3'ün karekökü - Square root of 3

3'ün karekökü
2.svg tarafı olan eşkenar üçgen
Kenar uzunlukları 2 olan bir eşkenar üçgenin yüksekliği 3'ün kareköküne eşittir.
temsiller
Ondalık 1.73205 08075 68877 2935...
Devam eden kesir
İkili 1.1011 1011 0110 0111 1010 ...
onaltılık 1.BB67 AE85 84CA A73B ...

3 karekökü pozitif reel sayı kendisi ile çarpılarak zaman, numarası verir 3 . Matematiksel olarak 3 veya 3 1/2 olarak gösterilir . Aynı özelliğe sahip negatif sayıdan ayırt etmek için daha kesin olarak 3'ün temel karekökü olarak adlandırılır . Karekök 3 bir olan irrasyonel sayı . Mantıksızlığını kanıtlayan Cyrene'li Theodorus'tan sonra Theodorus'un sabiti olarak da bilinir .

Aralık 2013 itibariyle, ondalık gösterimdeki sayısal değeri en az on milyar basamak olarak hesaplanmıştır. Onun ondalık açılımı 65 ondalık basamağa burada yazılı, verilir OEISA002194 :

1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806

kesir 97/56 (1.732 142 857 ...) yaklaşık olarak kullanılabilir. Bir olmasına rağmen payda sadece 56 arasında, daha az ile doğru değerden farklı1/10.000 (aşağı yukarı 9.2 × 10 -5 ). 1.732 yuvarlatılmış değeri , gerçek değerin %0.01'i içinde doğrudur.

Arşimet değeri için bir aralık bildirdi: (1351/780)2
> 3 > (265/153)2
; alt sınır doğru1/608400 (altı ondalık basamak) ve üst sınır 2/23409 (dört ondalık basamak).

İfade

Devam eden kesir [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, ...] (dizi A040001 olarak OEIS ).

O halde şunu söylemek doğrudur:

sonra ne zaman  :

gibi genelleştirilmiş sürekli kesirler ile de ifade edilebilir.

ki [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] her ikinci dönemde değerlendirilir.

Aşağıdaki iç içe kare ifadeler 3'e yakınsar :

Ayrıca 3/2 ve 2 için aşağıdaki serinin Cauchy Çarpımını kullanarak 3 için bir dizi elde edebiliriz :

Taylor serisi

için birleşir

-1 ≤ x ≤ 1.

x = 2 bu yakınsama aralığının dışında olduğu için bu şekilde 3 için bir seri elde edemeyiz . Ancak, o zamandan beri

x = 1/2 ve x = 1 yakınsama aralığındadır, aşağıdaki kapalı formlara sahibiz:

Bu iki sonsuz serinin Cauchy Çarpımı:

Mantıksızlığın kanıtı

3 için bu mantıksızlık kanıtı Fermat'ın sonsuz iniş yöntemini kullanır :

3'ün rasyonel olduğunu varsayalım ve mümkün olan en düşük terimlerle (yani, tamamen indirgenmiş bir kesir olarak ) şu şekilde ifade edin:m/ndoğal sayılar için m ve n .

Bu nedenle, 1 ile çarpmak eşit bir ifade verecektir:

burada q , 3'ten küçük en büyük tam sayıdır . Hem pay hem de paydanın 1'den küçük bir sayı ile çarpıldığını unutmayın.

Bu sayede hem payı hem de paydayı çarparak şunu elde ederiz:

İzler m ile ikame edilmiş olabilir 3 n :

Ardından, 3 ile de değiştirilebilirm/n paydada:

3'ün karesi 3 ile değiştirilebilir.m/nn ile çarpılır, çarpımları m'ye eşittir :

O zaman 3 , aşağıdakinden daha düşük terimlerle ifade edilebilir:m/n (ilk adım hem payın hem de paydanın boyutlarını küçülttüğü ve sonraki adımlar onları değiştirmediği için) 3 n - mq/m - nqolduğu varsayımıyla çelişen bir durumdur. m/n en düşük seviyedeydi.

Bunun alternatif bir kanıtı, 3 =m/n ile birlikte m/nBir olmak tamamen indirgenmiş fraksiyon :

Her iki terimin de n ile çarpılması ve ardından her ikisinin karesinin alınması şunu verir:

Sol yan 3 ile bölünebilir olduğu için, bu yüzden sağ tarafında gerektiren, bir m , O 3 ile olmak bölünebilir m olarak ifade edilebilir 3 k :

Bu nedenle, her iki terimi de 3'e bölmek:

Sağ taraf 3'e bölünebildiğinden, sol taraf da bölünür ve dolayısıyla n de öyledir . Her iki Böylece, n, ve m, 3 ile bölünebilir, bunlar ortak bir faktör vem/n orijinal önermeyle çelişen, tamamen indirgenmiş bir kesir değildir.

Geometri ve trigonometri

Yüksekliği bir bölgesinin eşkenar üçgenin kenar uzunluğu 2 ile 3 . Ayrıca, uzun bir bacak a 30-60-90 üçgen ile hipotenüs 2.
Ve kenar uzunlukları 1 olan düzgün altıgenin yüksekliği .
Diyagonal birim küp olan 3 .
Bilinski dodecahedron'un bu izdüşümü, köşegen oranı 3 olan bir eşkenar dörtgendir .

3'ün karekökü, çapı 1 olan bir daireyi çevreleyen bir eşkenar üçgenin bacak uzunluğu olarak bulunabilir .

Kenar uzunlukları 1 olan bir eşkenar üçgen , bir kenarla dik açı yapmak için bir iç açıyı ikiye bölerek iki eşit yarıya bölünürse, dik açılı üçgenin hipotenüsü bir uzunluktur ve kenarların uzunluğudur.1/2 ve 3/2. Buradan, 60°'nin trigonometrik fonksiyonun tanjantı 3'e eşittir ve 60°'nin sinüsü ve 30°'nin kosinüsünün her ikisi de eşittir3/2.

3'ün karekökü ayrıca 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57° sinüsleri de dahil olmak üzere çeşitli diğer trigonometrik sabitler için cebirsel ifadelerde görünür. 66°, 69°, 75°, 78°, 84° ve 87°.

Kenar uzunlukları 1 olan düzgün bir altıgenin paralel kenarları arasındaki uzaklıktır . Karmaşık düzlemde bu uzaklık aşağıda belirtildiği gibi i 3 olarak ifade edilir .

Birim küpün uzay köşegeninin uzunluğudur .

Torba piscis küçük eksen oranı için büyük bir eksen 1'e eşit var 3 , bu, içinde iki eşkenar üçgen oluşturarak gösterilebilir.

-3'ün karekökü

Çarpma ve 3 ile hayali biriminin bir kare kökü verir -3 , bir hayali sayıda . Daha doğrusu

( negatif sayıların kareköküne bakın ). Bu bir Eisenstein tamsayıdır . Yani 1'in (Eisenstein tam sayıları olan) gerçek olmayan iki kübik kök arasındaki fark olarak ifade edilir .

Diğer kullanımlar

Elektrik Mühendisliği

Gelen elektrik mühendisliği , bir iki faz arasındaki voltaj üç fazlı sisteme eşit 3 nötr gerilimi katı çizgi. Bunun nedeni, herhangi iki fazın birbirinden 120° uzakta olması ve bir daire üzerinde 120 derece aralıklı iki noktanın yarıçapın 3 katı ile ayrılmasıdır ( yukarıdaki geometri örneklerine bakın ).

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar