Spektral yoğunluk tahmini - Spectral density estimation

Olarak istatistiksel sinyal işleme , hedefi spektral yoğunluk tahmini ( SDE ) için tahmin spektral yoğunluğunun (aynı zamanda güç spektral yoğunluğu of a) rasgele sinyal sinyalin zaman örnekleri bir dizisinden. Sezgisel olarak konuşursak, spektral yoğunluk , sinyalin frekans içeriğini karakterize eder . Spektral yoğunluğun tahmin edilmesinin bir amacı, bu periyodikliklere karşılık gelen frekanslardaki zirveleri gözlemleyerek verilerdeki herhangi bir periyodikliği tespit etmektir.

Bazı SDE teknikleri, bir sinyalin sınırlı sayıda (genellikle küçük) üretici frekans artı gürültüden oluştuğunu varsayar ve üretilen frekansların yerini ve yoğunluğunu bulmaya çalışır. Diğerleri bileşenlerin sayısı konusunda hiçbir varsayımda bulunmazlar ve tüm üretim spektrumunu tahmin etmeye çalışırlar.

Genel Bakış

Ses dalga biçimi ve frekans spektrumu örneği

220 Hz'de "temel" bir frekansı ve ardından 220 Hz'nin katlarını (harmonikleri) gösteren periyodik bir dalga formu ( üçgen dalga ) ve frekans spektrumu.

Bir müzik bölümünün güç spektral yoğunluğu, karşılaştırma için iki farklı yöntemle tahmin edilir.

Frekans alanı analizi veya spektral yoğunluk tahmini olarak da adlandırılan spektrum analizi , karmaşık bir sinyali daha basit parçalara ayırmanın teknik işlemidir. Yukarıda açıklandığı gibi, birçok fiziksel süreç en iyi, birçok ayrı frekans bileşeninin toplamı olarak tanımlanır. Frekansa (veya faza ) karşı çeşitli miktarları (örneğin, genlikler, güçler, yoğunluklar) ölçen herhangi bir işlem, spektrum analizi olarak adlandırılabilir .

Spektrum analizi, sinyalin tamamı üzerinde gerçekleştirilebilir. Alternatif olarak, bir sinyal kısa bölümlere (bazen çerçeveler olarak adlandırılır ) bölünebilir ve bu ayrı bölümlere spektrum analizi uygulanabilir. Periyodik işlevler (gibi ) özellikle bu alt bölüm için çok uygundur. Periyodik olmayan fonksiyonları analiz etmek için genel matematiksel teknikler, Fourier analizi kategorisine girer . ${\ displaystyle \ sin (t)}$

Fourier bir fonksiyonu orijinal sinyal hakkında tüm bilgileri içeren bir frekans spektrumunu üretir, ancak farklı bir biçimde. Bu, orijinal fonksiyonun bir ters Fourier dönüşümü ile tamamen yeniden yapılandırılabileceği ( sentezlenebileceği ) anlamına gelir . Mükemmel bir yeniden yapılandırma için, spektrum analiz cihazı, her iki korumalıdır genliği ve fazı , her bir frekans bileşeninin. Bu iki bilgi parçası, 2 boyutlu bir vektör, karmaşık bir sayı olarak veya büyüklük (genlik) ve kutupsal koordinatlarda faz (yani bir fazör olarak ) olarak temsil edilebilir. Sinyal işlemede yaygın bir teknik, karesel genliği veya gücü dikkate almaktır ; bu durumda ortaya çıkan grafik, güç spektrumu olarak adlandırılır .

Tersine çevrilebilirlik nedeniyle, Fourier dönüşümü fonksiyonun zaman yerine frekans açısından temsili olarak adlandırılır ; bu nedenle, bir frekans alanı temsilidir. Zaman alanında gerçekleştirilebilen doğrusal işlemlerin, frekans alanında daha kolay gerçekleştirilebilen benzerleri vardır. Frekans analizi ayrıca, hem doğrusal hem de doğrusal olmayan çeşitli zaman alanı işlemlerinin etkilerinin anlaşılmasını ve yorumlanmasını basitleştirir. Örneğin, yalnızca doğrusal olmayan veya zamanla değişen işlemler, frekans spektrumunda yeni frekanslar oluşturabilir.

