Bu, üst üste binen iki üçgen olarak değil, tek bir tek köşeli altıgenin çift sargısı olarak görülmelidir.
Yıldız yoluyla inşaat
Alternatif olarak, bir düzenli yıldız çokgen, bir dışbükey düzenli çekirdek çokgenin yıldızlarının bir dizisi olarak da elde edilebilir . Yıldıza dayalı yapılar, köşelerin yoğunluğunun ve miktarının asal olmadığı durumlarda düzgün çokgen bileşiklerin elde edilmesini de sağlar. Bununla birlikte, yıldızdan yıldız çokgenleri oluştururken, eğer q , p /2'den büyükse , çizgiler bunun yerine sonsuza kadar uzaklaşacaktır ve q , p /2'ye eşitse , çizgiler paralel olacaktır ve her ikisi de Öklid'de daha fazla kesişme ile sonuçlanmaz. Uzay. Bununla birlikte, monogon ve digona benzer şekilde, küresel uzayda bu tür bazı çokgenler oluşturmak mümkün olabilir ; bu tür çokgenler henüz ayrıntılı olarak incelenmiş görünmüyor.
Basit izotoksal yıldız çokgenler
Kesişen çizgiler kaldırıldığında, yıldız çokgenleri artık düzenli değil, basit içbükey izotoksal 2 n -gonlar, düzenli yıldız çokgen açılarıyla eşleşmesi gerekmeyen iki farklı yarıçapta değişen köşeler olarak görülebilir . Branko Grünbaum içinde tilings ve Patterns | olarak bu yıldızları temsil yok / gün | {n/d} poligramının geometrisi ile {n α } gösterimi ile eşleşen, daha genel olarak, her bir iç açısı α<180°(1-2/ n ) derece olan n-taraflı bir yıldızı temsil eden . için | n / d |, iç köşelerin 360°( d -1)/ n gibi bir dış açısı vardır, β .
|n/d| {n α } |
{3 30° } |
{6 30° } |
|5/2| {5 36° } |
{4 45° } |
|8/3| {8 45° } |
|6/2| {6 60° } |
{5 72° } |
---|---|---|---|---|---|---|---|
α | 30° | 36° | 45° | 60° | 72° | ||
β | 150° | 90° | 72° | 135 ° | 90° | 120° | 144° |
izotoksal yıldız |
|||||||
İlgili poligram {n/d} |
{12/5} |
{5/2} |
{8/3} |
2{3} Yıldız figürü |
{10/3} |
Fayanslardaki örnekler
Bu çokgenler genellikle döşeme desenlerinde görülür. Parametrik açı α (derece veya radyan), bir mozaik deseninde komşu çokgenlerin iç açılarını eşleştirmek için seçilebilir . Johannes Kepler onun 1619 çalışmalarında Harmonices Mundi diğer dönem tilings arasında olmak üzere, üç düzenli beşgen ve düzenli bir yıldızın beşgen (5.5.5.5/2) gibi periyodik olmayan tilings bir köşe etrafında sığabilecek, ve modern ilişkin Penrose karoları .
İç mekanlar
Bir yıldız çokgenin içi farklı şekillerde ele alınabilir. Bir pentagram için bu tür üç işlem gösterilmiştir. Branko Grünbaum ve Geoffrey Shephard bunlardan ikisini düzenli yıldız çokgenler ve içbükey izogonal 2 n -gonlar olarak ele alıyor.
Bunlar şunları içerir:
- Bir taraf oluştuğunda, bir taraf dış, diğeri iç olarak kabul edilir. Bu, sol taraftaki resimde gösterilmiştir ve genellikle bilgisayar vektör grafikleri oluşturmada görülür .
- Poligonal eğrinin belirli bir bölge etrafında dönme sayısı, yoğunluğunu belirler . Dışa 0 yoğunluk verilir ve yoğunluğu > 0 olan herhangi bir bölge iç olarak kabul edilir. Bu, merkezdeki çizimde gösterilmiştir ve genellikle çokyüzlülerin matematiksel tedavisinde ortaya çıkar . (Ancak, yönlendirilemeyen çokyüzlüler için yoğunluk yalnızca modulo 2 olarak kabul edilebilir ve bu nedenle, bu durumlarda tutarlılık için bazen bunun yerine ilk işlem kullanılır.)
- İki taraf arasında bir çizgi çizilebildiğinde, çizginin bulunduğu bölge şeklin içinde olarak kabul edilir. Bu, sağ taraftaki resimde gösterilmiştir ve genellikle fiziksel bir model yapılırken ortaya çıkar.
Çokgenin alanı hesaplandığında, bu yaklaşımların her biri farklı bir cevap verir.
Sanat ve kültürde
Yıldız çokgenler sanat ve kültürde öne çıkıyor. Bu tür çokgenler düzenli olabilir veya olmayabilir, ancak her zaman oldukça simetriktirler . Örnekler şunları içerir:
- {5/2} yıldız beşgeni ( pentagram ) ayrıca bir pentalpha veya beşgen olarak bilinir ve tarihsel olarak birçok büyülü ve dini kült tarafından okült öneme sahip olduğu düşünülmüştür .
- {7/2} ve {7/3} yıldız çokgenleri ( heptagramlar ), özellikle Kabala ve Wicca'da okült öneme sahiptir .
- {8/3} yıldız poligonu ( oktagram ), Babür İslam sanatında ve mimarisinde sıkça kullanılan geometrik motiflerdir ; ilki Azerbaycan arması üzerindedir .
- Şah Nemat Ollah Vali'nin mezarında hendecagram adı verilen on bir köşeli yıldız kullanılmıştır.
Bir {8/3} octagram düzenli olarak inşa sekizgen |
Süleyman'ın daire ve noktalı mührü (yıldız figürü) |
Ayrıca bakınız
- Düzenli politopların ve bileşiklerin listesi#Yıldızlar
- Sihirli yıldız
- Moravyalı yıldız
- pentagramma mirificum
- Düzenli yıldız 4-politop
- El Hizb'i ovmak
- Yıldız (glif)
- Yıldız çokyüzlü , Kepler-Poinsot çokyüzlü ve düzgün yıldız çokyüzlü
Referanslar
- Cromwell, P.; Çokyüzlü , CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5 . P. 175
- Grünbaum, B. ve GC Shephard; Fayanslar ve Desenler , New York: WH Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1 .
- Grünbaum, B. ; İçi Boş Yüzlü Polyhedra, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... vb. (Toronto 1993) , ed T. Bisztriczky ve diğerleri, Kluwer Academic (1994) s. 43–70.
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Bölüm 26. s. 404: Normal yıldız-politoplar Boyut 2)
- Branko Grünbaum , Çokgenlerin Metamorfozları , yayınlanan Matematiğin Daha Açık Tarafı: Eugène Strens Anma Konferansının Rekreasyonel Matematik ve Tarihçesi , (1994)