Pratikte, frekans spektrumlarını oluşturan neredeyse tüm yazılım ve elektronik cihazlar , sinyal örnekleri üzerinde çalışan ve tam integral çözüme matematiksel bir yaklaşım sağlayan ayrık bir Fourier dönüşümü (DFT) kullanır . DFT, neredeyse değişmez bir şekilde hızlı Fourier dönüşümü (FFT) adı verilen verimli bir algoritma tarafından uygulanır . Bir DFT'nin kare büyüklük bileşenleri, filtre impuls yanıtları ve pencere işlevleri gibi gürültüsüz işlevlerin frekans özelliklerini incelemek için yaygın olarak kullanılan periodogram adı verilen bir güç spektrumu türüdür . Ancak periodogram, gürültü benzeri sinyallere ve hatta düşük sinyal-gürültü oranlarında sinüzoidlere uygulandığında işleme kazancı sağlamaz. Başka bir deyişle, belirli bir frekansta spektral tahmininin varyansı, hesaplamada kullanılan örneklerin sayısı arttıkça azalmaz. Bu, zaman içinde ortalama ( Welch yöntemi ) veya aşırı frekans ( yumuşatma ) ile hafifletilebilir . Welch'in yöntemi, spektral yoğunluk tahmini (SDE) için yaygın olarak kullanılmaktadır. Bununla birlikte, periodogram tabanlı teknikler, bazı uygulamalarda kabul edilemez olan küçük önyargılar ortaya çıkarır. Bu yüzden diğer alternatifler bir sonraki bölümde sunulmuştur.

Teknikler

Temel periodogramın dezavantajlarını azaltmak için spektral tahmin için birçok başka teknik geliştirilmiştir. Bu teknikler genellikle parametrik olmayan ve parametrik yöntemlere ayrılabilir . Parametrik olmayan yaklaşımlar , sürecin belirli bir yapıya sahip olduğunu varsaymadan, sürecin kovaryansını veya spektrumunu açık bir şekilde tahmin eder . Temel uygulamalar için kullanılan en yaygın tahmin edicilerden bazıları (örneğin, Welch'in yöntemi ), periodogram ile yakından ilgili parametrik olmayan tahmin edicilerdir. Buna karşılık, parametrik yaklaşımlar, altta yatan durağan stokastik sürecin , az sayıda parametre kullanılarak (örneğin, otomatik gerileyen veya hareketli bir ortalama model kullanılarak ) tanımlanabilen belirli bir yapıya sahip olduğunu varsayar . Bu yaklaşımlarda görev, stokastik süreci tanımlayan modelin parametrelerini tahmin etmektir.

Aşağıda, parametrik olmayan spektral yoğunluk tahmin tekniklerinin kısmi bir listesi verilmiştir:

Periodogram , ayrık Fourier dönüşümünün modül-karesi
Bartlett'in yöntemi , spektral yoğunluk tahmininin varyansını azaltmak için sinyalin çoklu bölümlerinden alınan periodogramların ortalamasıdır.
Welch'in yöntemi, örtüşen segmentler kullanan Bartlett yönteminin pencereli bir versiyonu
Multitaper , spektral yoğunluk tahmininin varyansını azaltmak için spektral yoğunluğun bağımsız tahminlerini oluşturmak için birden fazla incelme veya pencere kullanan periodogram tabanlı bir yöntemdir.
Bilinen frekanslara uyan en küçük karelere dayalı en küçük kareler spektral analizi
Düzensiz ayrık Fourier dönüşümü , sinyal örnekleri zaman içinde eşit olmayan aralıklarla yerleştirildiğinde kullanılır
Tekil spektrum analizi , spektral yoğunluğu tahmin etmek için kovaryans matrisinin tekil değer ayrışmasını kullanan parametrik olmayan bir yöntemdir.
Kısa süreli Fourier dönüşümü
Kritik filtre ; gürültü, eksik veriler ve enstrümantal yanıt işlevleriyle başa çıkabilen bilgi alanı teorisine dayalı parametrik olmayan bir yöntemdir.

Aşağıda parametrik tekniklerin kısmi bir listesi bulunmaktadır:

Özbağlanımlı modeli varsayar (AR) tahmini, N inci bir örnek bir önceki ile korelasyon s örnekleri.
Hareketli ortalama modeli varsayar (MA) tahmini, N inci örnek, önceki gürültü şartları ile korelasyon s örnekleri.
AR ve MA modellerini genelleyen otoregresif hareketli ortalama (ARMA) tahmini.
MUltiple SIgnal Classification (MUSIC), popüler bir süper çözünürlük yöntemidir.
Maksimum entropi spektral tahmini , keskin zirveler gibi tekil spektral özellikler beklendiğinde SDE için yararlı olan tüm kutuplu bir yöntemdir.

Parametrik tahmin

Parametrik spektral kestirimde, sinyalin, frekans ve parametrelerin bir fonksiyonu olan bir spektral yoğunluk fonksiyonuna (SDF) sahip olan sabit bir süreç tarafından modellendiği varsayılır . Tahmin problemi daha sonra bu parametreleri tahmin etmekten biri haline gelir. ${\ displaystyle S (f; a_ {1}, \ ldots, a_ {p})}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {p}}$

En yaygın parametrik SDF tahmin biçimi, model olarak otoregresif bir düzen modeli kullanır . Sıfır ortalama işlemine uyan bir sinyal dizisi denklemi karşılar ${\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ {Y_ {t} \}}$ ${\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$

{\ displaystyle Y_ {t} = \ phi _ {1} Y_ {t-1} + \ phi _ {2} Y_ {t-2} + \ cdots + \ phi _ {p} Y_ {tp} + \ epsilon _ {t},}

burada sabit katsayılar ve sıfır ortalama ve inovasyon varyansına sahip beyaz bir gürültü süreci . Bu süreç için SDG, ${\ displaystyle \ phi _ {1}, \ ldots, \ phi _ {p}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {t}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2}}$

{\ displaystyle S (f; \ phi _ {1}, \ ldots, \ phi _ {p}, \ sigma _ {p} ^ {2}) = {\ frac {\ sigma _ {p} ^ {2} \ Delta t} {\ left | 1- \ sum _ {k = 1} ^ {p} \ phi _ {k} e ^ {- 2i \ pi fk \ Delta t} \ sağ | ^ {2}}} \ qquad | f | <f_ {N},}

ile örnekleme zaman aralığı ve Nyquist frekansı . ${\ displaystyle \ Delta t}$ ${\ displaystyle f_ {N}}$

Parametreleri tahmin için bir takım yaklaşımlar bulunmaktadır ve süreç ve böylece spektral yoğunluğunun: ${\ displaystyle \ phi _ {1}, \ ldots, \ phi _ {p}, \ sigma _ {p} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$

Yule-Walker tahmincileri yinelemeli bir için Yule-Walker denklemleri çözerek bulunurlar süreci ${\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$
Burg tahmin en küçük kareler sorun biçimi olarak Yule Walker denklemleri muamele edilmesiyle bulunmuştur. Burg tahmin edicilerinin genellikle Yule-Walker tahmin edicilerinden daha üstün olduğu kabul edilir. Burg, bunları maksimum entropi spektral tahmini ile ilişkilendirdi .
İleri-geri en küçük kareler tahmin tedavi regresyon sorun ve sorunun ileri-geri bir yöntem kullanarak bu çözer işlem. Burg tahmincileri ile rekabet halindedirler. ${\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$
En çok olabilirlik tahmin bir parametre tahminleri maksimum olabilirlik yaklaşımı. Bu, doğrusal olmayan bir optimizasyonu içerir ve ilk üçünden daha karmaşıktır.

Alternatif parametrik yöntemler, bir hareketli ortalama modeline (MA) ve tam otoregresif hareketli ortalama modeline (ARMA) uydurmayı içerir.

Frekans tahmini

Frekans tahmini , bileşenlerin sayısı ile ilgili varsayımlar verilen gürültünün varlığında bir sinyalin karmaşık frekans bileşenlerini tahmin etme işlemidir . Bu, bileşenler hakkında önceden varsayımlarda bulunmayan yukarıdaki genel yöntemlerle çelişir.

Tek ton

Biri yalnızca en yüksek frekansı tahmin etmek istiyorsa, bir perde algılama algoritması kullanılabilir . Baskın frekans zamanla değişirse, sorun , zaman-frekans gösteriminde tanımlanan anlık frekansın tahmini haline gelir . Anlık frekans tahmini için yöntemler, Wigner-Ville dağılımına ve yüksek dereceli belirsizlik fonksiyonlarına dayalı olanları içerir .

Alınan bir sinyalin (iletilen sinyal ve gürültü dahil) tüm (muhtemelen karmaşık) frekans bileşenlerini bilmek isterse , çok tonlu bir yaklaşım kullanılır.

Birden çok ton

Bir sinyal için tipik bir örnek bir toplamından oluşur varlığında karmaşık üstel beyaz gürültü , ${\ displaystyle x (n)}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle w (n)}$

{\ displaystyle x (n) = \ toplam _ {i = 1} ^ {p} A_ {i} e ^ {jn \ omega _ {i}} + w (n)}

.

Güç spektral yoğunluğu, gürültüye bağlı spektral yoğunluk fonksiyonuna ek olarak impuls fonksiyonlarından oluşur . ${\ displaystyle x (n)}$ ${\ displaystyle p}$

Frekans tahmini için en yaygın yöntemler, bu bileşenleri çıkarmak için gürültü alt uzayının tanımlanmasını içerir . Bu yöntemler , otokorelasyon matrisinin bir sinyal alt uzayına ve bir gürültü alt uzayına öz ayrışmasına dayanır . Bu alt uzaylar tanımlandıktan sonra, gürültü alt uzayından bileşen frekanslarını bulmak için bir frekans tahmin fonksiyonu kullanılır. En popüler gürültü alt uzay tabanlı frekans tahmini yöntemleri , Pisarenko'nun yöntemi , çoklu sinyal sınıflandırma (MUSIC) yöntemi, özvektör yöntemi ve minimum norm yöntemidir.

Pisarenko'nun yöntemi: ${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ text {PHD}} \ sol (e ^ {j \ omega} \ sağ) = {\ frac {1} {\ sol | \ mathbf {e} ^ {H } \ mathbf {v} _ {\ text {min}} \ right | ^ {2}}}}$
MÜZİK: ${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ text {MU}} \ left (e ^ {j \ omega} \ sağ) = {\ frac {1} {\ sum _ {i = p + 1} ^ {M} \ left | \ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {v} _ {i} \ sağ | ^ {2}}}}$ ,
Özvektör yöntemi: ${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ text {EV}} \ left (e ^ {j \ omega} \ sağ) = {\ frac {1} {\ sum _ {i = p + 1} ^ {M} {\ frac {1} {\ lambda _ {i}}} \ left | \ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {v} _ {i} \ sağ | ^ {2}}}}$
Minimum norm yöntemi: ${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ text {MN}} \ sol (e ^ {j \ omega} \ sağ) = {\ frac {1} {\ sol | \ mathbf {e} ^ {H } \ mathbf {a} \ right | ^ {2}}}; \ \ mathbf {a} = \ lambda \ mathbf {P} _ {n} \ mathbf {u} _ {1}}$

Örnek hesaplama

Varsayalım gelen için , sıfır ortalama ile bir zaman serisi (ayrık) 'dir. Sınırlı sayıda periyodik bileşenin toplamı olduğunu varsayalım (tüm frekanslar pozitiftir): ${\ displaystyle x_ {n}}$ ${\ displaystyle n = 0}$ ${\ displaystyle N-1}$

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {n} & = \ sum _ {k} A_ {k} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} n + \ phi _ {k}) \\ & = \ toplam _ {k} A_ {k} \ left (\ sin (\ phi _ {k}) \ cos (2 \ pi \ nu _ {k} n) + \ cos (\ phi _ {k}) \ sin ( 2 \ pi \ nu _ {k} n) \ sağ) \\ & = \ sum _ {k} \ left (\ overbrace {a_ {k}} ^ {A_ {k} \ sin (\ phi _ {k} )} \ cos (2 \ pi \ nu _ {k} n) + \ overbrace {b_ {k}} ^ {A_ {k} \ cos (\ phi _ {k})} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} n) \ sağ) \ uç {hizalı}}}

Yukarıdaki gibi sıfır ortalamalı bir fonksiyon için varyansı şu şekilde verilir: ${\ displaystyle x_ {n}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {N}} \ toplamı _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} ^ {2}.}

Bu veriler bir elektrik sinyalinden alınan örnekler olsaydı, bu onun ortalama gücü olurdu (güç, birim zamanda enerjidir, bu nedenle enerjinin genliğin karesine benzer olması varyansa benzerdir).

Şimdi, basitleştirmek için, sinyalin zaman içinde sonsuz genişlediğini varsayalım, bu yüzden sınıra geçiyoruz: Ortalama güç sınırlıysa, ki gerçekte neredeyse her zaman durum budur, o zaman aşağıdaki sınır vardır ve verilerin varyansıdır. ${\ displaystyle N \ ila \ infty.}$

{\ displaystyle \ lim _ {N \ ila \ infty} {\ frac {1} {N}} \ toplamı _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} ^ {2}.}

Yine basitlik için, sürekli zamana geçeceğiz ve sinyalin her iki yönde de zaman içinde sonsuz genişlediğini varsayacağız. Sonra bu iki formül

{\ displaystyle x (t) = \ toplamı _ {k} A_ {k} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} t + \ phi _ {k})}

ve

{\ displaystyle \ lim _ {T \ ila \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} x (t) ^ {2} dt.}

Kök ortalama kare olan varyans yüzden, olduğu , Dolayısıyla ortalama gücüne katkı frekansla bileşeninden gelen bir Bütün bu katkılar ortalama güce kadar ekleyin ${\ displaystyle \ sin}$ ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle A_ {k} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} t + \ phi _ {k})}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} A_ {k} ^ {2}.}$ ${\ displaystyle x (t)}$ ${\ displaystyle \ nu _ {k}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} A_ {k} ^ {2}.}$ ${\ displaystyle x (t).}$

Daha sonra, frekansın bir fonksiyonu olarak güçtür ve istatistiksel kümülatif dağılım fonksiyonu olacaktır. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} A_ {k} ^ {2},}$ ${\ displaystyle S (\ nu)}$

{\ displaystyle S (\ nu) = \ toplam _ {k: \ nu _ {k} <\ nu} {\ frac {1} {2}} A_ {k} ^ {2}.}

${\ displaystyle S}$ monoton olarak azalmayan bir adım fonksiyonudur . Atlamaları, periyodik bileşenlerinin frekanslarında meydana gelir ve her sıçramanın değeri, o bileşenin gücü veya varyansıdır. ${\ displaystyle x}$

Varyans, verinin kendisiyle olan kovaryansıdır. Şimdi aynı veriyi dikkate ancak bir gecikme ile ederse , biz alabilir kovaryansını ait olan ve tanımlamak bu olması otokorelasyon fonksiyonu sinyal (veya veri) : ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle x (t)}$ ${\ displaystyle x (t + \ tau)}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle c (\ tau) = \ lim _ {T \ ila \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} x (t) x (t + \ tau) dt.}

Eğer varsa, bu bir çift fonksiyondur Eğer ortalama güç sınırlıysa, o zaman her yerde var olur, sonludur ve verinin ortalama gücü veya varyansı ile sınırlıdır . ${\ displaystyle \ tau.}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle c (0),}$

Aşağıdakilerle aynı periyotlarla periyodik bileşenlere ayrıştırılabileceği gösterilebilir : ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle c (\ tau) = \ toplam _ {k} {\ frac {1} {2}} A_ {k} ^ {2} \ cos (2 \ pi \ nu _ {k} \ tau).}

Bu aslında farklı frekansların spektral ayrışmasıdır ve gücün frekanslar üzerindeki dağılımı ile ilgilidir : Bir frekans bileşeninin genliği , sinyalin ortalama gücüne katkısıdır. ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c}$

Bu örneğin güç spektrumu sürekli değildir ve bu nedenle bir türevi yoktur ve bu nedenle bu sinyalin bir güç spektral yoğunluk fonksiyonu yoktur. Genel olarak, güç spektrumu genellikle iki parçanın toplamı olacaktır: bu örnekte olduğu gibi sürekli olmayan ve yoğunluk fonksiyonu olmayan bir çizgi spektrumu ve kesinlikle sürekli olan ve bir yoğunluk fonksiyonu olan bir kalıntı .

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

Porat, B. (1994). Rastgele Sinyallerin Sayısal İşlenmesi: Teori ve Yöntemler . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-063751-2 .
Priestley, MB (1991). Spektral Analiz ve Zaman Serileri . Akademik Basın. ISBN 978-0-12-564922-3 .

Stoica, P .; Musa, R. (2005). Sinyallerin Spektral Analizi . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-113956-5 .

Thomson, DJ (1982). "Spektrum tahmini ve harmonik analiz". IEEE'nin tutanakları . 70 (9): 1055–1096. CiteSeerX 10.1.1.471.1278 . doi : 10.1109 / PROC.1982.12433 .

Languages

In other projects